复变函数公式定理合集

复变函数公式定理合集吕铭物理212013年6月20日1解析函数1.柯西–黎曼方程:∂u∂x=∂v∂y;∂u∂y=−∂v∂x(⇔i∂f∂x=∂f∂y⇔∂f∂z∗=0)(∂u∂y,−∂u∂x)(∂v/∂y−∂v/∂x)=0∂2u∂x2+∂2u∂y2=∂2v∂x2+∂2v∂y2=0函数可导的充要条件是柯西–黎曼方程成立且u和v可微.2.siniz=isinhz;cosiz=coshz3.sinh−1z=ln(z+√z2+1);cosh−1z=ln(z+√z2−1)4.arcsinz=1iln(iz+√1−z2);arccosz=1iln(z+√z2−1)5.黎曼存在定理:在扩充的复平面上任意两单连通区域存在唯一的（单叶）保角映射使得两区域可以相互变换.6.保角变换:对于f(x+iy)=ξ+iη;[∂2∂x2+∂2∂y2]u(x,y)=ρ(x,y)⇐⇒[∂2∂ξ2+∂2∂η2]u(x(ξ,η),y(ξ,η))=1|f′(z)|2ρ(x(ξ,η),y(ξ,η))2复变积分1.柯西定理:Cf(z)dz=0;C0f(z)dz=n∑i=1Cif(z)dzf(z)在G内解析,C是G内的一个分段光滑闭合围道,也可以是G的边界.2.∂G(z−a)ndz=2πi,n=−1,a∈G0,其他情况13.limδ→0Cf(z)dz=ik(θ2−θ1)θ1≤arg(z−a)≤θ2(闭?);limz→a(z−a)f(z)=k(一致地?);f(z)在z=a的（空心）邻域内连续.4.limR→∞CRf(z)dz=iK(θ2−θ1)当θ1≤argz≤θ2且limz→∞zf(z)=K(一致地?);f(z)在∞的邻域内连续.5.柯西积分公式:f(a)=12πiCf(z)z−adz（有界区域）f(z)在区域G内单值解析,C=∂G分段光滑,a∈G;（无界区域）C顺时针,f(z)在C上和外解析,且limz→∞f(z)=0,a在C外.6.均值定理f(a)=12π2π0f(a+Reiθ)dθ7.f(n)(z)=n!2πi∂Gf(ζ)(ζ−z)n+1dζ.要求f(z)在G内解析,z∈G8.柯西型积分:ϕ(ζ)是在曲线C上的连续函数,定义f(z)=12πiCϕ(ζ)ζ−zdζ是C外的解析函数,有f(p)(z)=p!2πiCf(ζ)(ζ−z)p+1dζ.9.F(z)=Cf(t,z)dt⇒F′(z)=C∂f(t,z)∂zdt要求f(t,z)单值解析,C分段光滑（可以是实轴的一部分）.10.ζ∈∂G;z∈G;|f(ζ)|≤M;|ζ−z|≥R有f(n)(z)≤n!MRn最大模定理:解析函数f(z)模|f(z)|在定义域的内不存在极值,除非f(z)是常函数（令n=0）刘维尔定理:在全平面上解析且有界的函数为常函数（令n=1,R→∞）11.*泊松公式:对于f(x+iy)=u+iv:u(x,y)=1π∞−∞(ξ−x)v(ξ,0)(ξ−x)2+y2dξ=1π∞−∞yu(ξ,0)(ξ−x)2+y2dξv(x,y)=−1π∞−∞(ξ−x)u(ξ,0)(ξ−x)2+y2dξ=1π∞−∞yv(ξ,0)(ξ−x)2+y2dξ23级数展开1.绝对收敛判定:∞∑n=0un绝对收敛⇐∃.{vn}vn≥|un|,vn收敛⇐∀.n,un+1unρ1⇐limn→∞un+1unl1⇐limn→∞|un|1/n12.绝对收敛的性质:(a)改换次序;(b)可以把一个绝对收敛级数拆成几个子级数，每个子级数仍绝对收敛;(c)两个绝对收敛级数之积仍然绝对收敛.3.收敛判定:∞∑n=0un收敛⇔∀.ϵ0,∃.n,∀.p0,|un+1+un+2+···+un+p|ϵ⇐un=vnwn,{Sn=n∑k=1vk}有界,vn正项递减,limn→∞vn=0⇐un=vnwn,{Sn=n∑k=1vk}收敛,vn单调有界4.维尔斯特拉斯的M判别法:∀.z∈G,|uk(z)|ak,∞∑k=1ak收敛⇒∞∑k=1uk(z)绝对而且一致收敛5.