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12009年MBA联考综合能力考试数学重点知识串讲2008-122第一讲方程与不等式【知识点与典例分析】1.一元一次不等式的解法：通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤化为的形式，若,则；若,则；若,则当时，；当时，。例：如已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为_______（答：）2.一元二次不等式的解集（联系图象）。尤其当和时的解集你会正确表示吗？设,是方程的两实根，且，则其解集如下表：或或RRR例：如解关于的不等式：。（答：当时，；当时，或；当时，；当时，；当时，）33.对于方程有实数解的问题。首先要讨论最高次项系数是否为0，其次若，则一定有。对于多项式方程、不等式、函数的最高次项中含有参数时，你是否注意到同样的情形？例：（1）对一切恒成立，则的取值范围是_______（答：）；（2）关于的方程有解的条件是什么？(答：，其中为的值域)，4.一元二次方程根的分布理论。方程在上有两根、在上有两根、在和上各有一根的充要条件分别是什么？（、、）。根的分布理论成立的前提是开区间，若在闭区间讨论方程有实数解的情况，可先利用在开区间上实根分布的情况，得出结果，再令和检查端点的情况．例：如实系数方程的一根大于0且小于1，另一根大于1且小于2，则的取值范围是_________（答：（，1））5.二次方程、二次不等式、二次函数间的联系你了解了吗？二次方程的两个根即为二次不等式的解集的端点值，也是二次函数的图象与轴的交点的横坐标。比如：例：（1）若关于的不等式的解集为，其中，则关于的不等式的解集为________（答：）；4（2）不等式对恒成立，则实数的取值范围是_______（答：）。6．常用不等式有：（1）(根据目标不等式左右的运算结构选用)；（2）a、b、cR，（当且仅当时，取等号）；（3）若，则（糖水的浓度问题）。7．绝对值不等式的解法：（1）分段讨论法（最后结果应取各段的并集）：例：解不等式（答：）；（2）利用绝对值的定义；（3）数形结合；例：解不等式（答：）（4）两边平方：例：若不等式对恒成立，则实数的取值范围为______。（答：）8．含绝对值不等式的性质：同号或有；异号或有.第二讲数列问题1、数列的概念：数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n｝）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。2.等差数列的有关概念：（1）等差数列的判断方法：定义法或。（2）等差数列的通项：或。5例：(1)等差数列中，，，则通项（答：）；（2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______（答：）（3）等差数列的前和：，。例：数列中，，，前n项和，则＝＿，＝＿（答：，）；（4）等差中项：若成等差数列，则A叫做与的等差中项，且。【提醒】：（1）等差数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：、、、及，其中、称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，…（公差为）；偶数个数成等差，可设为…，,…（公差为2）3.等差数列的性质：（1）当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；前和是关于的二次函数且常数项为0.（2）若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。（3）当时,则有，特别地，当时，则有。例：（1）等差数列中，，则＝____（答：27）；6（2）在等差数列中，，且，是其前项和，则（）A、都小于0，都大于0B、都小于0，都大于0C、都小于0，都大于0D、都小于0，都大于0（答：B）(4)若、是等差数列，则、(、是非零常数)、、，…也成等差数列，而成等比数列；若是等比数列，且，则是等差数列。例：等差数列的前n项和为25，前2n项和为100，则它的前3n和为。（答：225）（5）在等差数列中，当项数为偶数时，；项数为奇数时，，（这里即）；。例：（1）在等差数列中，S11＝22，则＝______（答：2）；（2）项数为奇数的等差数列中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数（答：5；31）（6）若等差数列、的前和分别为、，且，则.例：设{}与{}是两个等差数列，它们的前项和分别为和，若，那么___________（答：）(7)“首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和。法一：由不等式组确定出前多少项为非负（或非正）；法二：因等差数列前项是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数7列的特殊性。上述两种方法是运用了哪种数学思想？（函数思想），由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？例：（1）等差数列中，，，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。（答：前13项和最大，最大值为169）；（2）若是等差数列，首项，，则使前n项和成立的最大正整数n是（答：4006）4.等比数列的有关概念：（1）等比数列的判断方法：定义法，其中或。（2）等比数列的通项：或。（3）等比数列的前和：当时，；当时，。【特别提醒】：等比数列前项和公式有两种形式，为此在求等比数列前项和时，首先要判断公比是否为1，再由的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比是否为1时，要对分和两种情形讨论求解。（4）等比中项：若成等比数列，那么A叫做与的等比中项。【提醒】：（1）等比数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：、、、及，其中、称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2；（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等比，可设为…，…（公比为）；但偶数个数成等比时，不能设为…，…，因公比不一定为正数，只有公比为正时才可如此设，且公比为。