浮体在波浪中的运动响应

2.3浮体在波浪中的运动响应2.3.1浮体动力学方程单自由度刚体自由振动时其动力学方程为:(M+∆M)𝑋̈+𝐵𝑋̇+𝐾𝑋=0(2-48)式中：M为刚体对应自由度的质量或惯性质量；∆M为刚体对应自由度的附加质量或附加质量惯性质量；B为阻尼；K为刚体对应自由度的恢复刚度。式（2-48）每一项都除以(M+∆M)，则式子变为：𝑋̈+2𝜁𝜆𝑋̇+𝜆2𝑋=0（2-49）式中：ζ=B/[2(M+∆M)λ]为无量纲阻尼比；λ=√𝐾𝑀+∆𝑀为刚体对应自由度的运动固有周期。当浮体受到简谐载荷作用时，其运动方程为：𝑋̈+2𝜁𝜆𝑋̇+𝜆2𝑋=𝐹0𝑀+∆𝑀𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡（2-50）浮体运动稳态解为：X(t)=Asin(ωt−β)（2-51）其中：A=𝐹0𝐾1√(1−𝛾2)2+(2𝜁𝜆)2为运动幅值；γ=𝜔𝜆为简谐载荷频率与结构固有频率的比；β=arctan2𝜁𝜆1−𝛾2为运动滞后于简谐载荷的相位。运动幅值与静位移的比称为动力放大系数DAF（图2.9），即：DAF=𝐴𝐹0/𝐾=1√(1−𝛾2)2+(2𝜁𝜆)2（2-52）图2.9动力放大系数与无量纲阻尼及频率比的关系无量纲阻尼比ζ=0时，DAF=1√(1−𝛾2)2，当激励频率与固有频率接近时，DAF趋近于∞；当无量纲阻尼比ζ≠0时，DAF极值为𝐷𝐴𝐹𝑚𝑎𝑥=12𝜁√1−𝜁2；当无量纲阻尼比ζ较小时，DAF极值近似为𝐷𝐴𝐹𝑚𝑎𝑥≈12𝜁。由此可以看出，系统阻尼越大，动力放大系数DAF越小，阻尼的存在对于抑制共振幅值起着关键作用。对于相位：当阻尼比较小，且频率比γ远小于1时，相位角β趋近于0；当频率比γ远大于1时，相位角β趋近于π；当频率比γ=1时，无论阻尼比为何值，响应相位β=π/2。如图2.10所示为相位角与无量纲阻尼比及频率比的关系。图2.10相位角与无量纲阻尼比及频率比的关系在多种环境载荷作用下，浮体动力方程可以表达为：[M+∆M]𝑋̈+[𝐵𝑟𝑎𝑑+𝐵𝑣𝑖𝑠]𝑋̇+[𝐾𝑠𝑡𝑖𝑙𝑙𝑤𝑎𝑡𝑒𝑟+𝐾𝑚𝑜𝑜𝑟𝑖𝑛𝑔]𝑋=𝐹1+𝐹2𝐿𝑜𝑤+𝐹2𝐻𝑖𝑔ℎ+𝐹𝑤𝑖𝑛𝑑+𝐹𝑐𝑢𝑟𝑟𝑒𝑛𝑡+𝐹𝑜𝑡ℎ𝑒𝑟𝑠（2-53）其中：M为浮体质量矩阵；∆M为浮体附加质量矩阵；B𝑟𝑎𝑑为辐射阻尼矩阵；B𝑣𝑖𝑠为黏性阻尼矩阵；K𝑠𝑡𝑖𝑙𝑙𝑤𝑎𝑡𝑒𝑟为静水刚度；K𝑚𝑜𝑜𝑟𝑖𝑛𝑔为系泊系统刚度；F1为一阶波频载荷；F2𝐿𝑜𝑤为二阶低频载荷；F2𝐻𝑖𝑔ℎ为二阶高频载荷；F𝑤𝑖𝑛𝑑为风载荷；F𝑐𝑢𝑟𝑟𝑒𝑛𝑡为流载荷；F𝑜𝑡ℎ𝑒𝑟𝑠为其他载荷。