培优竞赛新方法(九年级)第9讲-------二次函数的应用

第9讲二次函数的应用知识纵横设二次函数)0(2acbxaxy，自变量在没有限制条件时：当abxa2,0时，abacy442最小值，无最大值；当abxa2,0时，abacy442最大值，无最小值；二次函数的最值应用主要体现在一下方面：（1）解决实际问题中的最值问题；（2）探讨几何图形中相关元素的最值。例题求解【例1】如图，已知边长为4的正方形截取一个角后成为五边形ABCDE，其中1,2BFAF。试在AB上求一点P，使矩形有最大面积。思路点拨设xPMDN，矩形的面积有y，建立y与x的函数关系式，阶梯的关键是：最值点不一定是抛物线的顶点，应注意自变量的取值范围。（辽宁省中考题）【例2】某宾馆有5个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满，当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲，宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用，根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元，设每个房间的房价每天增加x元（x为10的整数倍）。（1）设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）设宾馆一天的利润为W元，求W与x的函数关系式；（3）一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？（武汉市中考题）思路点拨对于（3），（1）是基础，并注意“x为10的整数倍”的制约。【例3】当21x时，函数224222aaaxxy有最小值2，求a所有可能取的值。（太原市竞赛题）思路点拨22)(222aaaxy，图像的对称轴为ax，函数在何处去的最小值？应分2121aaa、、三种情况讨论【例4】红星公司生产的某种时令商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量m（件）与时间t（天）的关系如下表：时间t（天）1361036…日销售量m（件）9490847624…未来40天内，前20天每天的价格y1（元/件）与时间t（天）的函数关系式为25411ty（1≤t≤20且t为整数），后20天每天的价格y2（元/件）与时间t（天）的函数关系式为40212ty（21≤t≤40且t为整数）．下面我们就来研究销售这种商品的有关问题：（1）认真分析上表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据的m（件）与t（天）之间的关系式；（2）请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？（3）在实际销售的前20天中，该公司决定每销售一件商品就捐赠a元利润（a＜4）给希望工程．公司通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t（天）的增大而增大，求a的取值范围．（扬州市中考题）分析对于（3），引入参数a后改变了已有函数关系和对称轴。因1≤t≤20且t为整数，故图象是20个分布在抛物线上的散点，这20个散点从左至右要呈上升趋势，是否一定都在抛物线左侧？抛物线上三角形面积【例5】阅读材料如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高”（h）．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S△ABC=ah21，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．解答下列问题：如图2，抛物线顶点坐标为点A（-4，0），B（0，-4）C（2,0）三点。（1）求抛物线的解析式；（2）若点c为第三象限内抛物线上一动点，其横坐标为m，AMB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．（河南省中考题）学力训练基础夯实1、正方形ABCD的边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，且始终保持AM⊥MN．当BM=_____时，四边形ABCN的面积最大．(2011日照市中考题)2、如图，点A，B的坐标分别为（1，4）和（4，4），抛物线y=a（x-m）2+n的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为-3，则点D的横坐标最大值为______.（台州市中考题）3、已知抛物线bxxy221经过点A（4，0）．设点C（1，-3），请在抛物线的对称轴上确定一点D，使得|AD-CD|的值最大，则D点的坐标为。（安徽省中考题）4、如图，点P是菱形ABCD的对角线AC上一动点（不与点A、C重合）．过点P且垂直于AC的直线交菱形ABCD的边于M、N两点．若AC=2，BD=1，设AP=x，MN=y，则y关于x的函数图象的大致形状是（）ABCD（2011年安徽省中考题）5、1)1(2xaxy是关于x的二次函数，当x的取值范围13x时，y在x=1时取得最大值，则实数a的取值范围是（）A．a=5B.a5C.a=3D.a3（自贡市中考题）6、已知二次函数cbxxy2中函数y与自变量x之间的部分对应值如图所示，点A（x1，y1），B（x2，y2）在函数的图象上，当0＜x1＜1，2＜x2＜3时，y1与y2的大小关系正确的是（）x…0123…y…-1232…A.21yyB.21yyC.21yyD.21yy（2010•鄂尔多斯）7、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD=6，∠ABC=60°，点E，F分别在线段AD，DC上（点E与点A、D不重合），且∠BEF=120°，设AE=x，DF=y.(1)求y与x的函数表达式。（2）当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？（南京市中考题）8、某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？（2009•武汉）9、如图，已知抛物线229bbxxy（b为常数）经过坐标原点O，且与x轴交于另一点E．其顶点M在第一象限．（1）求该抛物线所对应的函数关系式；（2）设点A是该抛物线上位于x轴上方，且在其对称轴左侧的一个动点；过点A作x轴的平行线交该抛物线于另一点D，再作AB⊥x轴于点B，DE⊥x轴于点C．①当线段AB、BC的长都是整数个单位长度时，求矩形ABCD的周长；②求矩形ABCD的周长的最大值，并写出此时点A的坐标；③当矩形ABCD的周长取得最大值时，它的面积是否也同时取得最大值？请判断井说明理由．（2011海南省中考题）能力拓展10、函数1422xxy的最小值是.（浙江省竞赛题）11、当a取便0到5的所有实数值时，满足3b=a(3a-8)的整数b的个数是.(全国初中数学竞赛题)12、设cba、、是ABC的三边长，二次函数2)2(2bacxxbay在1x时去最小值b58，则ABC是（）。A.等腰三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.直角三角形(全国初中数学竞赛题)13、已知某商品涨价x成（1成即%10）后，销量将减少x65，若要获得最大的营业额，则需涨价（）成。A.1B.2C.3D.414、已知两个二次函数1y和2y，当)0(aax时，1y取得最大值5，且252y，又2y的最小值为-2，1316221xxyy，求a的值及二次函数1y，2y的解析式。（天津市竞赛题）15、在锐角三角形ABC中，BC=12，ABC的面积为48，D、E分别是边AB、AC上的两个动点（D不与A、B重合），且保持BCDE//，以DE为边，在点A的异侧作正方形DEFG。（1）当正方形DEFG的边GF在BC上时，求正方形DEFG的边长；（2）设xDE，ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为y，试求y关于x的函数关系式，写出x的取值范围，并求出y的最大值。（东营市中考题）综合创新16、已知关于x的函数32axxy，其中11x，试分别求出下列条件下函数的最大值和最小值。（1）20a；（2）2a。17、如图，在平面直角坐标系中，抛物线nmxxy2经过A（3,0），B（0，-3）两点，点P时直线AB上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t。（1）分别求直线AB和这条抛物线的解析式；（2）若点P在第四象限，连接BM、AM，当线段PM最长时，求ABM的面积；（3）是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由。ABC①备用图ABC②备用图)17(题第)2011(年南宁市中考题