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李雅普诺夫理论基础第二章Lyapunov理论基础稳定性是控制系统关心的首要问题。稳定性的定性描述：如果一个系统在靠近其期望工作点的某处开始运动，且该系统以后将永远保持在此点附近运动，那么就把该系统描述为稳定的。例如：单摆，飞行器李雅普诺夫的著作《动态稳定性的一般问题》，并于1892年首次发表。1.线性化方法：从非线性系统的线性逼近的稳定性质得出非线性系统在一个平衡点附近的局部稳定性的结论。2.直接法：不限于局部运动，它通过为系统构造一个“类能量”标量函数并检查该标量函数的时变性来确定非线性系统的稳定性质。李雅普诺夫理论基础§2.1稳定性概念几个简化记法：令表示状态空间中由定义的球形区域，表示由定义的球面本身。1、稳定性和不稳定性定义：如果对于任何，存在，使得对于所有的，如果，就有，则称平衡点是稳定的，否则，就称平衡点是不稳定的。或者：对于线性系统，不稳定等于发散；对于非线性系统，不稳定不等于发散。RBRxRSR=xRttrrR≥∀⇒∃∀)(,0)0(,0,0xxRrBttBrR∈≥∀⇒∈∃∀)(,0)0(,0,0xx0R0r0≥tr)0(xRt)(x0=x李雅普诺夫理论基础0)0(x)(rS)(RS123图2-1稳定性概念0)1(2=+−+xxxx&&&2211221)1(xxxxxx−+−==&&转换成状态方程描述例2.1范德堡振荡器的不稳定性对于范德堡方程很容易证明该系统在原点处有一个平衡点。并且是不稳定的。李雅普诺夫理论基础1x2x1=aR从任何一个非零初始状态开始的系统轨线都渐近地趋近一个极限环。这意味着如果选择稳定性定义中的为足够小，使得半径为的圆完全落入极限环的封闭曲线内，那么在靠近原点处开始的系统轨线昀终将越出这个圆,因此原点是不稳定的。RR李雅普诺夫理论基础2、渐近稳定性与指数稳定性在许多工程应用中，仅有稳定性是不够的。定义：如果某个平衡点0是稳定的，而且存在某一，使得，当时，，那么称平衡点是渐近稳定的。平衡点的吸引范围是指：凡是起始于某些点的轨线昀终都收敛于原点，这些点组成的昀大集合所对应的区域。注意：收敛并不意味着稳定。（见图）0rr)0(x∞→t0)(→tx1x2x1=RC李雅普诺夫理论基础定义：如果存在两个严格正数和，使得围绕原点的某个球内，那么称平衡点0是指数稳定的。也就是说，一个指数稳定的系统的状态向量以快于指数函数的速度收敛于原点，通常称正数为指数收敛速度。指数收敛性的定义在任何时候都为状态提供明显的边界。把正常数写成后，不难看到，经过时间后，状态向量的幅值减小到原值的，与线性系统中的时间常数相似。αλrBtettλα−≤∀)0()(,xxλα0λταe=)/1(0λτ+)%(351−≈e李雅普诺夫理论基础例1：系统它的解是：以速度指数收敛于。例2：系统它的解为，是个慢于任何指数函数的函数。3、局部与全部稳定性定义：如果渐近（或指数）稳定对于任何初始状态都能保持，那么就说平衡点是大范围渐近（或指数）稳定的，也称为全局渐近（或指数）稳定的。xxx)sin1(2+−=&}))]((sin1[exp{)0()(02∫+−=tdxxtxττtextx−≤)0()(1)0(,2=−=xxx&1=λ0=x)1/(1tx+=)0(−λλte李雅普诺夫理论基础§2.2线性化和局部稳定性李雅普诺夫线性化方法与非线性系统的局部稳定性有关。Lyapunou线性化方法说明：在实际中使用线性控制方法基本上是合理的。对于自治非线性系统，如果是连续可微的,那么系统的动态特性可以写成：用表示在处关于的雅可比矩阵：原非线性系统在平衡点0处的线性化结果为：)(xfx=&)(xf)(...xfxxfx0xtoh+⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂==&A0=xfx0xxf=⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂=AxxA=&李雅普诺夫理论基础对于一个具有控制输入的自治非线性系统：有：对于闭环系统，同样可以得出上述结论。