浮体运动自由度的固有周期表达式为：𝑇𝑖=2𝜋√𝑀𝑖𝑖+∆𝑀𝑖𝑖𝐾𝑖𝑖,𝑠𝑡𝑖𝑙𝑙𝑤𝑎𝑡𝑒𝑟+𝐾𝑖𝑖,𝑚𝑜𝑜𝑟𝑖𝑛𝑔（2-54）其中质量矩阵表达式为：zzzyzxGGyzyyyxGGxzxyxxGGGGGGGGIIIMxMyIIIMxMzIIIMyMzMxMyMMxMzMMyMzMM000000000000（2-55）式中（xG,yG,zG）为重心位置；Iij为惯性质量。刚度矩阵表达式为：（2-56）其中：（XB,YB,ZB）为浮心位置；S为水线面面积；Si/Sij为水线面面积一阶/二阶0000)(00)(00000000000000000K111211222212,GYBGXBGYBGZBGXBGZBStillwaterijMgygVMgxgVMgygVMgzSSggSgSMgxgVgSMgzVSggSgSgSgS矩。∆M、B𝑟𝑎𝑑、F1、F2𝐿𝑜𝑤、F2𝐻𝑖𝑔ℎ可以由水动力计算软件求出；B𝑣𝑖𝑠可以通过莫里森单元进行计算，也可以自行指定并添加到计算模型中；K𝑚𝑜𝑜𝑟𝑖𝑛𝑔为系泊刚度，可以由系泊分析软件给出结果，也可以自行输入到计算模型中；F𝑤𝑖𝑛𝑑风载荷一般通过指定风力系数，在计算模型中输入风速来进行计算；F𝑐𝑢𝑟𝑟𝑒𝑛𝑡流载荷一般通过指定流力系数，在计算模型中输入流速来进行计算。图2.11浮体的六个运动自由度对于浮体运动通常需要考虑六个自由度：纵荡（Surge）、横荡（Sway）、升沉（Heave）、横摇（Roll）、纵摇（Pitch）以及艏摇（Yaw），如图2.11所示。对于一般的船型结构物，纵荡、升沉、纵摇运动是耦合的；横荡、横摇运动是耦合的。2.3.2频域分析（1）RAO浮体运动幅值响应算子（ResponseAmplitudeOperaters,RAO）的含义是浮体对应自由度运动幅值与波幅的比，表明在线性波浪作用下浮体的运动响应特征。以船舶的横摇运动为例，横摇RAO为船舶在单位波幅的规则波作用下所产生的，关于波浪频率的横摇运动幅值函数，近似表达式为：𝑅𝑜𝑙𝑙𝑅𝐴𝑂=𝜃𝑋𝜉𝑎=𝐷𝐴𝐹𝑅𝑜𝑙𝑙𝜔2𝑔57.3𝑠𝑖𝑛𝛽(2-57)其中：𝜃𝑋为船舶横摇运动幅值；𝜉𝑎为入射波波幅，此处为规则波单位波幅；𝐷𝐴𝐹𝑅𝑜𝑙𝑙为横摇运动方程得到的动力放大系数；ω为入射波圆频率；β为入射波角度，式（2-57）单位为°/m。RAO本质上描述的是线性条件下入射波福与浮体运动幅值的关系。但描述刚体运动仅关注幅值响应是不够的，还需要关注运动响应相位的变化。当对运动响应结果求一次导数、二次导数后，对应的运动RAO变为运动速度响应RAO和加速度响应RAO。