数学归纳法

名师大讲堂·2013高考总复习《数学》（理科）数学归纳法名师大讲堂·2013高考总复习《数学》（理科）1．数学归纳法是专门证明与自然数集有关命题的一种方法，它是一种完全归纳法，是对不完全归纳法的完善．证明分两步，其中第一步是命题成立的基础，称为“归纳基础”；第二步解决的是延续性问题(又称传递性)．2．数学归纳法是证明有关命题的一种工具，可以证明恒等式、不等式、整除性问题、几何问题等，应用非常广泛，尤其是用其他方法难以下手时采用数学归纳法往往有效．名师大讲堂·2013高考总复习《数学》（理科）3．用数学归纳法证明问题的步骤：①验证命题对第一个正整数n＝n0时成立．②假设命题当n＝k(k≥n0)时成立，证明n＝k＋1时命题成立．则由①②可知对一切n≥n0的正整数命题成立．整个证题过程可简记为：一验、二设、三证、四总结．4．用数学归纳法证明整除性问题，关键是通过添项、提取公因式凑出归纳假设．而证明几何问题的关键是找到由k到k＋1的变化规律即递推关系．要注意结合图形特点进行分析．用数学归纳法证明几何问题时，还要注意由n＝k到n＝k＋1的叙述也是非常重要的，要把其中的变化关系写清写明，坚决改正轻视叙述的坏习惯．名师大讲堂·2013高考总复习《数学》（理科）5．由k到k＋1这一步，要善于分析题目的结构特点，进行适当的变形，常用分析、添项、拆项、作差等方法．6．用不完全归纳法给出结论，用数学归纳法给出证明是高考题中经常出现的题型，希望同学们用心体会．7．本节内容是选修与选考内容，在复习时要注意把握好难度，能证明一些简单的数学命题就可以了．名师大讲堂·2013高考总复习《数学》（理科）用数学归纳法证明：12×4＋14×6＋16×8＋…＋12n2n＋2＝n4n＋1.【思路分析】本题主要考查用数学归纳法证明等式的步骤，注意当n＝k＋1时，两边加上的项和结论各是什么．用数学归纳法证明与正整数n有关的等式名师大讲堂·2013高考总复习《数学》（理科）【证明】(1)当n＝1时，左边＝12×4＝18，右边＝18等式成立．(2)假设n＝k时，12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k2k＋2＝k4k＋1成立．当n＝k＋1时，12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k2k＋2＋12k＋22k＋4＝k4k＋1＋14k＋1k＋2＝kk＋2＋14k＋1k＋2＝k＋124k＋1k＋2＝k＋14k＋2＝k＋14[k＋1＋1]∴n＝k＋1时，等式成立．由(1)(2)可得对一切正整数n∈N*，等式成立．名师大讲堂·2013高考总复习《数学》（理科）【名师点睛】数学归纳法证题的两个步骤缺一不可．证n＝k＋1成立时，必须用n＝k成立的结论，否则，就不是数学归纳法证明．名师大讲堂·2013高考总复习《数学》（理科）1．用数学归纳法证明：1·n＋2(n－1)＋3(n－2)＋…＋(n－1)·2＋n·1＝16n(n＋1)(n＋2)．证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝16(1＋1)(1＋2)＝1，等式成立．(2)假设n＝k时，1·k＋2(k－1)＋3(k－2)＋…＋(k－1)·2＋k·1＝16k(k＋1)(k＋2)成立．名师大讲堂·2013高考总复习《数学》（理科）当n＝k＋1时，1·(k＋1)＋2k＋3(k－1)＋…＋k·2＋(k＋1)·1＝(1·k＋1)＋[2(k－1)＋2]＋[3(k－2)＋3]＋…＋(k·1＋k)＋(k＋1)＝[1·k＋2(k－1)＋3(k－2)＋…＋k·1]＋[1＋2＋3＋…＋(k＋1)]＝16k(k＋1)(k＋2)＋12(k＋1)(k＋2)＝16(k＋1)[(k＋1)＋1][(k＋1)＋2]．∴对n＝k＋1时，等式成立．由(1)(2)可知对一切自然数n∈N*，等式成立．