一致收敛级数的性质:(a)uk(z)连续⇒S(z)=∞∑k=1uk(z)连续(b)C∞∑k=1uk(z)dz=∞∑k=1Cuk(z)dz(C分段光滑)(c)(∞∑k=1uk(z))(p)=∞∑k=1u(p)k(z)6.渐近级数（在一定辐角范围内）w(z)∼∞∑k=1ψk(z)⇔w(z)−n−1∑k=1ψk(z)∼ψn(z)7.阿贝尔定理:3(a)∞∑n=0cn(z−a)n在z=z0收敛,则它在|z−a||z0−a|上绝对收敛,内闭一致收敛(b)∞∑n=0cn(z−a)n在收敛圆G内收敛到f(z)且在收敛圆上一点z0也收敛（到S）,则limz→z0,z∈Gf(z)=S8.收敛半径R=1limn→∞|cn|1/n=limn→∞cncn+19.泰勒展开:f(z)在以a为圆心的元C内解析,则在圆内f(z)=∞∑n=0an(z−a)nan=12πiCf(ζ)(ζ−a)n+1dζ10.洛朗展开:f(z)在G={z|Rz|z−b|R2}内单值解析,则∀.z∈Gf(z)=∞∑n=−∞an(z−a)nan=12πiCf(ζ)(ζ−a)n+1dζ(C⊂G)11.解析函数的零点孤立性定理:若f(z)不恒等于零,且在包含z=a在内的区域内解析,则必能找到圆|z−a|ρ,使在圆内除了z=a可能为零点外,f(z)再无其他零点.推论包括解析函数的唯一性定理,解析延拓的意义等.12.奇点:•非孤立奇点（含枝点）•孤立奇点–可去奇点:展开式不含负幂项（∞点为正幂项）,在该点存在有限的极限.–极点:展开式含有限个负幂项（∞点为正幂项）,阶数与倒数的零点阶数相同,在该点的极限是∞.–本性奇点:展开式含无穷多负幂项（∞点为正幂项）,在本性奇点的任意一个小邻域内,可以取（并且取无穷多次）任意的有限数值,顶多可能有一个例外.13.*伯努利数zez−1=∞∑n=1Bnn!zn,|z|2π4B2n+1=−12δn0[k/2]∑n=0k!(k−2n+1)!B2n(2n)!=12B2=16,B4=−130,B6=142,B8=−130,B10=566B12=−6912730B14=76B16=−3617510,···14.*欧拉数2ez/2ez+1=1cosz2=∞∑n=0Enn!(z2)n,|z|πE2n+1=0,k∑l=0(2k)!(2l)!(2k−2l)!E2l=0,E0=1,E2=−1,E4=5,E6=−61,···15.常用展开:11−z=∞∑n=0zn|z|1ez=∞∑n=0znn!|z|∞ln(1−z)=−∞∑n=1znn(ln(1−z)|z=0=0)|z|1cosz=∞∑n=0(−)nz2n(2n)!|z|∞sinz=∞∑n=0(−)nz2n+1(2n+1)!|z|∞(1+z)α=∞∑n=0(αn)zn((1+z)α|z=0=1)|z|1z2cotz2=∞∑n=0(−)nB2n(2n)!z2n|z|2πz2tanz2=∞∑n=1(−)n−122n−1(2n)!B2nz2n|z|πzcsc=zsinz=∞∑n=0(−)n−12(22n−1−1(2n)!B2nz2n|z|πlnsinzz=∞∑n=1(−)n22n−1n(2n)!B2nz2n|z|π5lncosz=∞∑n=1(−)n22n−1(22n−1)n(2n)!B2nz2n|z|π2lntanzz=∞∑n=1(−)n−122n(22n−1−1)n(2n)!B2nz2n|z|π2tanz=z+z33+2z415+O(z6)|z|π2cotz=1z−z3−z345−2z5945+O(z6)0|z|π1sinz=1z+z6+7z3360+31z515120+O(z6)0|z|π1cosz=1+x22+5x424+O(x6)0|z|π24留数定理1.Cf(z)dz=2πin∑k=1resf(bk),bk为f(z)在C内的奇点2.z=b是f(z)的m阶极点,a−1=1(m−1)!dm−1dzm−1(z−b)mf(z)z=b3.z=b是f(z)的一阶极点,a−1=limz→b(z−b)f(z)4.f(z)=P(z)Q(z),z=b是Q(z)的一阶零点,a−1=P(z)Q′(z)5.