经典研材料裂项相消法求和大全

WORD格式整理专业资料值得拥有开一数学组教研材料（裂项相消法求和之再研究）张明刚一项拆成两项，消掉中间所有项，剩下首尾对称项基本类型：1.形如)11(1)(1knnkknn型。如1nn＋1＝1n－1n＋1；2.形如an＝12n－12n＋1＝)121121(21nn型；3.)121121(211)12)(12()2(2nnnnnan4.])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1nnnnnnnan5.nnnnnnnnSnnnnnnnnna2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21则6.形如an＝n＋1n2n＋22型．7.形如an＝4n4n－14n＋1－1＝131411411nn型；8.n＋1n（n－1）·2n＝2n－（n－1）n（n－1）·2n＝1（n－1）2n－1－1n·2n.9.形如an＝nknkknn11型；1)1(1nnnnan10.bababa1111.!!1!nnnn12.mnmnmnCCC1113.21nSSannn14.1)tan(tantantantan15.利用两角差的正切公式进行裂项把两角差的正切公式进行恒等变形，例如tantan1tantan)tan(可以另一方面，利用kkkkkktan)1tan(1tan)1tan(1tan1tan，得WORD格式整理专业资料值得拥有,11tantan)1tan(tan)1tan(kkkk16利用对数的运算性质进行裂项对数运算有性质NMNMalogloglog，有些试题则可以构造这种形式进行裂项.17利用排列数或组合数的性质进行裂项排列数有性质!)!1(!nnnn，组合数有这样的性质11mnmnmnCCC，都可以作为裂项的依据.例7求和：_____!!22!11nn分析直接利用!)!1(!nnnn可得结果是1)!1(n.18.求和：22322nnCCCS.有3312kkkCCC，从而31333122nnnCCCCS.裂项相消法求和之再研究一项拆成两项，消掉中间所有项，剩下首尾对称项一、多项式数列求和。（1）用裂项相消法求等差数列前n项和。即形如naanb的数列求前n项和此类型可设22()[(1)(1)]naAnBnAnBnanb左边化简对应系数相等求出A,B。123222()0(42)()(93)(42)()[(1)(1)]nnSaaaaABABABABABAnBnAnBnAnBn则例1：已知数列na的通项公式为21nan，求它的前n项和nS。2222222222123()[(1)(1)]212=2122110(1)12132(1)nnnnnaAnBnAnBnnaAnBAnAABABannSaaaannn解：令则有（2）用裂项相消法求多项式数列前n项和。即形如121210mmnmmabnbnbnb的数列求前n项和。此类型可111111()[(1)(1)(1)]mmmmnmmmmacncncncncncn设121210mmmmbnbnbnb上边化简对应系数相等得到一个含有m元一次方程组。说明：解这个方程组采用代入法，不难求。系数化简可以用二项式定理，这里不解释。WORD格式整理专业资料值得拥有解出12,,,mccc。再裂项相消法用易知111mmnmmScncncn例2：已知数列na的通项公式为3nan，求它的前n项和nS。432432322323[(1)(1)(1)(1)](4641)(331)(21)4(63)(432)()14411630243200naAnBnCnDnAnBnCnDnAnnnBnnCnDAnABnABCnABCDnAAABBABCCABCD解：设（）140D4324322222222222111111[(1)(1)(1)]424424(1)(1)221223123423(1)(1)(1)22222222nnannnnnnnnnnnnnnnnS（）二、二、多项式数列与等比数列乘积构成的数列。（1）用裂项相消法求等比数列前n项和。即形如nnaaq的数列求前n项和。这里不妨设1q。（1q时为常数列，前n项和显然为nSan）此类型可设1AnnnaqAq，则有()nnnAaAqaqq，从而有,1AaqAaAqq。再用裂项相消法求得nnSAqA例3：已知数列na的通项公式为3nna，求它的前n项和nS。解：设1AnnnaqAq，则有2333nnnAa，从而有32A，故13322nnna。232431112311(33333333)(33)22nnnnnSaaaa（2）用裂项相消法求等差数列与等比数列乘积构成的数列前n项和。即形如()nnaanbq的数列求前n项和。此类型通常的方法是乘公比错位错位相减法，其实也可以用裂项相消法。这里依然不妨设1q，（1q时为等差数列，不再赘述。）