机械振动与波动

第8章振动与波振动：任一物理量在某一定值附近往复变化均称为振动.振动的特征：往返性机械振动力学物理量（物体）围绕一固定位置往复运动.产生机械振动的原因：恢复力和惯性振动的运动形式：有直线、平面和空间振动.周期和非周期振动例如一切发声体、心脏、海浪起伏、地震以及晶体中原子的振动等.1、简谐振动的定义kxF22dtxdmF022xmkdtxd0222xdtxdmktAxcosmFX0xk令以弹簧振子研究建立如图的坐标系物体质量m,坐标x所受回复力为F.此方程的通解为：有一、简谐振动)cos(tAx☺振幅maxxA☺周期、频率kmTπ2弹簧振子周期π2T周期π21T频率Tπ2π2圆频率])(cos[TtA周期和频率仅与振动系统本身的物理性质有关注意tx图AAxT2Tto2.描述简谐振动的特征量☺相位(t+)是t时刻的相位，是t=0时刻的相位——初相第8章振动与波相位的意义:()cos()ωxtAt相位已知则振动状态已知,相位每改变2振动重复一次.相位2范围内变化,状态不重复.txOA-A=2相位差1111cos()xAt2222cos()xAt2211()()tt2121（当时）第8章振动与波当=2k两振动步调相同,称同相。xtoA1-A1A2-A2x1x2T同相当=(2k+1)两振动步调相反,称反相。x2TxoA1-A1A2-A2x1t反相第8章振动与波超前和落后txOA1-A1A2-A2x1x2若=2-10,则x2比x1早达到正最大,称x2比x1超前(或x1比x2落后)。End第8章振动与波3.速度和加速度sin()ωωAtv)cos(2ωωtAcos()tAvv2cos(π)atAcos()aatA第8章振动与波4.简谐振动方程的求法()cos()xtAωt0cosxAsin()ωAωtv0sinωAv22002Axv100tg()xv0tMxxttNPtAO振动相位逆时针方向M点在x轴上投影(P点)的运动规律：的长度A旋转的角速度A旋转的方向A与参考方向x的夹角A振幅A振动圆频率)cos(tAx5、旋转矢量表示简谐振动第8章振动与波旋转矢量法特点:直观方便t+oxxtt=0AAvasin()Atvcos()2At2cos()aAtcos()Atvvcos()aaAt··()cos()xtAt第8章振动与波6.简谐振动的合成同方向同频率的简谐振动的合成1.分振动:2.合振动:111cos()xAt222cos()xAt解析法)cos()cos(2211tAtAtAAtAAsin)sinsin(cos)coscos(22112211cosAsinAcoscossinscos(in)AtAtxAt221212212cos()AAAAA11221122sinsintancoscosAAAA12xxx结论：合振动x仍是简谐振动11A1xx022112211coscossinsintanAAAA)cos(212212221AAAAA)cos(tAx)cos(111tAx)cos(222tAxAx2x2A2两个同方向同频率简谐运动合成后仍为简谐运动旋转矢量合成法第8章振动与波讨论:(1)若两分振动同相,即21=2k(k=0,1,2,…)则A=A1+A2,两分振动相互加强，当A1=A2时,A=2A1O)cos()(21tAAx(2)若两分振动反相,即21=(2k+1)(k=0,1,2,…)则A=|A1-A2|,两分振动相互减弱，当A1=A2时,A=0tAxcos11)πcos(22tAxπ)cos()(12tAAx第8章振动与波例1一质量为的物体作简谐运动，其振幅为，周期为，起始时刻物体在kg01.0m08.0s4xm04.0处，向轴负方向运动（如图）.试求Ox（1）时，物体所处的位置和所受的力；s0.1to08.004.004.008.0m/xv解m08.0A1s2ππ2T第8章振动与波o08.004.004.008.0m/x3π00vm04.0,0xt代入)cos(tAxcos)m08.0(m04.03πA3π]3π)s2πcos[()m08.0(1txm08.0A1s2ππ2T第8章振动与波o08.004.004.008.0m/xv]3π)s2πcos[()m08.0(1txs0.1t代入上式得m069.0xxmkxF2)m069.0()s2π)(kg01.0(21N1070.13kg01.0m第8章振动与波o08.004.004.008.0m/xv（2）由起始位置运动到处所需要的最短时间.m04.0x方法一设由起始位置运动到处所需要的最短时间为m04.0xt]3π)s2πcos[()m08.0(m04.01ts2π3π)21(arccosts667.0s32第8章振动与波o08.004.004.008.0m/x解法二3π3π起始时刻时刻tt3πts667.0s32t1s2π第8章振动与波2.条件第二节波动一.机械波的产生二.横波和纵波介质质点的振动方向与波传播方向相互垂直的波；如柔绳上传播的波。介质质点的振动方向和波传播方向相互平行的波；如空气中传播的声波。波源：作机械振动的物体｛横波：纵波：1.定义机械波:机械振动以一定速度在弹性介质中由近及远地传播出去，就形成机械波。弹性介质：承担传播振动的物质横波：质点振动方向与波的传播方向相垂直的波.