2013-2014学年 高中数学 人教A版选修1-1 第二章 2.3.2(一)抛物线的简单

2.3.2（一）2.3.2抛物线的简单几何性质(一)【学习要求】1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题.【学法指导】结合椭圆和双曲线的几何性质，类比抛物线的性质，通过对抛物线的标准方程的讨论，进一步理解用代数方法研究几何性质的优越性，感受坐标法和数形结合的基本思想.本讲栏目开关填一填研一研练一练2.3.2（一）1.抛物线的几何性质标准方程y2＝2px(p0)y2＝－2px(p0)x2＝2py(p0)x2＝－2py(p0)图形填一填·知识要点、记下疑难点本讲栏目开关填一填研一研练一练2.3.2（一）范围对称轴x轴x轴y轴y轴顶点(0,0)性质离心率e＝x≥0，y∈Rx≤0，y∈Rx∈R，y≥0x∈R，y≤01填一填·知识要点、记下疑难点本讲栏目开关填一填研一研练一练2.3.2（一）2.焦点弦直线过抛物线y2＝2px(p0)的焦点F，与抛物线交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，由抛物线的定义知，|AF|＝x1＋p2，|BF|＝x2＋p2，故|AB|＝3.直线与抛物线的位置关系直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p0)的交点个数决定于关于x的方程的解的个数.当k≠0时，若Δ0，则直线与抛物线有个不同的公共点；当Δ＝0时，直线与抛物线有个公共点；当Δ0时，直线与抛物线公共点.当k＝0时，直线与抛物线的轴，此时直线与抛物线有个公共点.x1＋x2＋p.k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0没有平行或重合一填一填·知识要点、记下疑难点一两本讲栏目开关填一填研一研练一练2.3.2（一）探究点一抛物线的几何性质问题1类比椭圆、双曲线的几何性质，结合图象，说出抛物线y2＝2px(p0)的范围、对称性、顶点、离心率.怎样用方程验证？答案(1)范围：x≥0，y∈R；(2)对称性：抛物线y2＝2px(p0)关于x轴对称；(3)顶点：抛物线的顶点是坐标原点；(4)离心率：抛物线上的点M到焦点的距离和它到准线的距离的比叫抛物线的离心率.用e表示，由定义可知e＝1.研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练2.3.2（一）问题2通过抛物线的几何性质，怎样探求抛物线的标准方程？答案求抛物线的标准方程，主要利用待定系数法，要根据已知的几何性质先确定方程的形式，再求参数p.研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练2.3.2（一）例1若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为()A.14，±24B.18，±24C.14，24D.18，24解析由题意知，点P到焦点F的距离等于它到顶点O的距离，因此点P在线段OF的垂直平分线上，而F14，0，所以P点的横坐标为18，代入抛物线方程得y＝±24，故点P的坐标为18，±24，故选B.B研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练2.3.2（一）小结(1)注意抛物线各元素间的关系：抛物线的焦点始终在对称轴上，抛物线的顶点就是抛物线与对称轴的交点，抛物线的准线始终与对称轴垂直，抛物线的准线与对称轴的交点和焦点关于抛物线的顶点对称.(2)解决抛物线问题要始终把定义的应用贯彻其中，通过定义的运用，实现两个距离之间的转化，简化解题过程.研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练2.3.2（一）跟踪训练1抛物线y2＝2px(p0)上一点M的纵坐标为－42，这点到准线的距离为6，则抛物线方程为______________________.解析由于抛物线的准线方程是x＝－p2，而M点到准线的距离为6，所以M点的横坐标是6－p2，于是M6－p2，－42，代入方程得32＝2p6－p2，解得p＝8或p＝4，故方程为y2＝16x或y2＝8x.y2＝16x或y2＝8x研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练2.3.2（一）探究点二抛物线的焦点弦问题例2已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点.(1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；(2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离.解(1)因为直线l的倾斜角为60°，所以其斜率k＝tan60°＝3，又F32，0.所以直线l的方程为y＝3x－32.联立y2＝6x，y＝3x－32研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练2.3.2（一）消去y得x2－5x＋94＝0.若设A(x1，y1)，B(x2，y2).则x1＋x2＝5，而|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋p2＋x2＋p2＝x1＋x2＋p.∴|AB|＝5＋3＝8.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋p2＋x2＋p2＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3，所以x1＋x2＝6，于是线段AB的中点M的横坐标是3，又准线方程是x＝－32，所以M到准线的距离等于3＋32＝92.研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练2.3.2（一）小结(1)解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解.(2)设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论.研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练2.3.2（一）跟踪训练2已知过抛物线y2＝4x的焦点F的弦长为36，求弦所在的直线方程.解∵过焦点的弦长为36，∴弦所在的直线的斜率存在且不为零.故可设弦所在直线的斜率为k，且与抛物线交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点.