9.3--三角形的角平分线、中线和高

第九章三角形9.3三角形的角平分线、中线和高1课堂讲解三角形的角平分线三角形的中线三角形的高2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升1.角平分线的定义及画法：一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.2.线段中点的定义：把一条线段分成两条相等的线段的点.3.做“过一点作已知直线的垂线”：知识回顾有一天，小明回家看到弟弟正在对着下边的三角形发呆，小明有一点奇怪了，外号“坐不住”的弟弟怎么能坐住了？原来是弟弟想作出三角形ABC的三条高，但是他不会作边AB、BC上的高，小明不假思索的说：“我来帮你”，当他准备作时，也难住了，聪明的你，能帮帮小明兄弟吗？1知识点三角形的角平分线知1－导定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫三角形的角平分线.角平分线的理解：∵AD是△ABC的角平分线∴∠BAD=∠CAD=∠BAC12想一想，一个三角形有几条角平分线？请同学们画出，思考它们有什么特点？①三角形的角平分线是一条线段，而角平分线是一条射线.②一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部交于一点.知1－导（来自《点拨》）知1－讲例1如图，△ABC中，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC，DF∥AB，EF交AD于点O，请问DO是△DEF的角平分线吗？说明理由．要知道DO是不是△DEF的角平分线，只需要知道∠EDO与∠FDO是否相等．若相等，根据三角形的角平分线的定义即可判定．导引：（来自《点拨》）知1－讲DO是△DEF的角平分线．理由如下：因为AD是△ABC的角平分线，所以∠DAB＝∠DAC(角平分线定义)．因为DE∥AC，DF∥AB，所以∠DAC＝∠ADE，∠DAB＝∠ADF(两直线平行，内错角相等)，所以∠ADE＝∠ADF(等量代换)，所以DO是△DEF的角平分线．解：总结知1－讲（来自《点拨》）本例在解题过程中，先利用角平分线的定义，得出相等的角，再结合相关条件(如平行等)推出新的一组相等的角，最后由角平分线的定义说明角平分线，它经历了定义→条件→定义的过程，这就是定义法．1如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，下列结论中错误的是()A．BD是△ABC的角平分线B．CE是△BCD的角平分线C．∠3＝∠ACBD．CE是△ABC的角平分线知1－练12（来自《典中点》）D2一个三角形的三条角平分线的交点在()A．三角形内B．三角形外C．三角形的某边上D．以上三种情形都有可能知1－练（来自《典中点》）A2知识点三角形的中线知2－导定义：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做这个三角形的中线.三角形中线的理解：∵AD是△ABC的中线∴BD=CD=BC12知2－导想一想，一个三角形有几条中线？请同学们画出.它们有什么特点？①三角形的中线是一条线段.②任何三角形有三条中线，并且都在三角形的内部交于一点.（来自《点拨》）知2－讲例2张大爷的两个儿子都长大成人了，也该分家了．于是张大爷准备把如图所示的一块三角形田地平均分给两个儿子，两个儿子要求分成的两块田地的形状仍然是三角形，请你帮助张大爷提出一种平分的方案．根据等底同高的三角形的面积相等，要等分三角形的面积，只需要作出一条边上的中线即可.导引：知2－讲（来自《点拨》）解：根据要求，平分田地的直线必须经过三角形的顶点．画△ABC的中线AD(如图)，则AD就把△ABC的面积平分成两份．这是因为AD是△ABC的中线，所以BD＝DC.过点A作AE⊥BC于点E.在△ABD和△ACD中，因为BD，CD边上的高都是AE，所以由三角形的面积计算公式，知△ABD和△ACD的面积相等，因此，要把△ABC平分成两个三角形，只需画中线AD即可，这是一种平分方法．(本题答案不唯一，作AB，AC边上的中线也可以)总结（来自《点拨》）(1)三角形的任意一条中线都能把三角形分成面积相等的两部分，即等底同高的三角形面积相等；(2)拓展：在两个三角形中：底、高、面积这三个量，如果有其中的两个量相等，那么第三个量也相等.知2－讲（来自教材）(1)如图，△ABC的面积等于10，AD是中线，分别求出△ABD和△ACD的面积.(2)你能把一个三角形分成面积相等的两部分吗？分成面积相等的四部分呢？分成面积相等的三部分呢？1知2－练知2－练(1)因为AD是△ABC的中线，所以BD＝DC＝BC，所以S△ABD＝S△ACD＝S△ABC＝5.(2)①把一个三角形分成面积相等的两部分，如图所示，其中BD＝DC＝BC，S△ABD＝S△ADC＝S△ABC.解：（来自教材）12121212(题①图)知2－练②把一个三角形分成面积相等的四部分，如图所示，其中BD＝DE＝EF＝FC＝BC，S△ABD＝S△ADE＝S△AEF＝S△AFC＝S△ABC.③把一个三角形分成面积相等的三部分，如图所示，其中BD＝DE＝EC＝BC，S△ABD＝S△ADE＝S△AEC＝S△ABC.（来自教材）14141313(题②图)(题③图)若AD是△ABC的中线，下列结论错误的是()A．AB＝BCB．BD＝DCC．AD平分BCD．BC＝2DC已知D，E分别是△ABC的边AC，BC的中点，那么下列说法中不正确的是()A．DE是△BCD的中线B．BD是△ABC的中线C．AD＝DC，BE＝ECD．AD＝EC，DC＝BE知2－练2A（来自《典中点》）3D三角形一边上的中线把原三角形一定分成两个()A．