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第一节空间几何体的结构及其三视图、直观图知识点一空间几何体的结构特征多面体棱柱棱柱的侧棱都且，上下底面是平行且全等的多边形棱锥棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形棱台棱台可由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到，其上、下底面是且的多边形平行相等平行相似旋转体圆柱圆柱可由绕其任意一边所在直线旋转得到圆锥圆锥可以由直角三角形绕其所在直线旋转得到圆台圆台可以由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上、下底中点连线所在直线旋转得到，也可由于圆锥底面的平面截圆锥得到直角边平行矩形►一种计算方法：根据几何体结构特征，利用相似三角形中的相似比进行有关量的计算.(1)用一个平行于圆锥SO底面的平面截圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，圆锥SO的母线长为16cm，则截得圆台母线长为________.答案12cm解析如图易知SA′SA＝O′A′OA，∴SA′16＝14，∴SA′＝4，∴A′A＝SA－SA′＝16－4＝12(cm)即圆台母线长为12cm.知识点二空间几何体的三视图与直观图三视图空间几何体的三视图是用得到的，它包括、、，其画法规则是：，，正投影正视图侧视图俯视图长对正高平齐宽相等直观图空间几何体的直观图常用画法规则来画，基本步骤是：(1)画几何体的底面在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴、y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝，已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度，平行于y轴的线段，长度变为(2)画几何体的高在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面，在直观图中对应的z′轴，也垂直于x′O′y′平面，已知图形中平行于z轴的线段，在直观图中仍平行于z′轴且长度斜二测45°(或135°)保持不变原来的一半不变►三视图的几点注意.(2)[①三视图的排放位置，正视图、侧视图分别放在左、右两边，俯视图放在正视图下边.②注意虚实线的区别.③画三视图的规则：长对正、宽平齐、高相等]一个几何体的三视图如图所示，则该几何体为________.解析由俯视图知有两个不等大的正六边形面，侧视图、正视图中出现了梯形，故是正六棱台.答案正六棱台►斜二测画法几点注意.(3)[①注意原图与直观图中的“三变、三不变”：“三变”坐标轴的夹角改变，与y轴平行线段的长度改变（减半），图形改变.“三不变”平行性不改变，与x轴平行的线段的长度不改变，相对位置不改变.②原图形面积S与其直观图面积S′之间的关系为S′＝24S]在如图所示的直观图中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2cm，则在xOy坐标系中，四边形ABCD为________，面积为________cm2.解析由斜二测画法的特点，知该平面图形的直观图的原图，即在xOy坐标系中，四边形ABCO是一个长为4cm，宽为2cm矩形，所以四边形ABCO的面积为8cm2.答案矩形8由空间几何体的直观图识别三视图方法突破空间几何体的三视图是分别从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图，因此在分析空间几何体的三视图时，先根据俯视图确定几何体的底面，然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，再确定几何体的形状，即可得到结果.【例1】(1)(2016·贵州七校联考)如图所示，四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点(长方体是虚拟图形，起辅助作用)，则四面体ABCD的三视图是(用①②③④⑤⑥代表图形)()A.①②⑥B.①②③C.④⑤⑥D.③④⑤(2)(2013·新课标全国Ⅱ卷)一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是(1，0，1)，(1，1，0)，(0，1，1)，(0，0，0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为()解析(1)正视图应是相邻两边长为3和4的矩形，其对角线左下到右上是实线，左上到右下是虚线，因此正视图是①；侧视图应是相邻两边长为5和4的矩形，其对角线左上到右下是实线，左下到右上是虚线，因此侧视图是②，俯视图应是相邻两边长为3和5的矩形，其对角线左上到右下是实线，左下到右上是虚线，因此俯视图是③，故选B.(2)在空间直角坐标系中，先画出四面体OABC的直观图，如图，设O(0，0，0)，A(1，0，1)，B(1，1，0)，C(0，1，1)，将以O，A，B，C为顶点的四面体被还原成一正方体后，由于OA⊥BC，所以该几何体以zOx平面为投影面的正视图为A.答案(1)B(2)A[点评]首先确定直观图中的关键点，找出各点在投影面的位置，从而画出各视图的形状.由三视图还原直观图求解方略1.还原后的几何体一般为较熟悉的柱、锥、台、球的组合体.2.注意图中实、虚线，实际是原几何体中的可视线与被遮挡线.3.想象原形，并画出草图后进行三视图还原，把握三视图和几何体之间的关系，与所给三视图比较，通过调整准确画出原几何体.4.找出几何体中的平行垂直关系.【例2】(1)(2016·内蒙古赤峰模拟)如图，网格上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为()A.22B.6C.23D.3(2)(2016·五岳联考阶段检测)某几何的三视图如图所示，则下列数据中不是该几何体的棱长的是()A.22B.17C.32D.33解析(1)几何体的直观图如图，其中平面ABD⊥平面BCD，△ABD为等腰直角三角形，AB＝2，BD＝2，△BCD是以BD为底边的等腰三角形，C到BD的中点的距离为2，∴BC＝CD＝12＋22＝5，AC＝22＋（5）2＝3.AD＝22，显然所有棱中，AC最长，长为3，故选D.(2)由三视图可知，该几何体是高为4，底面是斜边为4的等腰直角三角形的三棱锥，计算可得32不是该几何体的棱长，故选C.答案(1)D(2)C[点评]首先对柱、锥、台、球的三视图要熟悉；其次，明确三视图的形成原理，并能结合空间想象将三视图还原为直观图，遵循“长对正、高平齐、宽相等”的原则.三视图识图不准确致误【示例】将正方体(如图(1)所示)截去两个三棱锥，得到如图(2)所示的几何体，则该几何体的侧视图为()解析还原正方体后，将D1，D，A三点分别向正方体右侧面作垂线，D1A的射影为C1B，且为实线，B1C被遮挡应为虚线.故选B.答案B[易错防范]已知三视图中的某两个，求余下一个的三视图的方法：先根据已知的三视图中的某两个，还原、推测直观图的可能形式，找其剩下部分三视图的可能形式.作为选择题，也可将选项依次代入，再看看给出的部分三视图是否符合.