1.4-生活中的优化问题举例

1．4生活中的优化问题举例第一章导数及其应用学习导航学习目标1.了解利润最大、用料最省、效率最高等优化问题．2．掌握由实际问题建立数学模型，并表示为适当的函数关系式．(重点、难点)3．运用由导数求最值的方法解决生活中的优化问题．(重点)学法指导1.在利用导数解决实际问题的过程中体会建模思想．2．感受导数知识在解决实际问题中的作用，自觉形成将数学理论与实际问题相结合的思想，提高分析问题、解决问题的能力.第一章导数及其应用栏目导引教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第一章导数及其应用面积、容积最大问题学校举行活动，要张贴海报进行宣传．现要设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2，上、下两边各空2dm，左、右两边各空1dm.如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？(链接教材P34例1)栏目导引教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第一章导数及其应用[解]设版心的高为xdm，则版心的宽为128xdm，此时四周空白面积为S(x)＝(x＋4)(128x＋2)－128＝2x＋512x＋8，x＞0.求导数，得S′(x)＝2－512x2.令S′(x)＝2－512x2＝0，解得x＝16(x＝－16舍去)．于是宽为128x＝12816＝8.当x∈(0,16)时，S′(x)＜0；当x∈(16，＋∞)时，S′(x)＞0.因此，x＝16是函数S(x)的极小值点，也是最小值点．所以，当版心高为16dm，宽为8dm时，能使海报四周空白面积最小．栏目导引教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第一章导数及其应用2．利用导数解决优化问题的基本思路方法归纳1．利用导数解决几何问题，往往是求体积、面积的最值，首先看清题意，分析几何图形的特征，设出变量，列出目标函数式，注明定义域，再转化为用导数求最值．若在定义域内只有一个极值，则这个极值便为最值．栏目导引教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第一章导数及其应用1．用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器．先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°，再焊接而成(如图)．问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？解：设容器的高为x，容器的体积为V，则V＝(90－2x)(48－2x)x(0＜x＜24)，即V＝4x3－276x2＋4320x.∵V′＝12x2－552x＋4320，由V′＝12x2－552x＋4320＝0，得x1＝10，x2＝36.栏目导引教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第一章导数及其应用由V′＝12x2－552x＋4320＝0，得x1＝10，x2＝36.∵0＜x＜10时，V′＞0,10＜x＜36时，V′＜0，x＞36时，V′＞0，∴当x＝10时，V有极大值V(10)＝19600.又∵0＜x＜24，∴V(10)又是最大值．∴当x＝10时，V有最大值V(10)＝19600.故当容器的高为10cm时，容器的容积最大，最大容积是19600cm3.栏目导引教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第一章导数及其应用用料(费用)最省问题一艘轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比．已知速度为每小时10海里时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问轮船的速度是多少时，航行1海里所需的费用总和最小？[解]设速度为每小时v海里的燃料费是每小时p元，那么由题设的比例关系得p＝k·v3，其中k为比例系数，它可以由v＝10，p＝6求得，即k＝6103＝0.006，则p＝0.006v3.又设当船的速度为每小时v海里时，行1海里所需的总费用为q元，那么每小时所需的总费用是0.006v3＋96(元)，栏目导引教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第一章导数及其应用而行1海里所需时间为1v小时，所以，行1海里的总费用为：q＝1v(0.006v3＋96)＝0.006v2＋96v.q′＝0.012v－96v2＝0.012v2(v3－8000)，令q′＝0，解得v＝20.∵当v＜20时，q′＜0；当v＞20时，q′＞0，∴当v＝20时取得最小值，即速度为20海里/小时时，航行1海里所需费用总和最小．栏目导引教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第一章导数及其应用方法归纳注意利用导数的方法解决实际问题时，如果在定义区间内只有一个点使f′(x)＝0，且函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道该点的函数值就是最大(小)值．栏目导引教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第一章导数及其应用2．甲、乙两地相距400千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100千米/时，已知该汽车每小时的运输成本P(元)关于速度v(千米/时)的函数关系是P＝119200v4－1160v3＋15v.(1)求全程运输成本Q(元)关于速度v的函数关系式；(2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大速度行驶？并求此时运输成本的最小值．栏目导引教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第一章导数及其应用解：(1)Q＝P·400v＝119200v4－1160v3＋15v·400v＝119200v3－1160v2＋15·400＝v348－52v2＋6000(0＜v≤100)．(2)Q′＝v216－5v，令Q′＝0，则v＝0(舍去)或v＝80，当0＜v＜80时，Q′＜0；当80＜v≤100时，Q′＞0，∴v＝80千米/时时，全程运输成本取得极小值，即最小值，且Qmin＝Q(80)＝20003(元)．