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5-1.奇数与偶数.题库教师版page1of10本讲知识点属于数论大板块内的“定性分析”部分，小学生的数学思维模式大多为“纯粹的定量计算，拿到一个题就先去试数，或者是找规律，在性质分析层面几乎为0，本讲力求实现的一个主要目标是提高孩子对数学的严密分析能力，培养孩子明白做题前有时要“先看能不能这么做，再去动手做”的思维模式。无论是小升初还是杯赛会经常遇到，但不会单独出题，而是结合其他知识点来考察学生综合能力。一、奇数和偶数的定义整数可以分成奇数和偶数两大类.能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。通常偶数可以用2k（k为整数）表示，奇数则可以用2k+1（k为整数）表示。特别注意，因为0能被2整除，所以0是偶数。二、奇数与偶数的运算性质性质1：偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数性质2：偶数±奇数=奇数性质3：偶数个奇数的和或差是偶数性质4：奇数个奇数的和或差是奇数性质5：偶数×奇数=偶数，奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数三、两个实用的推论推论1：在加减法中偶数不改变运算结果奇偶性，奇数改变运算结果的奇偶性。推论2：对于任意2个整数a,b,有a+b与a-b同奇或同偶模块一、奇数偶数基本概念及基本加减法运算性质【例1】1231993……的和是奇数还是偶数？【【解解析析】】在1至1993中，共有1993个连续自然数，其中997个奇数，996个偶数，即共有奇数个奇数，那么原式的计算结果为奇数.【【巩巩固固】】2930318788……得数是奇数还是偶数？【【解解析析】】偶数。原式中共有60个连续自然数，奇数开头偶数结尾说明有30个奇数，为偶数个。【【巩巩固固】】(200201202288151152153233……）（……）得数是奇数还是偶数？【【解解析析】】200至288共89个数，其中偶数比奇数多1，44个奇数的和是偶数；151至233共83个数，奇例题精讲知识点拨教学目标5-1奇数与偶数5-1.奇数与偶数.题库教师版page2of10数比偶数多1，42个奇数，为偶数；偶数减去偶数仍为偶数。【例1】12345679899的计算结果是奇数还是偶数，为什么？【【解解析析】】特殊数字：“1”．在这个算式中，所有做乘法运算的都是奇数偶数，所以它们的乘积都是偶数，这些偶数相加的结果还是偶数，只有1是奇数，又因为奇数偶数=奇数，所以这个题的计算结果是奇数．【【巩巩固固】】123456799100999897967654321的和是奇数还是偶数？为什么？【【解解析析】】在算式中，1~99都出现了2次，所以123499999897964321是偶数，而100也是偶数，所以123456799100999897967654321的和是偶数．【【巩巩固固】】东东在做算术题时，写出了如下一个等式：1038137564，他做得对吗？【【解解析析】】等式左边是偶数，1375是奇数，64是偶数，根据奇数偶数奇数，等式右边是奇数，偶数不等于奇数，因此东东写出的等式是不对的．【例2】能否在下式的“□”内填入加号或减号，使等式成立，若能请填入符号，不能请说明理由（1）1□2□3□4□5□6□7□8□9＝10（2）1□2□3□4□5□6□7□8□9＝27【【解解析析】】不能。很多学生拿到这个题就开始试数，试了半天也试不出来因为，这时给他讲解，原式有5个奇数，无论经加、减运算后结果一定是奇数。本小题是一个典型的奇偶性质“先定性分析后定量计算的题目”（2）可以。12345678927或12345678927【例3】能否从四个3，三个5，两个7中选出5个数，使这5个数的和等于22.