第6章：模糊聚类分析

1第六章模糊聚类分析6.1普通分类(分类是硬性的，非此即彼)一、集合的划分对集合X的一个划分，是指把X分成若干个子集X1,X2,…,Xn，使得满足下列二个条件：①X1∪X2∪…∪Xn=X，且对i≠j，②Xi∩Xj=，(i,j=1,2,…,n)二、普通等价关系设R∈(X×X)，称R是X上一个等价关系，若R满足下列三个条件：①自反性：x∈X，有(x,x)∈R；②对称性：x,y∈X，若(x,y)∈R，有(y,x)∈R；③传递性：x,y∈X，若(x,y)∈R，(y,z)∈R，有(x,z)∈R。例6-1对集合(论域)X={人}，则关系R=“年龄相同”就是X上的一个普通等价关系，因为满足下列三个条件：①自反性：任何人与自己是“年龄相同”的；②对称性：我与你年龄相同，你与我年龄也相同；③传递性：我与你年龄相同，你与他年龄相同，我与他年龄也相同。三、普通分类一个普通等价关系决定一个普通分类。2一、建立X={X1,X2,…,Xn}上的模糊关系矩阵R(叫标定)nnnnnnijrrrrrrrrrrR212212111211)(其中rij[0,1]，表示元素Xi与Xj间的相似程度，i,j=,1,2,…,n，6.2模糊聚类(分类是有弹性的，亦此亦彼)方法(一).评定打分法：请专家或有经验的专业人员组成评定小组进行打分评定获得rij。例：组成一个100人的评比小组，对X={X1,X2,X3}上的3个元素的相似性进行评价。结果是：认为X1与X1“相似”的有100人,占100%,r11=1；认为X1与X2“相似”的有81人,占81%=1,r12=0.81；认为X1与X3“相似”的有53人,占53%,r13=0.53；认为X2与X3“相似”的有24人,占24%,r23=0.24；此时r22=1，r33=1，r21=0.81，r31=0.53，r32=0.24。从而X上的模糊关系矩阵为：124.053.024.0181.053.081.01)(ijrR3方法(二).统计指标法：一个模糊等价关系决定一个模糊分类---叫聚类。分类的集合X={X1,X2,…,Xn}，由n个元素组成，对其中每一个元素，采用不同的m个统计指标：对元素X1，采用统计指标x1=(x11,x12,…,x1m)；对元素X2，采用统计指标x2=(x21,x22,…,x2m)；…………………………………………………对元素Xn，采用统计指标xn=(xn1,xn2,…,xnm)；(xij为第i个元素Xi的笫j项统计指标值)将每个元素各项统计指标标准化：常用极值标准化公式]1,0[,,,'MiniMaxiMiniijijxxxxx=时Miniijxx,,0时Maxiijxx,,1.,ijx仍记为,,1,1,11'1MinMaxMinjjxxxxx,,2,2,22'2MinMaxMinjjxxxxx,,,,'MinnMaxnMinnnjnjxxxxx4经过上步标准化后的Xi与Xj的各统计指标按下列方法中的任一种计算rij。1.欧氏距离法：mkjkikijxxmr12)(112.数量积法：ijr,Mji,11jkmkikxxmji其中M是个适当选择的常数，mkjkikmjixxMaxM1,0}{且3.夹角余弦法：21211)()(mkjkmkikmkjkikijxxxxr54.相关系数法：,)()()]()[(21211mkjjkmkiikmkjjkiikijxxxxxxxxr其中mkjkjxmx11mkikixmx115.指数相似系数法：,11)(4322mksxxijkjkikemr其中sk是个适当的正常数6.最大最小法：mkjkikmkjkikijxxMaxxxMinr11},{},{7.算术平均最小法：mkjkikmkjkikijxxxxMinr11)(21},{8.几何平均最小法：mkjkikmkjkikijxxxxMinr11)(21},{69.绝对值数法：mkjkikxxijer1||10.绝对值倒数法：ijr,1ji,||1jkmkikxxMji其中M是个适当的正常数，使得0≤rij≤111.绝对值减数法：ijr,1ji|,|11jkmkikxxCji其中C是个适当的正常数，使得0≤rij≤1二、进行聚类分模糊等价关系(矩阵)与模糊相似关系(矩阵)二种情况进行。76.3模糊等价关系(矩阵)与聚类分析一、原理因为:模糊矩阵R是模糊等价矩阵对∈[0,1]，R的截矩阵R均是普通等价矩阵。所以:可通过R对X上的元素进行聚类。二、定理若水平1,2满足0≤1≤2≤1，则按2分出的每一类必是按1分出的一类的子类。例6-2设论域X={X1,X2,X3,X4,X5}，经过标定后得模糊关系矩阵为12.09.085.08.02.012.02.02.09.02.0185.08.085.02.085.018.08.02.08.08.01R易证R是X上的模糊等价矩阵，因此可从R出发对X中的元素进行模糊聚类。