2016年广州市中考数学试卷及答案

数学试卷第1页共10页2016年广州市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）1.中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数，如果收入100元记作＋100元，那么－80元表示（）(A)支出20元(B)收入20元(C)支出80元(D)收入80元2.图1所示几何体的左视图是()3.据统计，2015年广州地铁日均客运量约为6590000人次，将6590000用科学记数法表示为()(A)6.59×104(B)659×104(C)65.9×105(D)6.59×1064.某个密码锁的密码三个数字组成，每个数字都0~9这十个数字中的一个，只有当三个数字与所设定的密码及顺序完全相同时，才能将锁打开.如果仅忘记了所设密码的最后那个数字，那么一次就能打开该密码锁的概率是()(A)110(B)19(C)13(D)125.下列计算正确的是()(A)x2y2＝xy(y≠0)(B)xy2＋12y＝2xy(y≠0)(C)2x＋3y＝5xy(x≥0，y≥0)(D)(xy3)2＝x2y66.一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80千米/小时的平均速度用了4小时到达乙地.当他按原路匀速返回时，汽车速度v千米/小时与时间t小时的函数关系()(A)v＝320t(B)v＝320t(C)v＝20t(D)v＝20t7.如图2，已知△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，DE是AC的垂直平分线，DE交AB于点D，连接CD，则CD＝()(A)3(B)4(C)4.8(D)58.若一次函数y＝ax＋b的图象经过第一、二、四象限，则下列不等式中总是成立的是（）(A)ab＞0(B)a－b＜0(C)a2＋b＞0(D)a＋b＞09.对于二次函数y＝－14x2＋x－4，下列说法正确的是（）(A)当x＞0时，y随x的增大而增大(B)当x＝2时，y有最大值－3(C)图象的顶点坐标为(－2，－7)(D)图象与x轴有两个交点图1(A)(B)(C)(D)ABCDE图2数学试卷第2页共10页10.定义新运算：a★b＝a(1－b)，若a，b是方程x2－x＋14m＝0(m＜1)的两根，则b★b－a★a的值为（）(A)0(B)1(C)2(D)与m有关二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）11.分解因式：2a2＋ab＝.12.代数式9－x有意义时，实数x的取值范围是.13.如图3，△ABC中，AB＝AC，BC＝12cm，点D在AC上，DC＝4cm，将线段DC沿CB方向平移7cm得到线段EF，点E，F分别落在边AB，BC上，则△EBF的周长为cm.14.方程12x＝2x－3的解是.15.如图4，以点O为圆心的两个同心弧中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点，AB＝123，OP＝6，则劣弧AB︵的长为(结果保留).16.如图5，正方形ABCD的边长为1，AC，BD是对角线，将△DCB绕点D顺时针旋转45°得到△DGH，HG交AB于点E，连接DE交AC于点F，连接FG，则下列结论：①四边形AEGF是菱形；②△AED≌△GED；③∠DFG＝112.5°；④BC＋FG＝1.5.其中正确的结论是.（填写所有正确结论的序号）三、解答题（本大题共9小题，满分102分）17(本小题满分9分)解不等式组：2x＜53(x＋2)≥x＋4并在数轴上表示解集.18.(本小题满分9分)如图6，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AB＝AO，求∠ABD的度数.19.(本小题满分10分)某校为了提升初中学生学习数学的兴趣，培养学生的创新精神，举办“玩转数学”比赛，现有甲、乙、丙三个小组进入决赛，评委从研究报告、小组展示答辩三个方面为各小组打分，各项成绩均按百分制记录，甲、乙、丙三个小组各项得分如下表：小组研究报告小组展示答辩甲918078乙817485丙798390(1)计算各小组平均成绩，并从高分到低分确定小组排名顺序；ABCDEF图3ABOP图4ABCDEFGH图5ABCDO图6数学试卷第3页共10页(2)如果按照研究报告点40%，小组展示点30%，答辩点30%，计算各小组成绩，哪个小组的成绩最高？