2017版高考数学一轮复习 第八章 立体几何 第5讲 空间向量及其运算课件 理

第5讲空间向量及其运算考试要求1.空间向量的概念，空间向量的基本定理及其意义，A级要求；2.空间向量共线、共面的充分必要条件，B级要求；3.空间向量的线性运算及其坐标表示，空间向量的坐标表示，B级要求；4.空间向量的数量积及其坐标表示，用向量的数量积判断向量的共线和垂直，B级要求.知识梳理1.空间向量的有关概念名称定义空间向量在空间中，具有大小和_______的量相等向量方向________且模______的向量共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相_____或_________共面向量平行于_____________的向量方向相同相等平行重合同一平面2.空间向量中的有关定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在λ∈R，使a＝_____.(2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝______.(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组{x，y，z}使得p＝____________，其中{a，b，c}叫做空间的一个基底.λbxa＋ybxa＋yb＋zc3.两个向量的数量积(1)非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.(2)空间向量数量积的运算律①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；②交换律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.4.空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).向量表示坐标表示数量积a·b____________________共线a＝λb(b≠0)_________________________垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)_______________________模|a|_________________夹角〈a，b〉(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝a1b1＋a2b2＋a3b3a21＋a22＋a23·b21＋b22＋b23a1b1＋a2b2＋a3b3a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3a1b1＋a2b2＋a3b3＝0a21＋a22＋a235.空间两点间的距离(1)设点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则|AB→|＝特别地，点P(x，y，z)与坐标原点O的距离为|OP→|＝.(2)设点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)是空间中两点，则线段AB的中点坐标为.111xxyyzz222222（-）（-）（-）222xyz121212,,222xxyyzz诊断自测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)空间中任意两非零向量a，b共面()(2)对任意两个空间向量a，b，若a·b＝0，则a⊥b()(3)若{a，b，c}是空间的一个基底，则a，b，c中至多有一个零向量()(4)若a·b＜0，则〈a，b〉是钝角()√×××①－12a＋12b＋c；②12a＋12b＋c；③－12a－12b＋c；④12a－12b＋c.解析BM→＝BB→1＋B1M→＝AA→1＋12(AD→－AB→)＝c＋12(b－a)＝－12a＋12b＋c.答案①2.如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点.若AB→＝a，AD→＝b，AA→1＝c，则下列向量中与BM→相等的向量是________(填序号).3.(苏教版选修2－1P97T15改编)已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k＝________.解析∵ka＋b＝(k－1，k，2)，2a－b＝(3，2，－2)，∵ka＋b与2a－b垂直，∴(ka＋b)·(2a－b)＝0，即3(k－1)＋2k－4＝0，解得k＝75.答案754.正四面体ABCD棱长为2，E，F分别为BC，AD中点，则EF的长为________.解析|EF→|2＝EF→2＝(EC→＋CD→＋DF→)2＝EC→2＋CD→2＋DF→2＋2(EC→·CD→＋EC→·DF→＋CD→·DF→)＝12＋22＋12＋2[1×2×cos120°＋0＋2×1×cos120°]＝2，∴|EF→|＝2，∴EF的长为2.答案25.有下列命题：①若p＝xa＋yb(x，y∈R)，则p与a，b共面；②点O，A，B，C为空间四点，且向量OA→，OB→，OC→不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C一定共面；③已知向量a，b，c是空间的一个基底，则向量a＋b，a－b，c也是空间的一个基底；④若P，M，A，B共面，则MP→＝xMA→＋yMB→，则其中正确的命题序号是________.解析显然①，②正确，对于③，若a＋b，a－b，c不是空间的一个基底，则c＝x(a＋b)＋y(a－b)＝a(x＋y)＋b(x－y)，∴c与a，b共面，与向量a，b，c是空间的一个基底矛盾，因此③正确.④中若M，A，B共线，点P不在此直线上，则MP→＝xMA→＋yMB→不正确.答案①②③考点一空间向量的线性运算【例1】如图所示，在空间几何体ABCD-A1B1C1D1中，各面为平行四边形，设AA1→＝a，AB→＝b，AD→＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：(1)AP→；(2)MP→＋NC1→.解(1)因为P是C1D1的中点，所以AP→＝AA1→＋A1D1→＋D1P→＝a＋AD→＋12D1C1→＝a＋c＋12AB→＝a＋c＋12b.(2)因为M是AA1的中点，所以MP→＝MA→＋AP→＝12A1A→＋AP→＝－12a＋a＋c＋12b＝12a＋12b＋c.又NC1→＝NC→＋CC1→＝12BC→＋AA1→＝12AD→＋AA1→＝12c＋a，所以MP→＋NC1→＝12a＋12b＋c＋a＋12c＝32a＋12b＋32c.