2018全国Ⅱ卷理科数学高考真题

2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．A．B．C．D．2．已知集合，则中元素的个数为A．9B．8C．5D．43．函数的图像大致为4．已知向量，满足，，则A．4B．3C．2D．05．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为A．B．C．D．6．在中，，，，则A．B．C．D．12i12i43i5543i5534i5534i55223AxyxyxyZZ，≤，，A2eexxfxxab||1a1ab(2)aab22221(0,0)xyabab32yx3yx22yx32yxABC△5cos25C1BC5ACAB423029257．为计算，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入A．B．C．D．8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是A．B．C．D．9．在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为A．B．C．D．10．若在是减函数，则的最大值是A．B．C．D．11．已知是定义域为的奇函数，满足．若，则A．B．0C．2D．5012．已知，是椭圆的左、右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．曲线在点处的切线方程为__________．11111123499100S…1ii2ii3ii4ii307231121141151181111ABCDABCD1ABBC13AA1AD1DB15565522()cossinfxxx[,]aaaπ4π23π4π()fx(,)(1)(1)fxfx(1)2f(1)(2)(3)(50)ffff…501F2F22221(0)xyCabab：ACPA3612PFF△12120FFPC231213142ln(1)yx(0,0)开始0,0NTSNTS输出1i100i1NNi11TTi结束是否14．若满足约束条件则的最大值为__________．15．已知，，则__________．16．已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为45°，若的面积为，则该圆锥的侧面积为__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分。17．（12分）记为等差数列的前项和，已知，．（1）求的通项公式；（2）求，并求的最小值．18．（12分）下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额（单位：亿元）的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了与时间变量的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量的值依次为）建立模型①：；根据2010年至2016年的数据（时间变量的值依次为）建立模型②：．（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．,xy25023050xyxyx，，，zxysincos1αβcossin0αβsin()αβSSASB78SASAB△515nS{}nan17a315S{}nanSnSyytt1217，，…，ˆ30.413.5ytt127，，…，ˆ9917.5yt19．（12分）设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，．（1）求的方程（2）求过点，且与的准线相切的圆的方程．20．（12分）如图，在三棱锥中，，，为的中点．（1）证明：平面；（2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值．21．（12分）已知函数．（1）若，证明：当时，；（2）若在只有一个零点，求．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）．（1）求和的直角坐标方程；（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）24Cyx：FF(0)kklCAB||8ABlABCPABC22ABBC4PAPBPCACOACPOABCMBCMPAC30PCPAMPAOCBM2()exfxax1a0x()1fx()fx(0,)axOyC2cos4sinxθyθ，θl1cos2sinxtαytα，tClCl(1,2)l设函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若，求的取值范围．()5|||2|fxxax1a()0fx()1fxa绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题参考答案一、选择题1．D2．A3．B4．B5．A6．A7．B8．C9．C10．A11．C12．D二、填空题13．14．915．16．三、解答题17．解：（1）设的公差为d，由题意得．由得d=2．所以的通项公式为．（2）由（1）得．所以当n=4时，取得最小值，最小值为−16．18．解：（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为(亿元)．利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为(亿元)．（2）利用模型②得到的预测值更可靠．理由如下：（ⅰ）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线上下．这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从20102yx12402π{}na13315ad17a{}na29nan228(4)16nSnnnnSˆ30.413.519226.1yˆ9917.59256.5y30.413.5yt年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．（ⅱ）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理．说明利用模型②得到的预测值更可靠．以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．19．解：（1）由题意得，l的方程为．设，由得．，故．所以．由题设知，解得（舍去），．因此l的方程为．（2）由（1）得AB的中点坐标为，所以AB的垂直平分线方程为，即．设所求圆的圆心坐标为，则解得或因此所求圆的方程为或．20．解：ˆ9917.5yt(1,0)F(1)(0)ykxk1221(,),(,)AyxyxB2(1),4ykxyx2222(24)0kxkxk216160k122224kxkx122244||||||(1)(1)xkABAFBFkx22448kk1k1k1yx(3,2)2(3)yx5yx00(,)xy00220005,(1)(1)16.2yxyxx003,2xy0011,6.xy22(3)(2)16xy22(11)(6)144xy（1）因为，为的中点，所以，且．连结．因为，所以为等腰直角三角形，且，．由知．由知平面．（2）如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系．由已知得取平面的法向量．设，则．设平面的法向量为．由得，可取，所以．由已知可得．所以．解得（舍去），．4APCPACOACOPAC23OPOB22ABBCACABC△OBAC122OBAC222OPOBPBPOOB,OPOBOPACPOABCOOBuuurxOxyz(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,2,0),(0,0,23),(0,2,23),OBACPAPuuurPAC(2,0,0)OBuuur(,2,0)(02)Maaa(,4,0)AMaauuurPAM(,,)xyzn0,0APAMuuuruuurnn2230(4)0yzaxay(3(4),3,)aaan22223(4)cos,23(4)3aOBaaauuurn3|cos,|2OBuuurn22223|4|3=223(4)3aaaa4a43a所以．又，所以．所以与平面所成角的正弦值为．21．解：（1）当时，等价于．设函数，则．当时，，所以在单调递减．而，故当时，，即．（2）设函数．在只有一个零点当且仅当在只有一个零点．（i）当时，，没有零点；（ii）当时，．当时，；当时，．所以在单调递减，在单调递增．故是在的最小值．①若，即，在没有零点；②若，即，在只有一个零点；③若，即，由于，所以在有一个零点，由（1）知，当时，，所以83434(,,)333n(0,2,23)PCuuur3cos,4PCuuurnPCPAM341a()1fx2(1)e10xx2()(1)e1xgxx22()(21)e(1)exxg'xxxx1x()0g'x()gx(0,)(0)0g0x()0gx()1fx2()1exhxax()fx(0,)()hx(0,)0a()0hx()hx0a()(2)exh'xaxx(0,2)x()0h'x(2,)x()0h'x()hx(0,2)(2,)24(2)1eah()hx[0,)(2)0h2e4a()hx(0,)(2)0h2e4a()hx(0,)(2)0h2e4a(0)1h()hx(0,2)0x2exx．故在有一个零点，因此在有两个零点．综上，在只有一个零点时，．22．解：（1）曲线的直角坐标方程为．当时，的直角坐标方程为，当时，的直角坐标方程为．（2）将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程．①因为曲线截直线所得线段的中点在内，所以①有两个解，设为，，则．又由①得，故，于是直线的斜率．23．解：（1）当时，可得的解集为．（2）等价于．而，且当时等号成立．故等价于．由可得或，所以的取值范围是33342241616161(4)11110e(e)(2)aaaaahaaa()hx(2,4)a()hx(0,)()fx(0,)2e4aC221416xycos0ltan2tanyxcos0l1xlCt22(13cos)4(2cossin)80ttCl(1,2)C1t2t120tt1224(2cossin)13costt2cossin0ltan2k1a24,1,()2,12,26,2.xxfxxxx()0fx{|23}xx()1fx|||2|4xax|||2||2|xaxa