20.(本小题满分10分)已知A＝(a＋b)2－4abab(a－b)2(a，b≠0且a≠b)(1)化简A；(2)若点P(a，b)在反比例函数y＝－5x的图象上，求A的值.21.(本小题满分12分)如图7，利用尺规，在△ABC的边AC上方作∠CAE＝∠ACB，在射线AE上截取AD＝BC，连接CD，并证明：CD∥AB.(尺规作图要求保留作图痕迹，不写作法)22.(本小题满分12分)如图8，某无人机于空中A处探测到目标B、D，从无人机A上看目标B、D的俯角分别为30°，60°，此时无人机的飞行高度AC为60m，随后无人机从A处继续水平飞行303m到达A′处，(1)求A、B之间的距离；(2)求从无人机A′上看目标D的俯角的正切值.23.(本小题满分12分)如图9，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝－x＋3与x轴交于点C与直线AD交于点A(43，53)，点D的坐标为(0，1).(1)求直线AD的解析式；ABC图7ABCDA′图830°60°数学试卷第4页共10页(2)直线AD与x轴交于点B若点E是直线AD上一动点(不与点B重合)，当△BOD与△BCE相似时，求点E的坐标.24.(本小题满分14分)已知抛物线y＝mx2＋(1－2m)x＋1－3m与x轴相交于不同的两点A，B，(1)求m的取值范围；(2)证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点P，并求出点P的坐标；(3)当14＜m≤8时，由(2)求出的点P和点A，B构成的△ABP的面积是否有最值，若有，求出最值及相应的m值；若没有，请说明理由.25.（本小题满分14分）如图10，点C为△ABD外接圆上的一动点（点C不在BAD︵上，且不与点B、D重合），∠ACB＝∠ABD＝45°，(1)求证：BD是该外接圆的直径；(2)连接CD，求证：2AC＝BC＋CD;(3)若△ABC关于直线AB的对称图形为△ABM，连接DM，试探究DM2，AM2，BM2三者之间满足的等量关系，并证明你的结论.ABCD图10AOCDxy图9B数学试卷第5页共10页2016年广州市中考数学试卷答案一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）1-5.CADAD6-10.BDCBA二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）11.a(2a＋b).12.x≤9.13.13cm.14.x＝－1.15.8.16.①②③.三、解答题（本大题共9小题，满分102分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17(本小题满分9分)解不等式组：2x＜53(x＋2)≥x＋4并在数轴上表示解集.解：2x＜5①3(x＋2)≥x＋4②解不等式①，得x＜52解不等式②，得x≥－1∴原不等式组的解集是－1≤x＜52解集在数轴上如图所示：18.(本小题满分9分)如图6，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AB＝AO，求∠ABD的度数.解：∵四边形ABCD是矩形∴OA＝OC＝12AC，OB＝OD＝12BD，AB＝CD∴OA＝OB(这里跳步－2分)又∵AB＝AO∴△ABC是等边三角形∴∠ABO＝60°∴∠ABD＝60°19.(本小题满分10分)某校为了提升初中学生学习数学的兴趣，培养学生的创新精神，举办“玩转数学”比赛，现有甲、乙、丙三个小组进入决赛，评委从研究报告、小组展示答辩三个方面为各小组打分，x01-4-3-2-123452ABCDO图6数学试卷第6页共10页各项成绩均按百分制记录，甲、乙、丙三个小组各项得分如下表：小组研究报告小组展示答辩甲918078乙817485丙798390(1)计算各小组平均成绩，并从高分到低分确定小组排名顺序；(2)如果按照研究报告点40%，小组展示点30%，答辩点30%，计算各小组成绩，哪个小组的成绩最高？