例2.2考虑系统在处线性化。u),(uxfx=&),(...)0,()0,(uxfuufxxfxu0xu0xtoh+⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂+⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂=====&uxxBA+=&21112221221sin)1(cosxxxxxxxxxx+++=+=&&0=xxx⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1101&线性化结果：李雅普诺夫理论基础定理：（李雅普诺夫线性化方法）1、如果线性化后的系统是严格稳定的（即如果的所有特征值都严格在左半复平面内），那么平衡点是渐近稳定的（对实际的非线性系统）；2、如果线性化后的系统是不稳定的（即如果的所有特征值至少有一个严格在右半复平面内），那么平衡点是不稳定的（对实际的非线性系统）；3、如果线性化后的系统是临界稳定的（即如果的所有特征值都在左半复平面内，但至少有一个在轴上），那么不能从线性近似中得出任何结论（其平衡点对于非线性系统可能是稳定的，渐近稳定的，或者是不稳定的）。AAAωj李雅普诺夫理论基础例：对于一阶系统原点是这个系统的两平衡点之一。这个系统在原点附近的线性化是：应用李雅普诺夫线性化方法，得出该非线性系统的下述稳定性性质：（1）渐近稳定；（2）不稳定；（3）不能从线性化说明系统稳定性性质。在第三种情况下，非线性系统为这时线性化方法不能用来判断它的稳定性。5bxaxx+=&axx=&0a0a0=a5bxx=&李雅普诺夫理论基础例：证明下面单摆的平衡状态是不稳定的。式中为单摆长度，为单摆质量，为铰链的摩擦系数，是重力常数。(系统的平衡点是什么？)在的邻域内设，那么系统在平衡点附近的线性化结果是因此，该线性近似是不稳定的；近而该非线性系统在平衡点也是不稳定的。...)(...)(cossinsintohtoh+−=+−+=θππθππθπθθ−=~0~~~2=−+θθθRgMRb&&&)0,(==θπθ&πθ=0sin2=++θθθMgRbMR&&&RMbg李雅普诺夫理论基础李雅普诺夫线性化定理说明线性控制设计存在一致性问题，人们必须设计控制器使系统保持在它的“线性范围”里。它也说明了线性设计的主要局限性：线性范围到底有多大？稳定范围是什么？李雅普诺夫理论基础§2.3李雅普诺夫直接法李雅普诺夫直接法的基本原理是对于下述基本物理现象的数学上的扩展：如果一个机械（或电气）系统的全部能量是连续消耗的，那么该系统无论是线性的还是非线性的，昀终必定稳定至某个平衡点。非线性质量—阻尼器—弹簧系统，动态方程是整个机械系统的能量是它的动能和势能之和0310=+++xkxkxxbxm&&&&xm4120203102412121)(21)(xkxkxmdxxkxkxmVx++=++=∫&&x李雅普诺夫理论基础建立了能量与稳定性的关系。稳定性与机械能的变化有关李雅普诺夫直接法建立在把上述概念推广到更复杂系统的基础上。一、正定函数和李雅普诺夫函数定义：一个标量连续函数，如果，而且在一个球内那么称函数为局部正定的。)(xV0)(=0V0RB0)(⇒≠x0xV)(xV3310)()()(xbxxbxxxkxkxxmV&&&&&&&&&−=−=++=x李雅普诺夫理论基础局部正定函数的几何意义：对于具有两个状态变量和的正定函数，在三维空间中画出，它典型地对应于一只看起来象向上的杯子的曲面，杯子的昀低点位于原点。同样可以定义：负定、半正定、半负定等一些概念。1x2x)(xV)(xV02x1x123VVV3VV=2VV=1VV=V01x2x2VV=1VV=3VV=321VVV李雅普诺夫理论基础定义：如果一个球域内，函数为正定的且具有连续偏导数，而且如果它沿着系统的任何轨迹线的时间导数是半负定的，即那么称为系统的李雅普诺夫函数。0RB)(xV)(xfx=&)(xV0)()(≤∂∂=∂∂==xfxxxxVVdtdVV&&1x2x)(txV01x2x2VV=1VV=3VV=321VVV)(tx李雅普诺夫理论基础几何解释：表示值的点总是指向杯底，或指向越来越小的值等高线。