∵抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0).∴直线的方程为y＝k(x－1).由y＝kx－1y2＝4x整理得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0(k≠0).研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练2.3.2（一）∴x1＋x2＝2k2＋4k2.∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝2k2＋4k2＋2.又|AB|＝36，∴2k2＋4k2＋2＝36，∴k＝±24.∴所求直线方程为y＝24(x－1)或y＝－24(x－1).研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练2.3.2（一）探究点三直线与抛物线的位置关系问题结合直线与椭圆、直线与双曲线的位置关系，请你思考一下怎样讨论直线与抛物线的位置关系？答案设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程：ax2＋bx＋c＝0，(1)若a≠0，当Δ0时，直线与抛物线相交，有两个交点；当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点；当Δ0时，直线与抛物线相离，无公共点.(2)若a＝0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.因此，“直线与抛物线有一个交点”是“直线与抛物线相切”的必要不充分条件.另外，还要注意直线斜率不存在的情形.研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练2.3.2（一）例3已知抛物线的方程为y2＝4x，直线l过定点P(－2,1)，斜率为k，k为何值时，直线l与抛物线y2＝4x：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？解由题意，设直线l的方程为y－1＝k(x＋2).由方程组y－1＝kx＋2，y2＝4x，(*)可得ky2－4y＋4(2k＋1)＝0.①(1)当k＝0时，由方程①得y＝1.把y＝1代入y2＝4x，得x＝14.这时，直线l与抛物线只有一个公共点14，1.研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练2.3.2（一）(2)当k≠0时，方程①的判别式为Δ＝－16(2k2＋k－1).1°由Δ＝0，即2k2＋k－1＝0，解得k＝－1，或k＝12.于是，当k＝－1，或k＝12时，方程①只有一个解，从而方程组(*)只有一个解.这时，直线l与抛物线只有一个公共点.2°由Δ0，得2k2＋k－10，解得－1k12.于是，当－1k12，且k≠0时，方程①有两个解，从而方程组(*)有两个解.这时，直线l与抛物线有两个公共点.研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练2.3.2（一）3°由Δ0，即2k2＋k－10，解得k－1，或k12.于是，当k－1，或k12时，方程①没有实数解，从而方程组(*)没有解.这时，直线l与抛物线没有公共点.综上，我们可得当k＝－1，或k＝12，或k＝0时，直线l与抛物线只有一个公共点；当－1k12，且k≠0时，直线l与抛物线有两个公共点；当k－1，或k12时，直线l与抛物线没有公共点.研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练2.3.2（一）小结直线与抛物线交点的个数，等价于直线方程、抛物线方程联立得到的方程组解的个数.注意直线斜率不存在和得到的方程二次项系数为0的情况.研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练2.3.2（一）跟踪训练3过点(－3,2)的直线与抛物线y2＝4x只有一个公共点，求此直线方程.解显然，直线存在斜率k，设其方程为y－2＝k(x＋3)，由y－2＝kx＋3y2＝4x消去x，整理得ky2－4y＋8＋12k＝0①(1)当k＝0时，方程①化为－4y＋8＝0，即y＝2，此时过(－3,2)的直线方程为y＝2，满足条件.研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练2.3.2（一）得k＝13或k＝－1.∴直线方程为y－2＝13(x＋3)或y－2＝－(x＋3)，即x－3y＋9＝0或x＋y＋1＝0.故所求直线有三条，其方程分别为y＝2，x－3y＋9＝0，x＋y＋1＝0.(2)当k≠0时，方程①应有两个相等实根.由k≠0Δ＝0，即k≠016－4k8＋12k＝0，研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练2.3.2（一）1.设AB为过抛物线y2＝2px(p0)的焦点的弦，则|AB|的最小值为()A.p2B.pC.2pD.无法确定解析当AB垂直于对称轴时，|AB|取最小值，此时AB即为抛物线的通径，长度等于2p.C练一练·当堂检测、目标达成落实处本讲栏目开关填一填研一研练一练2.3.2（一）2.设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是()A.－12，12B.[－2,2]C.[－1,1]D.[－4,4]解析设直线方程为y＝k(x＋2)，与抛物线方程联立，得y2＝8x，y＝kx＋2，消去x得到关于y的方程ky2－8y＋16k＝0.C当k＝0时，上述方程有解，所以直线与抛物线有公共点；当k≠0时，应有Δ≥0，即64－64k2≥0，解得－1≤k≤1且k≠0.综上，l斜率的取值范围是[－1,1].练一练·当堂检测、目标达成落实处本讲栏目开关填一填研一研练一练2.3.2（一）3.抛物线y＝4x2上一点到直线y＝4x－5的距离最短，则该点坐标为()A.(1,2)B.(0,0)C.12，1D.(1,4)解析因为y＝4x2与y＝4x－5不相交，设与y＝4x－5平行的直线方程为y＝4x＋m.则y＝4x2y＝4x＋m⇒4x2－4x－m＝0.①设此直线与抛物线相切有Δ＝0，即Δ＝16＋16m＝0，∴m＝－1.将m＝－1代入①式，x＝12，y＝1，所求点的坐标为12，1.C练一练·当堂检测、目标达成落实处本讲栏目开关填一填研一研练一练2.3.2（一）4.已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，|AF|＝2，则|BF|＝________.解析由y2＝4x，知p＝2，F(1,0)，由抛物线定义，xA＋p2＝|AF|，∴x