（2）不规则波作用下的波频运动响应对于一个给定的波浪谱S(ω)，零航速下浮体的波频运动响应谱SR（ω）可以表达为：𝑆𝑅(𝜔)=𝑅𝐴𝑂2𝑆(𝜔)(2-58)根据响应谱得到的第n阶矩的表达式为：𝑚𝑛𝑅=∫𝜔𝑛𝑆𝑅(𝜔)𝑑𝜔∞0(2-59)其中：mnR为运动方差。一般认为短期海况符合窄带瑞利分布，浮体的波频运动近似认为同样符合瑞利分布，则浮体波频运动有义值可以根据谱矩求出，即𝑅1/3=2√𝑚0𝑅(2-60)对应运动平均周期T1R和平均跨零周期T2R为：𝑇1𝑅=2𝜋𝑚0𝑅𝑚1𝑅(2-61)𝑇2𝑅=2𝜋√𝑚0𝑅𝑚2𝑅(2-62)（3）不规则波作用下的波频运动统计分析浮体运动响应值Ra以瑞利分布表达：f(𝑅𝑎)=𝑅𝑎𝑚0𝑅exp{𝑅𝑎2𝑚0𝑅}(2-63)那么Ra大于a的概率为：P(𝑅𝑎𝑎)=∫𝑅𝑎𝑚0𝑅exp(−𝑅𝑎22𝑚0𝑅)𝑑𝑅𝑎=exp(−𝑎22𝑚0𝑅∞𝑎)(2-64)对上式两边求对数，则:𝑅𝑎=𝑘√𝑚0𝑅(2-65)K代表不同保证率，其与超越概率的关系如表2.3所示。表2.3超越概率与保证率及对应统计值关系超越概率F(ζ0)%0.13.913.5对应累计概率%99.996.186.5与标准差√𝑚0𝑅的倍数3.722.552.00对应统计值千分之一值十分之一值三分之一值（有义值）对于服从窄带瑞利分布的波浪和波浪频域的浮体运动响应，可以从频域角度根据方差来推断极值，如千分之一极值等于3.72倍的方差，等于1.86倍的有义值。对于“短期海况”时间t，浮体波频运动次数为t/T1R次，那么出现的最大值所对应的超越概率为发生次数的倒数T1R/t，则浮体运动最大值Rmax为：exp(−𝑅𝑚𝑎𝑥22𝑚0𝑅)=𝑇1𝑅𝑡(2-66)𝑅𝑚𝑎𝑥=√−2𝑚0𝑅𝑙𝑛𝑇1𝑅𝑡=√2𝑚0𝑅𝑙𝑛𝑡𝑇1𝑅(2-67)（4）低频运动的谱分析低频波浪载荷以谱的形式可以表达为下式：𝑆𝐹2−(∆𝜔)=8∫𝑆(𝜔)𝑆(𝜔+∆𝜔)[𝐹𝑖(𝜔+∆𝜔2)𝜉𝑎]2𝑑𝜔∞0(2-68)其中：S(ω)为波浪谱，𝐹𝑖(𝜔+∆𝜔2)为对应频率𝜔+∆𝜔2的平均波浪漂移力。系泊状态下的浮体低频响应动力方程为：(M+∆M)𝑋̈+𝐵′𝑋̇+𝐾𝑚𝑋=𝐹𝑖(𝑡)(2-69)式中：∆M为低频附加质量；B′为系泊状态下的系统阻尼；Km为系泊恢复刚度；𝐹𝑖(𝑡)为低频漂移力。对于系泊状态的浮体纵荡运动，其响应谱可以表达为：𝑆0𝑅2−(∆𝜔)=|𝑅2−(∆𝜔)|2𝑆𝐹2−(∆𝜔)(2-70)𝑅2−(∆𝜔)为质量-阻尼-弹簧系统的动力学导纳。根据之前的谱分析理论，则纵荡运动的低频方差为：𝑚0𝑅2−(∆𝜔)=∫𝑆𝐹2−(∆𝜔)[𝐾𝑚−(𝑀+∆𝑀)∆𝜔2]2+𝐵′2∆𝜔2𝑑∆𝜔∞0(2-71)由于系泊系统往往是小阻尼低频共振系统，因而上式中对于运动方差的主要贡献是纵荡固有周期附近的共振激励载荷，典型的低频运动极值为标准差的3-4倍。