解：方法(一)：直接分类8②取0.85＜≤0.9，得：1010001000101000001000001R按该水平，r35=r53=1，可将X3,X5归为一类，其余元素各自成一类，共分成四类：X={X1}∪{X2}∪{X3,X5}∪{X4}③取0.8＜≤0.85，得：1011001000101101011000001R按该水平，r23=r32=r25=r52=r35=r53=1，可将X2,X3,X5归为一类，其余元素各自成一类，共分成三类：X={X1}∪{X2,X3,X5}∪{X4}①取0.9＜≤1，得：1000001000001000001000001R按该水平，r35=r53=1，可将X1,X2,X3,X4,X5各自成一类，共分成五类：X={X1}∪{X2}∪{X3}∪{X4}∪{X5}9④取0.2＜≤0.8，得：1011101000101111011110111R按该水平，r12=r21=r13=r31=r15=r51=r23=r32=r25=r52=r35=r53=1，可将X1,X2,X3,X5归为一类，其余元素各自成一类，共分成二类：X={X1,X2,X3,X5}∪{X4}⑤取0≤≤0.2，得：1111111111111111111111111R按该水平，可将X1,X2,X3,X4,X5归为一类，共分成一类：X={X1,X2,X3,X4,X5}模糊聚类过程是一个动态过程，随水平由小到大，集合X的分类越来越细。10方法(二)：编网分类②取0.85＜≤0.9，得：,1010010001001019.0R按该水平，可将X3,X5归为一类，其余元素各自成一类，共分成四类：X={X1}∪{X2}∪{X3,X5}∪{X4}54321*XXXXXX①取0.9＜≤1，得：,1000010001001019.0R按该水平，可将X1,X2,X3,X4,X5各自成一类各自成一类，共分成五类：X={X1}∪{X2}∪{X3}∪{X4}∪{X5}54321XXXXXX11③取0.8＜≤0.85，得：,10110100011010185.0R按该水平，可将X2,X3,X5归为一类，其余元素各自成一类，共分成三类：X={X1}∪{X2,X3,X5}∪{X4}54321***XXXXXX④取0.2＜≤0.8，得：,1011110001111118.0R54321******XXXXXX按该水平，可将X1,X2,X3,X5归为一类，其余元素各自成一类，共分成二类：X={X1,X2,X3,X5}∪{X4}12⑤取0≤≤0.2，得：,1111111111111112.0R54321**********XXXXXX按该水平，可将X1,X2,X3,X4,X5归为一类，共分成一类：X={X1,X2,X3,X4,X5}13例6-3设论域X={销售额,购销费用,零售利润}={X1,X2,X3}，且X1,X2,X3相互影响的模糊矩阵为14.06.04.014.06.04.01R易证R是X上的模糊等价矩阵，因此可从R出发对X中的元素进行模糊聚类。①取0.6＜≤1，得：,100010001R可知X={X1}∪{X2}∪{X3}在该水平上分类时，不十分注重商品销售额、购销费用、零售利润之间的相互影响关系，而是各自独立研究他们。②取0.4＜≤0.6，得：,101010101R可知X={X1,X3}∪{X2}在该水平上分类时，比较注重商品销售额和零售利润之间的相互影响关系，而不大注重他们和购销费用间的关系。③取0≤≤0.4，得：,111111111R可知X={X1,X2,X3}在该水平上分类时，对三者的相互关系之间都比较注重。146.4模糊相似关系(矩阵)与聚类分析一、原理经标定得的模糊关系(矩阵)R不是模糊等价关系(矩阵)，它只具备自反性和对称性，不具备传递性，即R只是模糊相似关系(矩阵)。要利用R对X中的元素进行聚类，须将R改造成模糊等价关系(矩阵)。二、定理设R是模糊相似矩阵，进行如下复合运算：RR2=RRR4=R2R2……R2k=RkRk……若存在正整数k，使得：R2k=Rk，则R2k是模糊等价矩阵，这样:可通过R2k对X上的元素进行聚类。例6-4对以下五种物质进行模糊聚类，设论域X={白色乒乓球X1,面包X2,黄色排球X3,白犁X4,黄橙X5}，用评定打分法标定X上的模糊关系矩阵为：17.06.08.03.07.011.07.05.06.01.012.09.08.07.02.011.03.05.09.01.01R显然R具备自反性和对称性，1517.06.08.03.07.011.07.05.06.01.012.09.08.07.02.011.03.05.09.01.0117.06.08.03.07.011.07.05.06.01.012.09.08.07.02.011.03.05.09.01.012RRR17.05.08.06.07.016.07.05.06.05.013.09.08.07.03.015.06.05.09.01.01R17.06.08.03.07.011.07.05.06.01.012.09.08.07.02.011.03.05.09.01.01因此R不具备传递性，即R只是模糊相似矩阵，不能直接利用R对X中的元素进行聚类，须对R进行改造，改造成模糊等价矩阵，再利用改造后的模糊等价矩阵，对X中的元素进行聚类：17.06.08.06.07.016.07.05.06.06.013.09.08.07.03.015.06.05.09.05.01224RRR217.05.08.06.07.016.07.05.06.05