三-简单曲线的极坐标方程

3、极坐标与直角坐标的互化公式复习1、极坐标系的四要素2、点与其极坐标一一对应的条件极点；极轴；长度单位；角度单位及它的正方向。)0(tan,222xxyyxsin,cosyx)2,0[,01、极坐标（ρ，2kπ+θ）与（ρ，θ）表示同一个点2、点M（ρ，θ）关于极点的对称点为（ρ，π+θ）3、点M（ρ，θ）关于极轴的对称点的为（ρ，-θ）4、极坐标系内两点的距离公式),(),,(2211QP)cos(2|PQ|21212221复习曲线的极坐标方程一、定义：如果曲线Ｃ上的点与方程f(,)=0有如下关系(１)曲线Ｃ上任一点的坐标(所有坐标中至少有一个)符合方程f(,)=0；(２)方程f(,)=0的所有解为坐标的点都在曲线Ｃ上。则曲线Ｃ的方程是f(,)=0。探究如图，半径为a的圆的圆心坐标为(a,0)(a0)，你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标(,)满足的条件？xC(a,0)O。x（a,0）o。),(MA圆经过极点O,设圆和极轴的另一个交点是A，那么|OA|=2a,设为圆上除点O外，A以外的任意一点，则OMAM,在Rt中,|OM|=|OA|),(MAMOMOAcos即cos2a(1)等式(1)是圆上任意一点的极坐标满足的条件例1求下列圆的极坐标方程(１)中心在极点，半径为2；(２)中心在Ｃ(a,0)，半径为a；(３)中心在(a,/2)，半径为a；(４)中心在Ｃ(0,０)，半径为r。＝2＝2acos＝2asin2+02-20cos(-０)=r2思考已知圆O的半径为r，建立怎样的坐标系，可以使圆的极坐标方程更简单？练习1以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为半径的圆的方程是.2cos.2sin44.2cos1.2sin1ABCDC53cos5sin已知一个圆的方程是＝求圆心坐思考：标和半径。2222253cos5sin53cos5sin535535()()2522535(,),522xyxyxy解：＝两边同乘以得＝－即化为直角坐标为　即所以圆心为半径是你可以用极坐标方程直接来求吗？3110(cossin)10cos()226(5,),56解：原式可化为＝所以圆心为半径为Oaaaa此圆过极点＝圆的极坐标方程为半径为圆心为论结)cos(2)0)(,(方程是什么？化为直角坐标＝、曲线的极坐标方程sin414)2(22yx圆的圆心距是多少？的两个＝和＝、极坐标方程分别是sincos21cos(,0)2sincos()cos()2212sin(,),222解：圆＝圆心的坐标是圆圆＝的圆心坐标是所以圆心距是题组练习23cos()4、极坐标方程所表示的曲线是（）A、双曲线B、椭圆C、抛物线D、圆D为半径的圆。为圆心，以＝解：该方程可以化为21)4,21()4cos(41)42()42(02222sin22cos224sinsin4coscos22222yxyxyx即＝解：410cos()3、圆＝的圆心坐标是)0,5(、A)3,5(、B)3,5(、C)32,5(、D（）C5(2,)2A、写出圆心在点处且过极点的圆的极坐标方程，并把它化成直角坐标方程。222224cos()4sin24sin4(2)4xyyxy解：＝化为直角坐标系为＝即　　2126:2cos,:23sin20,CC、已知圆圆试判断两圆的位置关系。所以两圆相外切。半径为，圆心半径为圆心坐标方程为解：将两圆都化为直角21)3,0(1)3(:1)0,1(,1)1(:2122221221OOOyxCOyxC78cosOCONON、从极点作圆：＝的弦，求的中点的轨迹方程。ONMC(4,0)(4,0),4,,4cosCrOCCMMONCMONM解：如图，圆的圆心半径连结，是弦的中点所以，动点的轨迹方程是＝化为直角坐标方程。－＝把极坐标方程练习cos2481648316844)4(4424cos22222222yxxxxyxxx＝两边平方得：＋＝即－解：方程可化为***小结***1.曲线的极坐标方程概念2.怎样求曲线的极坐标方程3.圆的极坐标方程新课引入：思考：在平面直角坐标系中1、过点(3,0)且与x轴垂直的直线方程为;过点(3,3)且与x轴垂直的直线方程为x=3x=32、过点（a,b）且垂直于x轴的直线方程为_______x=a特点：所有点的横坐标都是一样，纵坐标可以取任意值。答：与直角坐标系里的情况一样，求曲线的极坐标方程就是找出曲线上动点Ｐ的坐标与之间的关系，然后列出方程(,)=0，再化简并讨论。怎样求曲线的极坐标方程？例题1：求过极点，倾角为的射线的极坐标方程。4oMx﹚4分析：如图，所求的射线上任一点的极角都是，其/4极径可以取任意的非负数。故所求直线的极坐标方程为(0)4新课讲授1、求过极点，倾角为的射线的极坐标方程。54易得5(0)4思考：2、求过极点，倾角为的直线的极坐标方程。4544或和前面的直角坐标系里直线方程的表示形式比较起来，极坐标系里的直线表示起来很不方便，要用两条射线组合而成。原因在哪？0为了弥补这个不足，可以考虑允许极径可以取全体实数。则上面的直线的极坐标方程可以表示为()4R或5()4R例1.