2.3.3时域分析时域分析引入了单位脉冲函数δ(τ)，其作用在系统上产生一个对应的响应h(t−τ)，即脉冲响应函数，其含义为浮式系统受到脉冲作用后产生的响应，表达的是受到脉冲影响发生运动直至恢复平静状态的过程中系统所经历的响应特性。线性系统在某段时间内的响应可以视作多个线性响应的叠加，即：R(t)=∫𝜉(1−𝜏)ℎ(𝜏)𝑑𝜏∞−∞(2-72)其中：𝜉(1−𝜏)为一段时间内的波高升高。ℎ(𝜏)可以通过频域分析中的频率响应函数经过傅里叶变换得到：h(τ)=∫𝐻(𝜔)𝑒𝑖𝑤𝑡𝑑𝜔∞−∞(2-73)对于有系泊系统的浮式结构物，其运动方程可以写为：∑[(𝑎𝑖𝑗+𝑚𝑖𝑗(𝑡))𝑥̈𝑗(𝑡)+∫𝐾𝑖𝑗(𝑡−𝜏)𝑥̇𝑗(𝜏)𝑑𝜏+𝐶𝑖𝑗𝑥𝑗(𝑡)]=𝐹𝑖(𝑡)𝑡06𝑗=1i=1,……,6(2-74)其中：[aij]为浮体的惯性质量矩阵；[mij(t)]为附体的附加质量矩阵；[Kij(t)]为延迟函数矩阵；[Cij]为静水恢复力矩阵；[Fi(t)]为波浪激励力；[xj(t)]为浮体位移矩阵。延迟函数矩阵[Kij(t)]为：𝐾𝑖𝑗(𝑡)=2𝜋∫𝐵𝑖𝑗(𝜔)cos(𝜔𝑡)𝑑𝜔∞0(2-75)延迟函数Kij(t)为频域水动力求解出的辐射阻尼Bij(ω)经傅里叶逆变换求出。为获得浮体在波浪中的运动位移矩阵[xj(t)]，必须知道浮体的附加质量矩阵[mij(t)]、延迟函数矩阵[Kij(t)]和波浪激励力矩阵[Fi(t)]。波浪激励力[Fi(t)]为：𝐹𝑖(𝑡)=∑𝑅{𝐴𝐾𝐹𝑖(𝜔𝑘)𝑒−𝑖(𝜔𝑘𝑡+𝜃𝑘)}𝑁𝑘=1(2-76)式中：𝐴𝐾、𝜔𝑘、𝜃𝑘对应波谱中每个规则波成分波的波幅、频率和相位；𝐹𝑖(𝜔𝑘)是频率为𝜔𝑘的单位波幅对应波浪激励力。当求出浮体的附加质量矩阵、延迟函数矩阵、静水恢复力矩阵、波浪激励力矩阵和浮体位移矩阵后，可以使用数值方法，经过迭代求解，最终求出浮体的运动时域响应与缆绳张力时域响应等结果。系泊系统与悬链线理论1、系泊系统系泊系统按照系泊缆几何形态与力学特性，可以分为悬链线式系泊和张紧式系泊两大类。（1）悬链线式系泊悬链线系泊方式（图2.12）是浮式结构物常见且传统的系泊方式。通常而言，悬链线系泊方式适用水深较浅。悬链线系泊系统的系泊缆呈现外形弯曲的悬链线形状，系泊系统的水平恢复力主要由悬在水中的系泊缆悬挂段和躺卧在海底的趟底段的缆绳重力提供，通常系泊缆的趟底段长度较长，在最恶劣海况下趟底段仍需要保持一定的长度以保证锚不受到上拔力作用，因而，悬链线系泊系统需要的系泊半径范围较大。图2.12悬链线系泊方式（2）张紧式系泊随着水深的增加，悬链线系泊系统的水中悬挂段重量快速增加，增加了系泊缆设