【解析】不能。因为不论如何选，选出的5个数均为奇数，5个奇数的和还是奇数，不可能等于22。【【巩巩固固】】能否从、四个6，三个10，两个14中选出5个数，使这5个数的和等于44.【解析】从性质上看，选出5个偶数的和仍然是偶数。而从计算层面上考虑，假设等式可以成立，那么可以把题目中的数都除以2.那么本题相当于：能否从、四个3，三个5，两个7中选出5个数，使这5个数的和等于22.因为3，5，7都是奇数，而且5个奇数的和还是奇数，不可能等于偶数22，所以不能.【例4】一个自然数数分别与另外两个相邻奇数相乘，所得的两个积相差150，那么这个数是多少？【解析】由定义知道，相邻两个奇数相差2，那么说明150是这个未知自然数的两倍，所以原自然数为75.【【巩巩固固】】一个偶数分别与其相邻的两个偶数相乘，所得的两个乘积相差80，那么这三个偶数的和是多少？【解析】由定义知道，相邻两个偶数相差2，那么80恰好是原偶数的4倍，即原来的偶数是20。而由题意知道原来的三个偶数分别18,20,22，它们的和是60。【例5】多米诺骨牌是由塑料制成的1×2长方形，共28张，每张牌上的两个1×1正方形中刻有“点”，点的个数分别为0，1，2，…，6个不等，其中7张牌两端的点数一样，即两个0，两个1，…，两个6；其余21张牌两端的点数不一样，所谓连牌规则是指：每相邻两张牌必须有一端的点数相同，且以点数相同的端相连，例如：…………现将一付多米诺骨牌按连牌规则连成一条链，如果在链的一端为6点，那么在链的另一端为多少点?并简述你的理由．【解析】由连牌规则可知，在链的内部各种点数均成对相连，即所有点都有偶数个，而6点的个数为8，5-1.奇数与偶数.题库教师版page3of10所以在链的两端一定有偶数个点，所以链的另一端也应为6．【【巩巩固固】】一条线段上分布着n个点，这些点的颜色不是黑的就是白的，它们将线段分为n+1段，已知线段两端的两个点都是黑的，而中间的每一个点的两边各有一黑一白.那么白点的数目是奇数还是偶数？【解析】因为中间的每一个点的两边各有一黑一白，所以所有的点一定是两个黑点、两个白点依次相邻（除了首尾可能出现一个黑点），所以白点都是成对出现的.所以白点的个数为偶数.模块二、奇偶运算性质综合及代数分析法【例6】是否存在自然数a和b，使得ab(a＋b)=115?【解析】不存在。此类问题引导学生接触分类讨论的基本思想，即2个自然数在奇偶性的组合上只有3种情况，“2奇0偶，1奇1偶，0奇2偶”，可以分别讨论发现均不成立。【【巩巩固固】】是否存在自然数a、b、c，使得(a-b)(b-c)(a-c)=45327？【解析】不存在。可以分情况来讨论：3奇0偶，2奇1偶，1奇2偶，0奇3偶。但是比较繁琐，可以根据45327是一个奇数，只有奇数乘以奇数才能得到，所以a-b、b-c、a-c都为奇数，再根据奇偶性进行判断。【【巩巩固固】】a、b、c三个数的和与它们的积的和为奇数，问这三个数中最多可以有几个奇数？【解析】根据题目内容，可以列出所要讨论的式子为abcabc。则接下来可以分类讨论3奇0偶，2奇1偶，1奇2偶，0奇3偶四种情况。经验证如果要满足上式结果为奇数，那么可以发现最多只能有1个奇数。【例7】已知a,b,c中有一个是511，一个是622，一个是793。求证：(1)(2)(3)abc是一个偶数【解析】因为在a,b,c中有2个是奇数，1个是偶数，那么说明a,c两个数中至少有一个是奇数，那么(1)a和(3)c中至少有一个是偶数，所以(1)(2)(3)abc中至少有一个因数是偶数，结果为偶数.【【巩巩固固】】小红写了四个不同的非零整数a,b,c,d，并且说这四个整数满足四个算式：1991abcda1993abcdb1995abcdc1997abcdd但是小明看过之后立刻说小红是错的，根不不存在这样的四个数，你能证明小明的结论吗？