栏目导引教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第一章导数及其应用利润最大(成本最低)问题某市旅游部门开发一种旅游纪念品,每件产品的成本是15元,销售价是20元,月平均销售a件,通过改进工艺,产品的成本不变,质量和技术含金量提高,市场分析的结果表明,如果产品的销售价格提高的百分率为x(0＜x＜1),那么月平均销售量减少的百分率为x2.记改进工艺后,旅游部门销售该纪念品的月平均利润是y(元)．(1)写出y关于x的函数关系式；(2)改进工艺后，确定该纪念品的售价,使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大．栏目导引教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第一章导数及其应用[解](1)改进工艺后，每件产品的销售价为20(1＋x)，月平均销售量为a(1－x2)件，则月平均利润y＝a(1－x2)·[20(1＋x)－15](元)，∴y关于x的函数关系式为y＝5a(1＋4x－x2－4x3)(0＜x＜1)．(2)由y′＝5a(4－2x－12x2)＝0，得x1＝12，x2＝－23(舍去)，当0＜x＜12时，y′＞0；当12＜x＜1时，y′＜0，∴函数y＝5a(1＋4x－x2－4x3)(0＜x＜1)在x＝12处取得极大值，即最大值．故改进工艺后，产品的销售价为20(1＋12)＝30元时，旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大．栏目导引教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第一章导数及其应用方法归纳(1)经济生活中优化问题的解法经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减的快慢，以产量或单价为自变量很容易建立函数关系，从而可以利用导数来分析、研究、指导生产活动．(2)关于利润问题常用的两个等量关系①利润＝收入－成本；②利润＝每件产品的利润×销售件数．栏目导引教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第一章导数及其应用3．某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x(吨)与每吨产品的价格p(元/吨)之间的关系式为p＝24200－15x2，且生产x吨产品的成本为R＝50000＋200x(元)．问该工厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？(利润＝收入－成本)解：每月生产x吨时的利润为f(x)＝(24200－15x2)x－(50000＋200x)＝－15x3＋24000x－50000(x≥0)．由f′(x)＝－35x2＋24000＝0，解得x1＝200，x2＝－200(舍去)．栏目导引教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第一章导数及其应用因为f(x)在[0，＋∞)内只有一个点x＝200使f′(x)＝0，故它就是最大值点，且最大值为f(200)＝－15×2003＋24000×200－50000＝3150000(元)．所以每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元．栏目导引教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第一章导数及其应用规范解答导数在解决实际问题中的应用(本题满分12分)如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2，短半轴长为1，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，记|CD|＝2x，梯形的面积为S.(1)求面积S以x为自变量的函数解析式，并写出其定义域；(2)求面积S的最大值．栏目导引教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第一章导数及其应用[解](1)依题意，以AB的中点O为原点，AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则点C(x，y)满足方程x2＋y24＝1且x＞0，y＞0，y＝21－x2(0＜x＜1)．①3分∴S＝12(2x＋2)·21－x2＝2(x＋1)1－x2(0＜x＜1).4分(2)令f(x)＝S2＝4(x＋1)2(1－x2)(0＜x＜1)，②6分则f′(x)＝8(x＋1)2(1－2x)．令f′(x)＝0，解得x＝12或x＝－1(舍去).8分栏目导引教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第一章导数及其应用当0＜x＜12时，f′(x)＞0，f(x)为增函数；当12＜x＜1时，f′(x)＜0，f(x)为减函数.10分∴f(12)是f(x)在区间(0,1)上的极大值，也是最大值，且f(12)＝274，此时S＝332.故当x＝12时，S取得最大值332.12分栏目导引教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第一章导数及其应用[规范与警示](1)解答本题两个关键步骤①利用点C在椭圆上，用x表示y即梯形的高是本题的难点，也是一得分点．②由于S关于x的函数为无理函数，通过平方将其转化为熟悉且容易解决的多项式函数，可减少繁琐计算，避免失分．(2)解答本题易误点：一是语言叙述不规范，二是用x表示出S后忽视定义域，三是由f′(x)＝0求出x＝12，不说明函数单调性，直接利用S2＝f(12)得出结果，步骤缺失．栏目导引教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第一章导数及其应用(3)利用导数解决优化问题时应注意①列函数关系式时，注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域．②一般地,通过函数的极值来求得函数的最值,如果函数f(x)在给定区间内只有一个极点或函数f(x)在开区间上只有一个点使f′(x)＝0,则只要根据实际意义判断该值是最大值还是最小值即可,不必再与端点处的函数值进行比较．栏目导引教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第一章导数及其应用栏目导引教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第一章导数及其应用本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放