规律方法(1)用已知基向量表示指定向量时，应结合已知和所求向量观察图形，将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中，然后利用三角形法则或平行四边形法则进行运算.(2)首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们把这个法则称为向量加法的多边形法则.提醒：空间向量的坐标运算类似于平面向量中的坐标运算.【训练1】(2016·郑州模拟)如图所示，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别为OA，BC的中点，点G在线段MN上，且MG→＝2GN→，若OG→＝xOA→＋yOB→＋zOC→，则x＋y＋z＝________.解析设OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，则MN→＝ON→－OM→＝12(OB→＋OC→)－12OA→＝12b＋12c－12a，OG→＝OM→＋MG→＝12OA→＋23MN→＝12a＋2312b＋12c－12a＝16a＋13b＋13c，又OG→＝xOA→＋yOB→＋zOC→，所以x＝16，y＝13，z＝13，因此x＋y＋z＝16＋13＋13＝56.答案56考点二共线定理、共面定理的应用【例2】已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，用向量方法求证：(1)E，F，G，H四点共面；(2)BD∥平面EFGH.证明(1)连接BG，则EG→＝EB→＋BG→＝EB→＋12(BC→＋BD→)＝EB→＋BF→＋EH→＝EF→＋EH→，由共面向量定理知E，F，G，H四点共面.(2)因为EH→＝AH→－AE→＝12AD→－12AB→＝12(AD→－AB→)＝12BD→，因为E，H，B，D四点不共线，所以EH∥BD.又EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH，所以BD∥平面EFGH.规律方法(1)判定空间三点共线，要结合已知向量从三点中提炼两个共点向量，利用共线向量定理判断，但一定要说明两线有公共点.(2)证明点共面问题可转化为证明向量共面问题，如要证明P，A，B，C四点共面，只要能证明PA→＝xPB→＋yPC→，或对空间任一点O，有OA→＝OP→＋xPB→＋yPC→，或OP→＝xOA→＋yOB→＋zOC→(x＋y＋z＝1).【训练2】如图空间两个平行四边形共边AD，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM＝13BD，AN＝13AE.求证：MN∥平面CDE.证明因为M在BD上，且BM＝13BD，所以MB→＝13DB→＝13DA→＋13AB→.同理AN→＝13AD→＋13DE→.所以MN→＝MB→＋BA→＋AN→＝13DA→＋13AB→＋BA→＋13AD→＋13DE→＝23BA→＋13DE→＝23CD→＋13DE→.又CD→与DE→不共线，根据向量共面的充要条件可知MN→，CD→，DE→共面.由于MN⊄平面CDE内，所以MN∥平面CDE.考点三空间向量数量积的应用【例3】如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点.(1)求证：MN⊥AB，MN⊥CD；(2)求异面直线AN与CM所成角的余弦值.(1)证明设AB→＝p，AC→＝q，AD→＝r.由题意可知，|p|＝|q|＝|r|＝a，且p，q，r三向量两两夹角均为60°.MN→＝AN→－AM→＝12(AC→＋AD→)－12AB→＝12(q＋r－p)，∴MN→·AB→＝12(q＋r－p)·p＝12(q·p＋r·p－p2)＝12(a2cos60°＋a2cos60°－a2)＝0.∴MN→⊥AB→，即MN⊥AB.同理可证MN⊥CD.(2)解设向量AN→与MC→的夹角为θ.∵AN→＝12(AC→＋AD→)＝12(q＋r)，MC→＝AC→－AM→＝q－12p，∴AN→·MC→＝12(q＋r)·(q－12p)＝12(q2－12q·p＋r·q－12r·p)＝12(a2－12a2cos60°＋a2cos60°－12a2cos60°)＝12(a2－a24＋a22－a24)＝a22.又∵|AN→|＝|MC→|＝32a，∴AN→·MC→＝|AN→||MC→|cosθ＝32a×32a×cosθ＝a22.∴cosθ＝23.∴向量AN→与MC→的夹角的余弦值为23.因此异面直线AN与CM所成角的余弦值为23.规律方法(1)利用数量积解决问题的两条途径：一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接计算；二是利用坐标运算；(2)利用数量积可解决有关垂直、夹角、长度问题.①a≠0，b≠0，a⊥b⇔a·b＝0；②|a|＝a2；③cos〈a，b〉＝a·b|a||b|.【训练3】如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°.(1)求AC→1的长.(2)求BD→1与AC→夹角的余弦值.解记AB→＝a，AD→＝b，AA→1＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，∴a·b＝b·c＝c·a＝12.(1)|AC1→|2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝1＋1＋1＋2×12＋12＋12＝6，∴|AC1→|＝6.(2)BD1→＝b＋c－a，AC→＝a＋b，∴|BD1→|＝2，|AC→|＝3，BD1→·AC→＝(b＋c－a)·(a＋b)＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1.∴cos〈BD1→，AC→〉＝BD1→·AC→|BD1→||AC→|＝66.即BD1→与AC→夹角的余弦值为66.[思想方法]1.利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向量应用的基础.2.利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面问题；利用数量积运算可以解决一些距离、夹角问题.3.利用向量解立体几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算或证明去解决问题.其中合理选取基底是优化运算的关键.[易错防范]1.在利用MN→＝xAB→＋yAC→①证明MN∥平面ABC时，必须说明M点或N点不在面ABC内(因为①式只表示MN→与AB→，AC→共面).2.求异面直线所成角，一般可转化为两向量夹角，但要注意两种角范围不同，注意两者关系，合理转化.