幂等变换

)I摘要幂等变换是一类特殊的线性变换，它不是孤立存在的，而是与其它线性变换紧密相连，在物理、化学等学科中也有着广泛的应用，极大地推动和丰富了它们的发展，许多新的理论、技巧和方法的诞生与发展都是幂等变换理论的应用与推广.本文首先简要叙述了一般线性变换的基本理论，在此基础上给出幂等变换的定义，并指出几类特殊的幂等变换；其次，归纳总结了幂等变换的性质，如幂等矩阵的形式、幂等变换的特征值与特征向量、特征多项式、秩与迹及幂等变换的对角化问题，讨论过程由浅入深，层层推进，对幂等变换的相关知识形成了较为完整的知识体系，对幂等变换的一些特殊的性质理解深刻；最后，结合幂等变换的概念与性质，给出常见的习题及解题技巧，并举例说明幂等变换与其它线性变换的联系与转化.关键词：幂等变换；幂等矩阵；性质；应用)IIAbstractIdempotenttransformationsareaspecialtypeoflineartransformation.It'snotisolated，butcloselyconnectedwithotherlineartransformation.Inphysics，chemistry，andotherdisciplinesalsohasawiderangeofapplications，greatlypromoteandenrichtheirdevelopment.Birthofmanynewtheories，techniquesandmethodsareidempotenttransformationsanddevelopmentapplicationandpopularizationofthetheory.Thispaperbeginswithabriefdescriptionofthebasictheoryoflineartransformations，onthisbasisforidempotenttransformationdefined，theidempotenttransformationandpointedoutthatsomekindsofspecial.Second，discussedthenatureofpowertransform，idempotentmatrixoftheform，idempotenttransformationcharacteristicvalueandcharacteristicvector，characteristicpolynomial，diagonalizationofrankandtrackandidempotenttransformationproblems，discussioneasy-to-digest，layersofpromoting.Foridempotenttransformationknowledgeformedarelativelycompletesystemofknowledge，somespecialpropertiesforidempotenttransformationunderstanddeep.Finally，withidempotenttransformationandtheconceptofnature，outcommonproblemsandproblem-solvingskills，descriptionsandexamplesofpower-link，andotherlineartransformsandtransformation.Keywords:Idempotenttransformation;Idempotentmatrix;Nature;Application目录摘要...........................................................................................................................................IAbstract....................................................................................................................................II绪论...........................................................................................................................................1第1章幂等变换的基本概念...............................................................................................2第2章幂等变换的性质.......................................................................................................32.1幂等变换的运算性质..................................................................................................32.2幂等变换与幂等矩阵的关系......................................................................................42.2.1幂等变换的特征值与特征向量.........................................................................102.2.2幂等变换的特征多项式、秩与迹.....................................................................152.2.3幂等变换的对角化.............................................................................................20第3章幂等变换的应用.....................................................................................................233.1幂等变换性质的应用................................................................................................233.2幂等变换与其它线性变换........................................................................................25结论.........................................................................................................................................32参考文献.................................................................................................................................33致谢...........................................................................................................错误!未定义书签。)-1-绪论无论是从理论上还是从应用上来看，幂等变换是重要的线性变换，是代数中的重要概念，也是研究代数结构的重要工具.如在研究集合、群、环线性空间、拓扑空间等代数结构中，常常见到幂等变换的应用.有关幂等变换的结论常见于各种习题中，近年来更是研究生入学考试试题中的热点.对幂等变换性质和应用的进一步研究将会优化解题和证明过程，使思维更简洁，同时，也有助于对相关变换及矩阵的理解，易于形成较为完整的知识体系，是所学知识的升华.在代数学迅猛发展的今天，随着变换与矩阵理论的发展，国内外越来越多的教学工作者开始研究幂等变换与幂等矩阵，他们也取得了丰硕的成果.这里主要列举一下国内学者的研究成果，2007年，王秀芳在《幂等矩阵的性质研究》中给出了幂等矩阵的形式；2008年，郭素霞，乔琳在《关于幂等变换性质的讨论》中给出了幂等变换的概念与一些性质；2009年，龚和林，舒情在《关于幂等矩阵秩一个命题的证明和推广》中给出了幂等变换的相关结论及证明方法；2007年，胡适耕，刘先忠在《高等代数定理问题方法》一书中提到了针对幂等变换常见题型的解题方法与技巧；2003年，朱永松，杨策平在《线性代数应用与提高》中举例说明了幂等变换与其他变换的联系.本文主要从幂等变换的运算性质、矩阵形式、特征值、特征向量、特征多项式、秩与迹、对角化这些方面归纳了幂等变换的相关性质.通过对这一课题的研究，我们将对幂等变换的特殊性有更加具体的了解.本文的主要难点是幂等变换对应的矩阵形式、幂等变换的特征值及对应的特征子空间的相关结论、秩的等式的证明及幂等变换与其它线性变换的联系与转化.对这些性质的理解主要通过查阅相关图书和电子期刊并运用所学知识归纳总结得到的.本文的重点是归纳总结幂等变换的性质，深入理解幂等变换的一些特殊性，并利用这些性质解决一些常见的数学问题.由于本人能力有限，文章中一定有许多不足之处，恳请大家批评指正.)-2-第1章幂等变换的基本概念在线性代数里，事物之间的联系通过线性空间的映射反映出来，如果我们只考虑一个向量空间到自身的映射，那么这种映射就称为线性变换.而幂等变换是一种特殊的线性变换，在线性变换理论中尤为重要.那么，我们先来回忆一下线性变换的初步知识，再来了解幂等变换的定义.定义1.1[1]线性空间V的一个变换A称为线性变换，如果对于V中任意的元素，和数域F中任意数k，都有AAAkkAA定义中等式所表示的性质，有时也说成线性变换保持向量的加法与数量乘法.线性空间V中的恒等变换(或单位变换)记为ε，即εV；线性空间V中的零变换00V.定义1.2设A是数域F上n维线性空间V的一个线性变换，若A满足2AA，则称A为幂等变换.显然，零变换与恒等变换为幂等变换.此外，V在子空间U(或W)上的投影UP(或WP)是V到V的一个映射，根据映射的乘法，有2UUUPPP，2WP.任取V，设21，U1，W2.则211UUUUUPPPPP222因此，如果WUV，则投影UP，WP都是幂等变换.)-3-第2章幂等变换的性质上一章，我们简要的介绍了线性变换及幂等变换的定义，这一章，我们主要来研究幂等变换作为特殊的线性变换有哪些特殊性，如它的基下阵形式以及它与其它线性变换的联系.2.1幂等变换的运算性质定理2.1[2]若A是幂等变换，则k次方kA及ε-A都是幂等变换.证明只证明kA是幂等变换.因为2AA，故22232(1)2kkkkkkAAAAAAAAAAAA故kA是幂等变换.定理2.2[2]设A、B均为幂