马尔科夫与布朗运动在股价预测中的运用..

马尔科夫与布朗运动在股价预测中的运用主讲人：小组成员：研究背景股民们都希望从研究股票市场价格的变化中找出一些规律。使自己损失最小化，收益最大化。但是股票市场是一个复杂的非线性运动系统。受到多种因素的交互影响，精确预测股票未来价格是非常困难的。但对于短期的某种程度的预测是可行的，而且对投资者的投资行为具有借鉴意义。经济预测方法有很多，而本文企图引入马尔科夫过程和布朗运动过程，来构建股票价格预测模型。最后通过引实证进行分析，进一步对比这两种方法的联系与区别。一、理论基础与模型构建(一)马尔科夫预测法1．运用马尔科夫预测法预测股票价格的步骤•第一步，马尔科夫模型的建立；•第二步，构造股票价格变化的分布状态；•第三步，检验马尔科夫性。2．马尔科夫模型的建立利用股市的历史资料，统计得出连续两个时间段内，前一时间段股价处于区，后一时间段股价处于j区的概率，构造一步转移概率矩阵。其中且。k步转移概率矩阵为：（1）(,)ijPijI1()ijPP1ijijnijjnPn11nijjPkP1kkPP记概率向量为第t个时间段股价的绝对概率向量其中表示第t个时间段股价处于第区的绝对概率，据(1)可知股价第个时段的绝对概率向量为：（2）若给定初始概率向量。可知t个时问段后的股价预测的马尔科夫过程模型为：（3）所以，可在已知初始概率向量的情况下，对于任意时间段后股价所处的区间的概率分布做出预测。12()((),(),,())TnPtPtPtPt()iPt()iiI(,)tktkT1()()()kkPtkPtPPtP1()(0)(0)ttPtkPPPP二、基于布朗运动的股价的预测模型1．股价的基本模型一般认为描述股价运动的形式为：（4）其中，表示t时刻的股票价格，和分别称为期望漂移率和波动率，是标准的布朗运动。在时间间隔内，，即（5）,（4）左端表示股票的“瞬间收益率”，其均值为，方差为。由于布朗运动的特性，股票“瞬间收益率”是一个服从正态分布的随机变量。可将（4）式改写成：tttdSdtdWStStWt~(0,)tWNttttdSdtdWStttdSSdtSdtdt2dt,~(0,1)ttdWdN其中和分别是股票收益的均值和标准差。股票价格的改变量应由确定项(期望项)和波动项(随机项)组成。据Ito定理得：（6）所以，股价在任意时间段内服从，即股价服从对数正分布。2．模拟公式的推导根据股票价格在任意时间段内服从对数正态分布，由（6）式可以得到随机微分方程的离散形式为：（7）tdS22ln~[(),]2ttdSNddttS[,]ttdttS,~(0,1)ttdWdN2lnln()2tttSStt那么在已知时间段时刻的股票价格的情况下，如果能够求得股票收益的均值和标准差，可根据公式（7）算出时间间隔内股票价格对数的改变量，如果将控制在一个小的时间范围内就可以模拟股票走势。为了利用（7）式模拟股票走势，我们先计算出股票收益对数的均值和标准差，我们可以根据股票价格的历史数据来正确估计股票收益对数的均值和标准差。又因为是常数，那么通过上式，可以导出均值和标准差的计算公式（8）（9）,tttSlnlntttSSt~(0,1),~(0,1),,tttNdWdN2222[lnln][()])22[lnln][()]2ttttttESSEtttVarSSVarttt22[lnln]2[lnln]ttttttESStVarSSt可以通过股票价格的历史利用以上公式来模拟股票价格走势。二、实证分析(一)马尔科夫转移矩阵预测股价(以江泉实业为例实证分析)(1)首先对原始数据进行马尔科夫性检验{}(1,2,,)iSTPRICEPRICE(-1)1.062849-0.15436[6.88559]PRICE(-1)-0.194415-0.2164[-0.89842]PRICE(-1)0.069069-0.13681[0.50484]C0.829462]-0.48464[1.71152]PRICE为历史数据各期股价，在上表中我们可以清晰地看到：M(-1)的系数6.88559在置信水平5％的水平楼下是显著的，M(-2)和M(-3)的系数-0.898和0.505在置信水平5％的水平楼下是不显著的，这说明，t期的股价变化只与t-1期有关，与t-2和t-3期值都无关，这说明江泉实业股价的变化具有马尔科夫性。