二、平衡点定理李雅普诺夫直接法的几个定理建立起李雅普诺夫函数与系统稳定性之间的精确关系。1、局部稳定性的李雅普诺夫定理定理（局部稳定性）：如果在球域内，存在一个标量函数，它具有连续的一阶偏导数，使得：（1）为正定（局部地）；（2）为半负定（局部地）。那么平衡点0是稳定的。如果实际上导数在域内局部负定，那么稳定性是渐近的。)(xV&)(xV0RB)(xV)(xV)(xV&)(xV&0RB李雅普诺夫理论基础例：局部稳定性具有粘滞阻尼的单摆由下列方程描述判断系统在原点的局部稳定性。考察下列标量函数：它的时间导数可以得出原点是稳定的平衡点的结论。不能得到关于系统渐近稳定性的结论，因为仅仅半负定。0sin=++θθθ&&&02)cos1()(2≥+−=θθ&xV0sin2≤−=+=θθθθθ&&&&&&V)(xV&李雅普诺夫理论基础例：研究非线性系统在它的以原点为平衡点处附近的稳定性。给正定函数它沿任何系统轨线的导数是这样，在二维球域里（即在由定义的区域里）就是局部负定的。因此，根据上面的定理，原点是渐近稳定的。)2(44)2(222122212221222111−++=−−+=xxxxxxxxxxxx&&222121),(xxxxV+=)(xV&)2)((2),(2221222121−++=xxxxxxV&)(xV&2B22221+xx李雅普诺夫理论基础2、全局稳定性的李雅普诺夫定理为了断定一个系统的全局渐近稳定性，必须将扩展为整个状态空间；还有必须是径向无界的，即（换句话说，当从任何方向趋向无穷远时），。定理（全局稳定性）：假设存在状态的某个具有连续一阶导数的标量函数，使得：（1）是正定的，（2）为负定的，（3）当时，。那么平衡点0是全局渐近稳定的。0RB)(xV∞→x∞→)(xVx)(xV)(xV)(xV&∞→x∞→)(xV李雅普诺夫理论基础径向无界性条件在于保证等值曲线（或高阶系统情况下的等值曲面）对应于封闭曲线。如果该曲线不是封闭的，即使状态保持穿过对应于越来越小的的等值曲线（面），状态轨线仍可能从平衡点漂移。例如，对于正定函数当时，曲线是开曲线。下图说明状态向“能量”越来越低的曲线移动时的发散现象。aVV=)(xaV222121)]1/([xxxV++=1aVaVV=)(x1x2x2VV=1)(VV=x3VV=321VVV李雅普诺夫理论基础例：一阶非线性系统式中，是任何一个与它的标量自变量有相同符号的连续函数，即选李雅普诺夫函数为当时，趋向于无穷，它函数是径向无界。它的导数是是一个全局渐近稳定的平衡点。0)(=+xcx&cx0)(xxc0≠x对于0x)(xc2xV=∞→xV)(22xxcxxV−==&&0=x李雅普诺夫理论基础例：考虑系统状态空间的原点是这个系统的平衡点，设是正定函数沿任何系统轨迹的导数是)()(22212122221121xxxxxxxxxx+−−=+−=&&V2221)(xxV+=xV222212211)(222)(xxxxxxV+−=+=&&&x它是负定的。因此，原点是全局渐近稳定平衡点。李雅普诺夫理论基础3、注释对于同一个系统可以存在许多李雅普诺夫函数。例如，如果是一个李雅普诺夫函数，那么下面的也是李雅普诺夫函数：此处是任意严格正常数，是任何大于1的标量。与的正定，负定和径向无界的特性是一致的。注意：对于一个给定的系统，特别选择的李雅普诺夫函数可能比其它的李雅普诺夫函数产生更精确的结果。对具有粘滞阻尼的单摆，选李雅普诺夫函数)(xV)(1xV)()(1xxαρVV=ρα)(xV)(1xV22)(212)cos1(2)(θθθθ+++−=&&xV李雅普诺夫理论基础它的导数为是局部负定的。虽然修正过的没有明显的物理意义，但它却能够证明单摆的渐近稳定性。注意：李雅普诺夫分析中的定理都是充分性定理。0)sin()(2≤+−=θθθ&&xVV作业：为下面系统找一个平衡点，并确定稳定性，指出稳定性是否为渐近的以及是否为全局的。543)5()2(sin)1(xxxxx−=+−=&&李雅普诺夫理论基础三、不变集定理定理的中心概念是不变集