解：甲组平均成绩：(91＋80＋78)÷3＝83乙组平均成绩：(81＋74＋85)÷3＝80丙组平均成绩：(79＋83＋90)÷3＝84∵84＞83＞80∴丙＞甲＞乙即丙第一，甲第二，乙第三.(2)甲组成绩：91×40%＋80×30%＋78×30%＝83.8乙组平均成绩：81×40%＋74×30%＋85×30%＝80.1丙组平均成绩：79×40%＋83×30%＋90×30%＝83.5∵83.8＞83.5＞80.1∴甲＞丙＞乙即甲组成绩最高.20.(本小题满分10分)已知A＝(a＋b)2－4abab(a－b)2(a，b≠0且a≠b)(1)化简A；(2)若点P(a，b)在反比例函数y＝－5x的图象上，求A的值.解：(1)A＝(a＋b)2－4abab(a－b)2＝(a2＋b2＋2ab)－4abab(a－b)2＝a2＋b2－2abab(a－b)2＝(a－b)2ab(a－b)2＝1ab(2)∵P(a，b)在反比例函数y＝－5x上，∴b＝－5a∴ab＝－5代入A＝1ab＝1－5＝－1521.(本小题满分12分)如图7，利用尺规，在△ABC的边AC上方作∠CAE＝∠ACB，在射线AE上截取AD＝BC，连接CD，并证明：CD∥AB.(尺规作图要求保留作图痕迹，不写作法)解：作图如图7－1所示，下面证明：CD∥AB∵AD＝BCABC图7AE图7-1DCB数学试卷第7页共10页∠CAE＝∠ACBAC＝AC∴△DAC≌△BCA(SAS)∴∠ACD＝∠CAB∴CD∥AB22.(本小题满分12分)如图8，某无人机于空中A处探测到目标B、D，从无人机A上看目标B、D的俯角分别为30°，60°，此时无人机的飞行高度AC为60m，随后无人机从A处继续水平飞行303m到达A′处，(1)求A、B之间的距离；(2)求从无人机A′上看目标D的俯角的正切值.(1)在Rt△ABC中，∠B＝30°，AC＝60，AB＝ACsinB＝60sin30°＝120(m)(或者直接AB＝2AC＝120)(2)在Rt△ACD中，∠ADC＝60°CD＝ACtan∠ADC＝60tan60°＝203(m)过D作DE⊥AA′于E如图8－1所示，则四边形ACDE是矩形，AE＝CD＝203从无人机A′上看目标D的俯角即为∠DA′E在Rt△A′DE中，A′E＝AE＋AA′＝303＋203＝503DE＝AC＝60tan∠DA′E＝DEAE＝60503＝23523.(本小题满分12分)如图9，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝－x＋3与x轴交于点C与直线AD交于点A(43，53)，点D的坐标为(0，1).(1)求直线AD的解析式；(2)直线AD与x轴交于点B若点E是直线AD上一动点(不与点B重合)，当△BOD与△BCE相似时，求点E的坐标.解：(1)设AD:y＝kx＋b(k≠0)43k＋b＝53b＝1解得k＝12b＝1∴直线AD的解析式是y＝12x＋1.ABCDA′图830°60°ABCDA′图8-130°60°EAOCDxy图9-1EBAOCDxy图9B数学试卷第8页共10页(2)△BOD与△BCE相似，可分为两种情况：①△BOD∽△BCE，CE⊥x轴，如图9－1在直线y＝－x＋3中，令y＝0，得x＝3∴C(3，0)当x＝3时，代入ADy＝12x＋1，y＝12×3＋1＝52∴E(3，52)②△BOD∽△BEC时，BE⊥AD，如图9－2方法一：kCE＝－1kAD＝－2，设AD:y＝－2x＋b1代入C(3，0)，－2×3＋b1＝0，b1＝6∴AD:y＝－2x＋6y＝－2x＋6y＝12x＋1，解得x＝2y＝2，∴E(2，2)方法二：过E作EF⊥x轴于F，∵△BOD∽△BEC∴BOBD＝BEBC＝ODCE，BO＝2，BC＝3－(－2)＝5，BD＝5，OD＝1∴25＝BE5＝1CE∴BE＝25，CE＝5(或者用等积法12×BE×CE＝12×BC×EF，EF＝BE×CE/BC＝25×55＝2)△BEF∽△BCE，EFBE＝CEBC，EF25＝55，EF＝2，∴12x＋1＝2，x＝2，∴E(2，2)综合①②，E(3，52