形状相同的三角形B．面积相等的三角形C．直角三角形D．周长相等的三角形如图，已知BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，则△ABD和△BCD的周长的差是()A．2B．3C．6D．不能确定知2－练4B（来自《典中点》）5A如图，在△ABC中，D，E分别为BC，AD的中点，且S△ABC＝4，则S阴影为()A．2B．1C.D.知2－练6B（来自《典中点》）1214已知三角形的三条中线交于一点，则下列结论：①这一点在三角形的内部；②这一点有可能在三角形的外部；③这一点是三角形的重心．其中正确的结论有________．(填序号)知2－练7（来自《典中点》）①③3知识点三角形的高知3－导定义：从三角形一个顶点向它的对边所在的直线做垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高.对三角形高的理解：∵AD是△ABC的高∴AD⊥BC或∠ADC=∠ADB=90°知3－导想一想，一个三角形有几条高？请同学们用同样的方法画出.它们有什么特点？①三角形的高是一条线段.②一个三角形有三条高，三条高(或高的延长线)相交于一点.可分为锐角三角形(内部)，直角三角形(直角顶点)，钝角三角形(外部).知3－讲（来自《点拨》）(动手操作题，易错题)画出图中△ABC的三条高．(要标明字母，不写画法)例3导引：“作一边上的高”，即可看作“过一点(这边所对角的顶点)作已知直线(这边所在的直线)的垂线．”按照“过一点作已知直线的垂线”进行作图，顶点与垂足之间的线段即为该边上的高；需注意AB，BC边上的高在三角形的外部，作高时先延长AB与CB.（来自《点拨》）解：如图所示.知3－讲总结（来自《点拨》）(1)作三角形的高时，找准顶点和对边是关键，作高的步骤就是“过一点作已知直线的垂线”的步骤：一靠(三角尺的一条直角边靠在要作高的边上)、二找(移动三角尺使另一条直角边通过要作高的顶点)、三画线(画垂线段)，如图.(2)注意：高是线段，垂线是直线．知3－讲（来自教材）如图.AD，AE，AF分别是△ABC的中线、角平分线和高.请你指出图中相等的角及相等的线段.1相等的角有∠BAE＝∠EAC，∠AFB＝∠AFC；相等的线段有BD＝DC.解：知3－练（来自教材）分别画出锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的三条角平分线、三条中线和三条高.2(1)锐角三角形(如图所示)．(2)直角三角形(如图所示)．解：知3－练（来自教材）(3)钝角三角形(如图所示)．知3－练（来自教材）如图，在△ABC中，AD是角平分线，AE是高，∠BAC=40°，∠C=60°.求∠DAE的度数.3因为AD平分∠BAC，所以∠CAD＝∠BAC＝20°.因为∠ADE是△ACD的一个外角，所以∠ADE＝∠C＋∠CAD＝60°＋20°＝80°.又因为AE是△ABC的高，所以∠AED＝90°，所以在△AED中，∠DAE＝180°－∠AED－∠ADE＝180°－90°－80°＝10°.解：知3－练12（来自教材）如图，在△ABC中，∠ABC=62°，BD是角平分线，CE是高，BD与CE交于点O.求∠BOC的度数.4因为BD是△ABC的角平分线，所以∠OBC＝∠ABC＝31°.因为CE是△ABC的高，所以∠BEC＝90°，所以在△BEC中，∠ECB＝180°－∠EBC－∠BEC＝180°－62°－90°＝28°，所以在△BOC中，∠BOC＝180°－∠OBC－∠OCB＝180°－31°－28°＝121°.解：知3－练12（来自教材）如图，在△ABC中，AD是高，BE是角平分线，AD，BE交于点F，∠C=30°，∠BFD=70°.求∠BAC的度数.5因为AD是△ABC的高，所以∠ADB＝90°，所以在△BFD中，∠FBD＝180°－∠FDB－∠BFD＝180°－90°－70°＝20°.又因为BE是△ABC的角平分线，所以∠ABF＝∠FBD＝20°，所以∠ABC＝40°，所以∠BAC＝180°－∠ABC－∠C＝180°－40°－30°＝110°.解：知3－练下列图形中，AD是△ABC的高的是()下列说法中正确的是()A．三角形的三条高都在三角形内B．直角三角形只有一条高C．锐角三角形的三条高都在三角形内D．三角形每一边上的高都小于其他两边6（来自《典中点》）B知3－练C7【中考·娄底】如图，已知在直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，点D沿BC自B向C运动(点D与点B，C不重合)，作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，则BE＋CF的值()A．不变B．增大C．减小D．先变大再变小8（来自《典中点》）C知3－练能把三角形平分成两个面积相等的三角形的线段是()A．三角形的中线B．三角形的高C．三角形的角平分线D．以上三种情况都正确9（来自《典中点》）A知3－练1.三角形的中线(1)定义：三角形的中线是一条线段.(2)三角形的三条中线相交于一点，这一点叫做三角形的重心.2.三角形的角平分线(1)定义：三角形的角平分线是一条线段.(2)三角形三条角平分线相交于一点，这一点叫做三角形的内心.1知识小结3.三角形的高定义：从三角形一个顶点向它的对边所在的直线做垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高.2易错小结如图，AD⊥BC于点D，那么图中以AD为高的三角形有________个．易错点：对三角形的高的定义不理解导致出错6图中所有三角形都可以以AD为高，即以AD为高的三角形有6个，本题容易忽视△AEC也是以AD为高的三角形．请完成《典中点》Ⅱ、Ⅲ板块对应习题！