求过点A（a,0）(a0),且垂直于极轴的直线的极坐标方程。）0aAXM解：设M(，)为直线上除A外的任意一点，连接OM，在三角形MOA中，即（1）||cos||OAMOAOMcos式（1）就是所求直线的极坐标方程1、根据题意画出草图；2、设点是直线上任意一点；(,)M3、连接MO；4、根据几何条件建立关于的方程，并化简；,5、检验并确认所得的方程即为所求。解题基本步骤练习1求过点A(a,/2)(a0)，且平行于极轴的直线L的极坐标方程。解：如图，建立极坐标系，设点为直线L上除点A外的任意一点，连接OM(,)M在中有RtMOA即可以验证，点A的坐标也满足上式。Mox﹚Asin＝aIOMIsin∠AMO=IOAI练习2：设点P的极坐标为A，直线过点P且与极轴所成的角为,求直线的极坐标方程。(,0)all解：如图，设点(,)M为直线上异于的点l连接OM，﹚oMxA在中有MOAsin()sin()a即sin()sina显然A点也满足上方程。例题3设点P的极坐标为，直线过点P且与极轴所成的角为,求直线的极坐标方程。11(,)ll解：如图，设点(,)M点P外的任意一点，连接OM为直线上除则由点P的极坐标知,OMxOM1OP1xOP在设直线L与极轴交于点A。则MOP1,()OMPOPM由正弦定理得11sin[()]sin()11sin()sin()显然点P的坐标也是它的解。XMO)11)pA直线的几种极坐标方程1、过极点2、过某个定点垂直于极轴4、过某个定点，且与极轴成的角度a3、过某个定点平行于极轴ox﹚AMMox﹚A﹚looxMP﹚﹚11A)(0Rcosasin＝a11sin()sin()11(,)例4.把下列的直角坐标方程化为极坐标方程(1)2x+6y-1=0(2)x2-y2=25解：将公式代入所给的直角坐标方程中，得cosxsiny(1)2cos6sin102222(2)cossin25化简得2cos225的直线的极坐标方程。且斜率为、求过2)3,2(1A程这就是所求的极坐标方得代入直线方程将为直线上的任意一点，设角坐标系内直线方程为解：由题意可知，在直07sincos2072sin,cos),(072yxyxMyx表示的曲线是、极坐标方程)(31sin2RA、两条相交的直线B、两条射线C、一条直线D、一条射线所以是两条相交直线两条直线即所以得可得解：由已知042:,042:4242tan322cos31sin21yxlyxlxyA4cos24cos2,sin2sin2,2sinABCD、直线关于直线＝对称的直线方程为、、、、＝3、()B2sin22化为极坐标方程为即的对称直线的问题关于线解：此题可以变成求直yxyx4cos,4cos2cos,2sinsin44、、、、直线的方程是相切的一条＝、在极坐标系中，与圆DCBA()B2cos24)2(04sin42222化为极坐标方程为圆的方程为那么一条与此圆相切的即的化为直角坐标方程是＝解：圆xyxyyx3cos3cos33sin33sin)6sin(125、、、、直线的极坐标方程是的，则过圆心与极轴垂直＝一个圆的方程为、在极坐标系中，已知DCBA()C1.圆的极坐标方程的概念；2.如何求圆的极坐标方程；3.会将直角坐标方程化为极坐标方程;4.直线的极坐标方程的几种情况:(1)过极点(2)过某个定点，且垂直于极轴(4)过某个定点，且与极轴成一定的角度(3)过某个定点，且平行于极轴6.将下列直角坐标方程化成极坐标方程系(1)y5(2)x1022(4)xy16(3)3x2y107.将下列极坐标方程化为直角坐标方程(1)10cos(2)2cos4sin(3)(2cos5sin)402522)5(yx5)2()1(22yx0452yx5sin01cos01sin2cos3162cos20,(0)545A.225B.225C.625D.81（2007年高考）线,所围成的图形面积是（）和D2(2005年高考)在极坐标系中,以为圆心,以半径的圆的方程为_________)2,2(a2aasin2.解:1(R)3（）2ρcosθ=1（）π3ρ=2cos(θ-)4（）4ρ=2asinθ（）1.解:(1)表示圆心在极点，半径为5的圆；(2)表示过极点，倾斜角为的直线；(3)表示过极点，圆心在半径为1的圆65)2,1(3.解:4cos)1(2sin)2(01sin3cos2)3(162cos)4(24.解：（1）（2）（3）（4）y2;2x+5y-4=022+=5(x-1)(y+2)22+=255(x+)y把点A的极坐标化为直角坐标，得22)4sin(化为直角坐标方程，得1yx)2,2(在平面直角坐标系中，由点到直线的距离公式，得点A到直线的距离)2,2(1yx22d所以点A到这条直线的距离为22d5.解：以极点为直角坐标原点,极轴为X轴正半轴建立平面直角坐标系，把直线的极坐标方程。6.解:(1)以椭圆中心O为直角坐标原点，长轴所在的直线为X轴建立直角坐标系,则椭圆的直角坐标方程为将椭圆的直角坐标方程化为极坐标方程,得12222byax1)sin()cos(2222ba2222222sincosabba由于可设OBOA),(11A)2,(12B1221222221sincos