横波与纵波特征：具有交替出现的波峰和波谷.纵波：质点振动方向与波的传播方向互相平行的波.（可在固体、液体和气体中传播）特征：具有交替出现的密部和疏部.第8章振动与波振动曲线ty结论0t4Tt2TtTt43TtTt451234567891011121314151617184Tt2TtTt43TtTt45Tt230t123456789101112131415161718横波纵波(1)波动中各质点并不随波前进；yux波动曲线(2)各个质点的相位依次落后,波动是相位的传播；(3)波动曲线与振动曲线不同。第8章振动与波波面三.波面和波线在波传播过程中，任一时刻媒质中振动相位相同的点联结成的面。沿波的传播方向作的有方向的线。球面波柱面波波面波线波面波线在各向同性均匀媒质中，波线⊥波面。波面波线波前在某一时刻，波传播到的最前面的波面。波线注意xyz第8章振动与波同一波线上相邻两个相位差为2的质点之间的距离；即波源作一次完全振动，波前进的距离。四.波长周期频率和波速波前进一个波长距离所需的时间。周期表征了波的时间周期性。单位时间内，波前进距离中完整波的数目。频率与周期的关系为1T振动状态在媒质中的传播速度。波速与波长、周期和频率的关系为uT:波长（）:T周期（）:频率（）:u波速（）波长反映了波的空间周期性。第8章振动与波(1)波的周期和频率与媒质的性质无关；一般情况下，与波源振动的周期和频率相同。lYua.拉紧的绳子或弦线中横波的波速为：tTub.均匀细棒中，纵波的波速为：(2)波速实质上是相位传播的速度，故称为相速度；其大小主要决定于媒质的性质，与波的频率无关。说明T—张力—线密度Y—固体棒的杨氏模量—固体棒的密度例如：第8章振动与波波面为平面的简谐波五.简谐波1.简谐波简谐振动状态在介质中的传播，波所到之处，介质中各质点作同频率的谐振动。本节主要讨论在无吸收（即不吸收所传播的振动能量）、各向同性、均匀无限大媒质中传播的平面简谐波。2.平面简谐波平面简谐波说明简谐波是一种最简单、最基本的波，研究简谐波的波动规律是研究更复杂波的基础。第8章振动与波（一）平面简谐波的波函数(,)yfxt0cos()oyAt一般波函数yxxuPO简谐振动从时间看,P点t时刻的位移是O点xtu简谐振动cos()yAt平面简谐波的波函数时刻的位移;0(,)cos[()]PxyxtAtu从相位看，P点处质点振动相位较O点处质点相位落后xu设波源在坐标原点0(,)cos[()]xyxtAtuP为任意点(波函数)第8章振动与波02π(,)cos[()]yxtAutx0(,)cos[2π()]xyxtAt0(,)cos[2π()]txyxtAT波函数的其它形式若波沿轴负向传播时，同样可得到波函数:0(,)cos[()]xyxtAtu其它形式0(,)cos[2π()]xyxtAt0(,)cos[2π()]txyxtAT02π(,)cos[()]yxtAutx第8章振动与波（二）.波函数的物理意义t1时刻的波形Oyxu1xx(2)t给定，y=y(x)表示t时刻的波形图(3)y给定,x和t都在变化，表明波形传播和分布的时空周期性。(1)x给定，y=y(t)是x处振动方程t1+Δt时刻的波形x1第8章振动与波由波函数可知波的传播过程中任意两质点x1和x2振动的相位差为110220([()[(])])xxttuuxuxx2x1,Δ0，说明x2处质点振动的相位总落后于x1处质点的振动；讨论第8章振动与波如图，在下列情况下试求波函数：1cos[4π()]8AyAt(3)若u沿x轴负向，以上两种情况又如何？例1(1)以A为原点；(2)以B为原点；BA1xx已知A点的振动方程为：u(1)在x轴上任取一点P，该点振动方程为：1cos[4π()]8pxyAtu1(,)cos[4π()]8xyxtAtu波函数为：解P1xBAx第8章振动与波(2)B点振动方程为：11()cos[4π()]8BxytAtu11(,)cos[4π()]8xxyxtAtu1(,)cos[4π()]8xyxtAtu(3)以A为原点：以B为原点：波函数为:11(,)cos[4π()]8xxyxtAtu第8章振动与波一平面简谐波沿x轴正方向传播，已知其波函数为0.04cos(500.10)mytx500.100.04cos2π()22ytx0.04mA20.04s50T220m0.10500m/suT比较法(与标准形式比较）0(,)cos[2π()]txyxtAT标准形式波函数为比较可得例2解(1)波的振幅、波长、周期及波速；(2)质点振动的最大速度。求第8章振动与波0.0450πsinπ(500.10)ytxtvmax0.04506.28m/sv(2)u第8章振动与波知某一时刻波前，可用几何方法决定下一时刻波前；例如R1R2S1S2O1S2Stttrut六.波的传播与叠加（一）.惠更斯原理：(1)行进中的波面上任意一点都可看作是新的子波源；(3)各个子波所形成的包络面，就是原波面在一定时间内所传播到的新波面。(2)所有子波源各自向外发出许多子波；第8章振动与波(二).波的叠加原理1.波传播的独立性2.叠加原理当几列波在传播过程中在某一区域相遇后再行分开，各波的传播情况与未相遇一样，仍保持它们各自的频率、波长、振动方向等特性继续沿原来的传播方向前进。在波相遇区