(2)江泉实业（2011年7月4日～2011年8月6日40个交易日的收盘价格）如表1所示：表1T：时间P:价格C：状态T12345678P5.265.425.385.295.215.375.695.7CiiiiiijjT910111213141516P5.695.835.845.755.765.865.866.13CjjjjjjjkT1718192021222324P6.746.666.666.356.776.726.616.71ClllkllllT2526272829303132P6.085.666.166.376.697.237.167.28CkjkklmmmT3334353637383940P7.066.927.096.857.087.217.157.01Cmlmlmmmm将这40个收盘价格划分为5个区间（由低到高每区间O.5个价格单位），得到区间状态为：i(5.5以下)，j(5.5—6.0)，k(6.0—6.5)，L(6.5—7.0)，m(7.0以上)。由以上资料得到这4O个交易日的收盘价格状态转移情况如表2：表2可计算出各状态间的概率转移矩阵：0.792000000.80.20000.20.20.6000.20.50.300000.3750.625P下期本期ijklmi61000j08200k01130l00253m00035表1知，第40个交易日的收盘价为7.01(即为m状态区间)，所以用马尔科夫链进行预测时初始概率向量为：。由（1）式可计算出第40个交易日以后各天的股价。由此可见，第41个交易日的股价出现在m区间的概率最大，故预测的第一个状态为l状态，与实际值6.96所属状态一致。(二)布朗运动预测股价已知2011年江泉实业收盘价格为5.26元，我们将模拟接下来的60个交易日该股票的价格走势。最后对模拟数据与实际数据进行对比分析。首先。选择2009年9月30日前五年的月K线图中的数据来估计股票收益对数的均值和标准差。由（8）和（9）式，取，可以得到=0.0012,=0.046.(0)00010P(1)(0)000.20.50.3PPP1t由公式可模拟出2011年8月31日以后每个交易日江泉实业的收盘价格，以60个交易日为例。这里是用R软件生成的服从N(0，1)的随机数。通过计算，得到模拟价格，模拟趋势如图1所示：图12lnln()2tttSStt1,60t三、对比分析1、在进行股票价格预测的时候，发现布朗运动模拟出的股价比较平稳，变化比较小，在股票价格波动不大的时候比较有效。从折线图可以看出江泉实业预测价格和真实价格的接近程度还不错，但是也有一些偏差。造成偏差的原因有：•（1）利用R软件生成的随机数的组数只生成了一组，随机性较强；•（2）影响股价波动的因素很复杂；•（3）股票价格服从布朗运动的一个假设是股票市场是有效市场，而我国的股票市场还处在初级阶段，不能完全认为是有效市场。以上的分析可以看出，基于布朗运动的股价模拟模型有一定的应用价值，但是要得到更精确的模拟还需结合我国股票市场的具体情况，全面考虑影响股票价格波动的因素。2、在运用马尔科夫链进行股价预测的时候，由于状态的转移仅与它前一期的状态和取值有关，而与前一期以前所处的状态和取值无关，因此用状态转移矩阵进行股价的预测的时候下一期都一直依赖于上一期，而在进行不断的预测的时候，“上一期”数据已经变成了我们预测出来的数据，而不是真实的前一期值，因此在做短期的预测的时候，不断地依赖前一期的真实值使预测数据更准确。四、结论本文分别用马尔科夫链和布朗运动建立股价数学模型，并用模型预测了股票价格的波动情况，并对马尔科夫链和布朗运动对股价的预测效果进行了对比，由于马尔科夫链有“无后效性”，所以在股票市场有效的条件下，比较客观地刻画股票价格的变化规律，从而达到相对准确地预测股票价格的目的。但是这两种预测只是表明了预测对象将来将以某一概率趋向于某种状态。而不是绝对处于这种状态。也并不能完全得到股票价格的具体数值。由于股市的波动是一个复杂的非线性系统，股票价格的变化受到了多种因素的影响，不仅包括多空双方力量对比，还包括基本面、政策面、宏观面以及人们的心理因素等等，决不存在既定的变化规律。因而包括马尔科夫和布朗运动在内的任何一种预测方法都不可能准确地预测出股价每日的变化。运用马尔科夫预测法对股价作短期预测只能取得一定的效果，运用布朗运动能够对价格平稳的股票价格取得效果较好的预测。参考文献：【1】《运用马尔科夫预测法构建股价预测模型》汪森、罗剑经济师2005.l【2】《基于布朗运动的股价模拟与实证分析》迟卓中央民族大学学报(自然科学报)2009.1【3】《基于马尔科夫链的股价预测》赵颖洁、王建国商场现代化2009.2thanks