【解析】由小红的提出的等式组，我们可以得到(1)1991abcd，(1)1993bacd，(1)1995cabd，(1)1997dabc，发现如果每个等式的结果都是一个奇数，那么要求,,,abcd四个数都是奇数，因为只有奇数与奇数相乘才能得奇数，这样,,,abcd中任意三个数的乘积也为奇数，导致(1)abd等四个差均为偶数，乘积结果只能得偶数，发生矛盾。【例2】设a,b,c,d,e,f,g都是整数，试说明：在,,,,,,abbccddeeffgga中，必有奇数个偶数．【【解解析析】】加数中奇数的个数决定和的奇偶性，反过来，和的奇偶性由加数中奇数的个数决定，所以我们考虑这7个数的和．2abbccddeeffggaabcdefg（）（）（）（）（）（）（）（），和是偶数，ab,bc,cd,de,ef,fg,ga中，必有偶数个奇数，因而必有奇数个偶数．【例3】有四个互不相等的自然数，最大数与最小数的差等于4，数与最大数的乘积是一个奇数，而这5-1.奇数与偶数.题库教师版page4of10四个数的和是最小的两位奇数．求这四个数．【【解解析析】】入手点：最小的两位奇数是11，最小数与最大数的乘积是一个奇数可得最小数和最大数都是奇数．首先由这四个数的和是最小的两位奇数，可知这四个自然数的和是11．其次，由最小数与最大数的乘积是一个奇数，可知最小数与最大数都是奇数．由12341011，23451411，可以推导出这四个互不相等的自然数分别是：1，2，3，5．【例4】甲、乙两个哲人将正整数5至11分别写在7张卡片上．他们将卡片背面朝上，任意混合之后，甲取走三张，乙取走两张．剩下的两张卡片，他们谁也没看，就放到麻袋里去了．甲认真研究了自己手中的三张卡片之后，对乙说：“我知道你的两张卡片上的数的和是偶数．”试问：甲手中的三张卡片上都写了哪些数？答案是否唯一．【【解解析析】】甲手中的8张卡片上分别写了6，8和10．甲知道其余4张卡片上分别写了哪些数，但不知道它们之中的哪两张落到了乙的手中．因此，只有在它们之中任何两张卡片上的数的和都是偶数时，甲才能说出自己的断言．而这就意味着，这4张卡片上所写的数的奇偶性相同，亦即或者都是偶数，或者都是奇数．但是由于一共只有3张卡片上写的是偶数，所以它们不可能都是偶数，从而只能都是奇数．于是3张写着偶数的卡片全都落入甲的手中．答案是唯一的．【例5】甲同学一手握有写着23的纸片，另一只手握有写着32的纸片．乙同学请甲回答如下一个问题：“请将左手中的数乘以3，右手中的数乘以2，再将这两个积相加，这个和是奇数还是偶数？”当甲说出和为奇数时，乙马上就猜出写有23的纸片握在甲的左手中．你能说出是什么道理吗？【【解解析析】】甲的两张纸片，23是奇数，32是偶数．因此，只要能判断出甲的左手中握的是奇数，即可知左手的是23．设甲左手握的数为a，右手握的数为b，乙同学请甲计算所得结果为c，则32abc．⑴若c为奇数，则3a为奇数，所以左手握的数a是奇数．⑵若c为偶数，则3a为偶数，所以左手握的数a是偶数．因此，从c的奇偶性就可以断定左手握的数a的奇偶性，从而确定左手握的数是23还是32．在本题中，c为奇数，因此合于第(1)种情况，a是奇数，即左手中握的是23．【例6】在一张9行9列的方格纸上，把每个方格所在的行数和列数加起来，填在这个方格中，例如538a．问：填入的81个数字中是奇数多还是偶数多？a123456789987654321【【解解析析】】此题如果按步就班地把每个格子的数算出来，再去数一数奇数和偶数各有多少．然后得出奇数和偶数哪个多，哪个少的结论．显然花时间很多，不能在口试抢答中取胜．我们应该从整体上去比较奇偶数的多少．易知奇数行偶数多一个，偶数行奇数多1个．所以前8行中奇偶数一样，余下第9行奇数行，答案可脱口而出．偶数多．【【巩巩固固】】如果把每个方格所在的行数和列数乘起来，填在这个方格，例如：5315a．问填入的81个数中是奇数多还是偶数多？【【解解析析】】奇数行奇数多1个，偶数行全