可设1()[(1)]nnnaAnBqAnBq，则有11[())()nnnaAqAnBqABqaqnbqq，WORD格式整理专业资料值得拥有从而得到方程组()AqAaqBqABbq，继而解出A，B。再用裂项相消法求得()nnSAnBqB例4：已知数列na的通项公式为3nnan，求它的前n项和nS。解：设1()3[(1)]3nnnaAnBAnB，则有11[22)333nnnaAnBAn，从而得到方程组2320ABA，解得3234AB。121233344nnnnna222321112311[333335333(21)3(23)3][(21)33]44nnnnnSaaaannn（3）用裂项相消法求多项式数列与等比数列乘积构成的数列前n项和。即形如121210()mmnnmmabnbnbnbq的数列求前n项和。此类型有一个采用m次错位相减法的方法求出，但是当次数较高时错位相减法的优势就完全失去了。同样这里依然不妨设1q，（1q时为多项式数列，不再赘述。）下面介绍错位相减法的方法：设1212112101210()[(1)(1)(1))mmnmmnnmmmmaBnBnBnBqBnBnBnBq。先对上式化简成121210()mmnnmmaCnCnCnCq的形式，其中011,,mCCC是用011,,,mBBBq来表示的一次式子。同样让对应系数相等得到一个m元一次方程组，用代入法可以解出011,,mBBB再用用裂项相消法求得1212100()mmnnmmSBnBnBnBqB。例5：已知数列na的通项公式为22nnan，求它的前n项和nS。解：设221()2[(1)(1))2nnnaAnBnCAnBnC，则有2121((2)()]222nnnaAnABnABCn从而得到2200AABABC，解得246ABC，所以212(23)2[(1)2(1)3)2nnnannnn2322121232122323222(23)2[(1)2(1)3)2(23)26nnnnnSaaaannnnnn事实上裂项求和适合用于所有能将na化成()(1)nafnfn形式的所有数列na，()fn与na存在形式上相似性，从而利用待定系数法的方式得到()fn的表达式，最终可以得到()(0)nSfnf。这里部分可用倒叙相加法的数列不能使用此法是因为它没有一个统一形式不带省略号的前n项和公式。例如调和数列1n也不能用此法，事实上调和数列1n是不可求前n项和的数列。四、结论。从上面的论断不难得出裂项相消法，适合所有可求前n项和的数列。不愧为数列求前n项和的万能方法。不过值得肯定的是有部分数列利用裂项相消法，不易找出它的裂项方法，尤其是与指数函数，对数函数，三角函数这些比较高级的基本初等函数相关的初等函数。对于前两个大点得出的结论，我们当然也可以使用待定系数法来求nS，只是不要忘记它们都是用裂项相消法证明出来的结论。保留原来的参数得到结论也可以使用，从而直接得出待定参数的值，但对记性的要求很高，这里就不再啰嗦。WORD格式整理专业资料值得拥有例6：已知数列na的通项公式为34(1)(2)nnannn，求它的前n项和nS。解：设(1)(1)(1)(2)nAnBAnBannnn则()(2)()2(1)(2)(1)(2)nAnBnnAnABAnBannnnnn所以234(1)(2)(1)(2)AnBnnnnnnn，324AB，解得32AB，所以3231(1)(1)(2)nnnannnn12321447323112232334(1)(1)(2)1313=2(1)(2)2(1)(2)nnnnSaaaannnnnnnnnnn例7：已知数列na的通项公式为2122321nnnna，求它的前n项和nS。解：211122112321(21)(21)2121nnnnnnnnna1122311111111112212121212121212121nnnnnnS例8：已知数列na的通项公式为2sinonan，求它的前n项和nS，89S。解：211sincos222oonann，sin1cos2sin(21)sin(21)cos2sin12sin1ooooooonnnn1sin(21)1sin(21)(1)22sin122sin1oonoonnann1sin(21)(1)22sin1ononSn891sin(2891)(891)44.522sin1ooS作业：1、请用裂项相消法求下列各数列的和.（1）已知数列na的通项公式为4nan，求它的前n项和nS。（2）已知数列na的通项公式为2()3nnann，求它的前n项和nS。（3）已知数列na的通项公式为2(1)2nnnann，求它的前n项和nS。WORD格式整理专业资料值得拥有（4）已知数列na的通项公式为sinonan，求它的前n项和nS。（5）已知数列na的通项公式为21(1)(2)nnannn，求它的前n项和nS。山水是一部书，枝枝叶叶的文字间，声声鸟鸣是抑扬顿挫的标点，在茂密纵深间，一条曲径，是整部书最芬芳的禅意。春风翻一页，桃花面，