∞点的留数是−a−1,不要求为奇点6.对于有限个奇点的解析函数,∑扩充复平面resf(b)=07.约当引理:在0≤argz≤π范围内,|z|→∞时Q(z)一致地趋近于0,则limR→∞CRQ(z)eipzdz=0,其中p0,CR是以原点为圆心,R为半径的半圆弧.在不同辐角范围内满足相似条件也可成立.8.In≡∞−∞sinnxxndx=π(n−1)![n/2]∑k=0(nk)(n−2k2)n−1I1=π,I2=π,I3=34π,I4=23π,I5=115192π,I6=1120π,···9.∞∑n=11n2=π2610.∞0xα−1x+eiφdx=πsinπαeiφ(α−1)6∞0xα−11+xdx=πsinπα∞0xα−1x2+2xcosφ+1dx=πsinπαsin(1−α)φsinφ11.辐角原理w(z)满足:在简单闭合曲线C内除极点外解析;在C上解析且不为零,则12πiCw′(z)w(z)dz=N(w,C)−P(w,c)=∆Cargw(z)2π其中其中N(w,C)与P(w,C)分别表示w(z)在C内零点与极点的个数（一个m阶零点算作m个零点;一个n阶极点算n个极点）.12.儒歇定理函数w(z)和φ(z)在简单闭合曲线C内以及C上解析,且在C上恒满足|w(z)||φ(z)|,则函数w(z)与w(z)+φ(z)在C内有同样多的零点（几阶算几个）.13.威尔斯特拉斯定理设整函数（在复平面上无奇点）f(z)只有不为0的一阶零点{a1,a2,···},limn→∞an=∞,且存在围道序列Cm（围道内包含m个零点a1;{a1,a2,···,am}），在其上满足f′(z)f(z)M,M为与m无关的正数，则f(z)可以展为无穷乘积f(z)=f(0)ef′(0)f(0)∞∏n=1[(1−zan)ezan]5函数1.Γ(z)=∞1e−ttz−1dt+∞∑n=0(−)nn!1n+zRez0======∞0e−ttz−1dt也可以将积分范围改为Ret→+∞的一个曲线.2.Γ(1)=1Γ(12)=√(π)3.Γ(z+1)=zΓ(z)4.Γ(n)=(n−1)!5.互余宗量定理Γ(z)Γ(1−z)=πsinπz6.Γ(z)̸=07.倍乘公式Γ(2z)=22z−1π−12Γ(z)Γ(z+12)78.斯特林公式（|z|→∞,|argz|π）Γ(z)∼zz−12e−z√2π(1+112z+1288z2−13951840z3−5712488320z4+···)Γ(z+1)∼√2πz(ze)zlnΓ(z)∼(z−12)lnz−z+12ln(2π)+112z−1360z3+11260z5−···lnn!∼nlnn−n9.外氏无穷乘积1Γ(z)=zeγz∞∏n=1[(1+zn)e−zn]10.(z)=dlnΓ(z)dz=Γ′(z)Γ(z)11.z=0,−1,−2,···都是(z)的一阶极点,留数均为−1;除了这些点以外,(z)在全平面解析.12.(z+n)=(z)+n−1∑k=0zz+k13.(1−z)=(z)+πcotπz14.(z)−(−z)=−1z−πcotπz15.(2z)=12(z)+12(z+12)+ln216.(z)∼lnz−12z−112z2+1120z4−1252z6+···(z→∞,|argz|π)17.limn→∞[(z+n)−lnn]=018.(z)的特殊值(1)=−γ,′(1)=π26,(12)=−γ−2ln2,′(12)=π22,(−12)=−γ−2ln2+2,′(−12)=π22+4,(14)=−γ−π2−3ln2,(34)=−γ+π2−3ln2,(13)=−γ−π2√3−32ln3,(34)=−γ+