名师大讲堂·2013高考总复习《数学》（理科）用数学归纳法证明：n为正偶数时，xn－yn能被x＋y整除．【思路分析】本题主要考查数学归纳法的原理，只要注意正偶数和与它相邻的正偶数的表示方法，问题容易解决．【证明】(1)当n＝2时，x2－y2＝(x＋y)(x－y)，即x2－y2能被x＋y整除，显然命题成立．用数学归纳法证明整除性问题名师大讲堂·2013高考总复习《数学》（理科）(2)假设n＝2k(k∈N*)时，命题成立，即x2k－y2k能被x＋y整除．当n＝2k＋2时，x2k＋2－y2k＋2＝x2·x2k－y2·y2k＝x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)＝x2(x2k－y2k)＋y2k(x＋y)(x－y)．∵x2(x2k－y2k)、y2k(x＋y)(x－y)都能被x＋y整除，∴x2k＋2－y2k＋2能被x＋y整除，即n＝2k＋2时命题成立．由(1)(2)知原命题对一切正偶数均成立．【名师点睛】因证明的命题对所有正偶数成立，所以归纳假设中采用了n＝2k(k∈N*)与它相邻的是n＝2k＋2.要注意体会n＝2k＋2时的变形方法．名师大讲堂·2013高考总复习《数学》（理科）2．用数学归纳法证明对于n≥0的整数An＝11n＋2＋122n＋1能被133整除．证明：(1)当n＝0时，A0＝112＋12＝133能被133整除．(2)假设n＝k时，Ak＝11k＋2＋122k＋1能被133整除．当n＝k＋1时，Ak＋1＝11k＋3＋122k＋3＝11·11k＋2＋122·122k＋1＝11·11k＋2＋11·122k＋1＋(122－11)·122k＋1＝11·(11k＋2＋122k＋1)＋133·122k＋1.∴n＝k＋1时，命题也成立．根据(1)(2)，知对于任意整数n≥0，命题都成立．名师大讲堂·2013高考总复习《数学》（理科）平面内有n条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，求证：这n条直线把平面分成f(n)＝n2＋n＋22个部分．【思路分析】本题主要考查数学归纳法的原理以及归纳推理能力．只弄清楚当n＝k＋1时，是指增加一条直线，此时，它被原有的直线分成了多少段，每一段将平面区域分成多少部分，则问题就迎刃而解．用数学归纳法证明几何问题名师大讲堂·2013高考总复习《数学》（理科）【证明】(1)当n＝1时，一条直线将平面分成两个部分，而f(1)＝12＋1＋22＝2，∴命题成立．(2)假设当n＝k时，命题成立，即k条直线把平面分成f(k)＝k2＋k＋22个部分．则当n＝k＋1时，即增加一条直线l，因为任何两条直线不平行，所以l与k条直线都相交有k个交点；又因为任何三条不共点，所以这k个交点不同于k条直线的交点，且k个交点也互不相同．如此这k个交点把直线l分成k＋1段，每一段把它所在的平面区域分为两部分，故新增加的平面分为k＋1部分．名师大讲堂·2013高考总复习《数学》（理科）∴f(k＋1)＝f(k)＋k＋1＝k2＋k＋22＋k＋1＝k2＋k＋2＋2k＋12＝k＋12＋k＋1＋22.∴n＝k＋1时命题成立．由(1)(2)可知，当n∈N*时，命题成立．【名师点睛】用数学归纳法证明几何问题，重难点是处理好当n＝k＋1时利用假设结合几何知识证明命题成立．而本题的关键是第k＋1条直线，分出多少个平面，证明中巧妙地转化为该直线被分成多少段的问题．名师大讲堂·2013高考总复习《数学》（理科）3．(2010年高考江苏卷)已知△ABC的三边长都是有理数．(1)求证cosA是有理数；(2)求证：对任意正整数n，cosnA是有理数．解析：(方法一)(1)证明：设三边长分别为a，b，c，cosA＝b2＋c2－a22bc，∵a，b，c是有理数，b2＋c2－a2是有理数，分母2bc为正有理数，又有理数集对于除法的具有封闭性，∴b2＋c2－a22bc必为有理数，∴cosA是有理数．