例：如有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求此四个数。（答：15，,9，3,1或0,4，8,16）85.等比数列的性质：（1）当时，则有，特别地，当时，则有.例：①在等比数列中，，公比q是整数，则=___（答：512）；②各项均为正数的等比数列中，若，则（答：10）。(2)若是等比数列，则、、成等比数列；若成等比数列，则、成等比数列；若是等比数列，且公比，则数列，…也是等比数列。例：①在等比数列中，为其前n项和，若，则的值为______（答：40）(3)当时，，这里，但，这是等比数列前项和公式的一个特征，据此很容易根据，判断数列是否为等比数列。例：若是等比数列，且，则＝（答：－1）(4)、如果数列既成等差数列又成等比数列，那么数列是非零常数数列，故常数数列仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。例：设数列的前项和为（），关于数列有下列三个命题：①若，则既是等差数列又是等比数列；②若，则是等差数列；③若，则是等比数列。这些命题中，真命题的序号是（答：②③）6.数列的通项的求法：⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。9例：已知数列试写出其一个通项公式：__________（答：）⑵已知（即）求，用作差法：。例：①已知的前项和满足，求（答：）；②数列满足，求（答：）⑶已知求，用作商法：。例：数列中，对所有的都有，则______（答：）⑷若求用累加法：。例：已知数列满足，，则=________（答：）⑸已知求，用累乘法：。例：已知数列中，，前项和，若，求（答：）⑹已知递推关系求，用构造法（构造等差、等比数列）。特别地，（1）形如、（为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为的等比数列后，再求。10例：①已知，求（答：）；②已知，求（答：）；（2）形如的递推数列都可以用倒数法求通项。例：①已知，求（答：）；②已知数列满足=1，，求（答：）【注意】：（1）用求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（，当时，）；（2）一般地当已知条件中含有与的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件转化为只含或的关系式，然后再求解。7.数列求和的常用方法：（1）公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式，特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论.；③常用公式：;;.（2）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和。例：求：（答：）（3）倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前和公式的推导方法）。（4）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前和公式的推导方法）。（5）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：①；11②；③，；④；⑤；⑥.8.“分期付款”模型应用问题(1)这类应用题一般可转化为等差数列或等比数列问题。(2)利率问题：①单利问题：如零存整取储蓄（单利）本利和计算模型：若每期存入本金元，每期利率为，则期后本利和为：（等差数列问题）；②复利问题：按揭贷款的分期等额还款（复利）模型：若贷款（向银行借款）元，采用分期等额还款方式，从借款日算起，一期（如一年）后为第一次还款日，如此下去，分期还清。如果每期利率为（按复利），那么每期等额还款元应满足：（等比数列问题）。第三讲直线和圆1．直线的倾斜角：（1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向转到和直线重合时所转的最小正角记为，那么就叫做直线的倾斜角。当直线与轴重合或平行时，规定倾斜角为0；（2）倾斜角的范围。例：（1）直线的倾斜角的范围是____（答：）；12（2）过点的直线的倾斜角的范围值的范围是______（答：）2．直线的斜率：（1）定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率，即＝tan(≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；（2）斜率公式：经过两点、的直线的斜率为；（3）应用：证明三点共线：。例：(1)两条直线钭率相等是这两条直线平行的____________条件（答：既不充分也不必要）；（2）实数满足()，则的最大值、最小值分别为______（答：）3．直线的方程：（1）点斜式：已知直线过点斜率为，则直线方程为,它不包括垂直于轴的直线。（2）斜截式：已知直线在轴上的截距为和斜率，则直线方程为,它不包括垂直于轴的直线。（3）两点式：已知直线经过、两点，则直线方程为，它不包括垂直于坐标轴的直线。（4）截距式：已知直线在轴和轴上的截距为,则直线方程为，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线。（5）一般式：任何直线均可写成(A,B不同时为0)的形式。【提醒】：(1)直线方程的各种形式都有局限性.（如点斜式不适用于斜率不存在的直线，还有截距式呢？）；(2)直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等直线的斜率为-1或直线过原点；直线两截距互为相反数直线的斜率为1或直线过原点；直线两截距绝对值相等直线的斜率为或直线过原点。例：过点，且纵横截距的绝对值相等的直线共有___条（答：3）134．设直线方程的一些常用技巧：（1）知直线纵截距，常设其方程为；（2）知直线横截距，常设其方程为(它不适用于斜率为0的直线)；（3）知直线过点，当斜率存在时，常设其方程为，当斜率不存在时，则其方程为；（4）与直线平行的直线可表示为；（5）与直线垂直的直线可表示为.提醒：求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，利用待定系数法求解。5．点到直线的距离及两平行直线间的距离：（1）点到直线的距离；（2）两平行线间的距离为。6．直线与直线的位置关系：（1）平行（斜率）且（在轴上截距）；（2）相交；（3）重合且。【提醒】：（1）、、仅是两直线平行、相交、重合的充分不必要条件！为什么？（2）直线与直线垂直。例：（1）设直线和，当＝_______时∥；当＝_______