名师大讲堂·2013高考总复习《数学》（理科）(2)①当n＝1时，显然cosA是有理数；当n＝2时，∵cos2A＝2cos2A－1，因为cosA是有理数，∴cos2A也是有理数；②假设当n≤k(k≥2)时，结论成立，即coskA、cos(k－1)A均是有理数．当n＝k＋1时，cos(k＋1)A＝coskAcosA－sinkAsinA，cos(k＋1)A＝coskAcosA－12[cos(kA－A)－cos(kA＋A)]，cos(k＋1)A＝coskAcosA－12cos(k－1)A＋12cos(k＋1)A，名师大讲堂·2013高考总复习《数学》（理科）∴cos(k＋1)A是有理数．即当n＝k＋1时，结论成立．综上所述，对于任意正整数n，cosnA是有理数．(方法二)证明：(1)由AB、BC、AC为有理数及余弦定理知cosA＝AB2＋AC2－BC22AB·AC是有理数．(2)用数学归纳法证明cosnA和sinA·sinnA都是有理数．①n＝1当时，由(1)知cosA是有理数，从而有sinA·sinA＝1－cos2A也是有理数．名师大讲堂·2013高考总复习《数学》（理科）②假设当n＝k(k≥1)时，coskA和sinA·sinkA都是有理数．当n＝k＋1时，由cos(k＋1)A＝cosA·coskA－sinA·sinkA，sinA·sin(k＋1)A＝sinA·(sinA·coskA＋cosA·sinkA)＝(sinA·sinA)·coskA＋(sinA·sinkA)·cosA，及①和归纳假设，知cos(k＋1)A和sinA·sin(k＋1)A都是有理数．即当n＝k＋1时，结论成立．综合①、②可知，对任意正整数n，cosnA是有理数．名师大讲堂·2013高考总复习《数学》（理科）首项为正数的数列{an}满足an＋1＝14(a2n＋3)，n∈N＋.(1)证明：若a1为奇数，则对一切n≥2，an都是奇数；(2)若对一切n∈N＋都有an＋1an，求a1的取值范围．【思路分析】用数学归纳法证明命题关键是由n＝k到n＝k＋1时，两边加上的项是什么．用数学归纳法证明不等式名师大讲堂·2013高考总复习《数学》（理科）【解析】(1)证明：已知a1是奇数，假设ak＝2m－1是奇数，其中m为正整数，则由递推关系得ak＋1＝a2k＋34＝m(m－1)＋1是奇数．根据数学归纳法，对任何n≥2，an都是奇数．(2)法一：由an＋1－an＝14(an－1)(an－3)知，an＋1an当且仅当an1或an3.另一方面，若0ak1，则0ak＋11＋34＝1；若ak3，则ak＋132＋34＝3.名师大讲堂·2013高考总复习《数学》（理科）根据数学归纳法得，0a11⇔0an1，∀n∈N＋；a13⇔an3，∀n∈N＋.综上所述，对一切n∈N＋都有an＋1an的充要条件是0a11或a13.法二：由a2＝a21＋34a1，得a21－4a1＋30，于是0a11或a13.an＋1－an＝a2n＋34－a2n－1＋34＝an＋an－1an－an－14，因为a10，an＋1＝a2n＋34，所以所有的an均大于0，因此an＋1－an与an－an－1同号．根据数学归纳法，∀n∈N＋，an＋1－an与a2－a1同号．因此，对一切n∈N＋都有an＋1an的充要条件是0a11或a13.【名师点睛】数学归纳法的两个步骤缺一不可．名师大讲堂·2013高考总复习《数学》（理科）4．（2012惠州一模）已知数列{}na、{}nb满足112,1(1)nnnaaaa，1nnba，数列{}nb的前n项和为nS.（1）求数列{}nb的通项公式；（2）设2nnnTSS，求证：1nnTT；（3）求证：对任意的nN有21122nnSn成立．名师大讲堂·2013高考总复习《数学》（理科）【解析】（1）由1nnba得1nnab代入11(1)nnnaaa得1(1)nnnbbb整理得11nnnnbbbb，∵0nb否则1na，与12a矛盾，从而得1111nnbb,∵1111ba∴数列1{}nb是首项为1，公差为1的等差数列∴1nnb，即1nbn．（2）∵111123nSn