高考数学总复习之【最值问题】专题

整理文档很辛苦,赏杯茶钱您下走!

免费阅读已结束,点击下载阅读编辑剩下 ...

阅读已结束,您可以下载文档离线阅读编辑

资源描述

专题最值问题【考点聚焦】考点1:向量的概念、向量的加法和减法、向量的坐标运算、平面向量的数量积.考点2:解斜三角形.考点3:线段的定比分点、平移.考点4:向量在平面解析几何、三角、复数中的运用.考点5:向量在物理学中的运用.【自我检测】1、求函数最值的方法:配方法,单调性法,均值不等式法,导数法,判别式法,三角函数有界性,图象法,2、求几类重要函数的最值方法;(1)二次函数:配方法和函数图像相结合;(2)),0()(Raaxaxxf:均值不等式法和单调性加以选择;(3)多元函数:数形结合成或转化为一元函数.3、实际应用问题中的最值问题一般有下列两种模型:直接法,目标函数法(线性规划,曲函数的最值)【重点难点热点】问题1:函数的最值问题函数的最值问题是其他最值问题的基础之一,许多最值问题最后总是转化为函数(特别是二次函数)的最值问题.求函数最值的方法有:配方法、均值不等式法、单调性、导数法、判别式法、有界性、图象法等.例1:(02年全国理1)设a为实数,)(1)(2Rxaxxxf,(1)讨论)(xf的奇偶性;(2)求)(xf的最小值.思路分析:(1)考察)(xf与)(xf是否具有相等或相反的关系;或从特殊情形去估计,再加以验证.(2)二次函数的最值解,一般借助于二次函数的图像,当对称轴与所给区间的相对位置关系不确定,则需分类讨论.(1)解法一:(利用定义)2)(xxf+1ax,2)(xxf.1ax若22),()()(xxfxfxf即为奇函数,则Rxaxax此等式对+.02都不成立,故)(xf不是奇函数;若)(xf为偶函数,则)()(xfxf,即2x+21xax,1ax此等式对Rx恒成立,只能是0a.故0a时,)(xf为偶数;0a时,)(xf既不是奇函数也不是偶函数.解法二:(从特殊考虑),1)0(af又Rx,故)(xf不可能是奇函数.若0a,则)(xf1)(2xxxf,)(xf为偶函数;若0a,则12)(,1)(22aaafaaf,知)()(afaf,故)(xf在0a时,既不是奇函数又不是偶函数.(2)当ax时,43)21(1)(22axaxxxf,由二次函数图象及其性质知:若21a,函数)(xf在],(a上单调递减,从而函数)(xf在],(a上的最小值为1)(2aaf;若21a,函数)(xf在],(a上的最小值为43)21(f,且)()21(aff.当ax时,函数43)21(1)(22axaxxxf.若21a,函数)(xf在),[a上的最小值为af43)21(,且)()21(aff;若21a,函数)(xf在),[a上单调递增,从而函数函数)(xf在),[a上的最小值为1)(2aaf.综上所述,当21a时,函数)(xf的最小值是a43;当2121a时,函数)(xf的最小值为12a;当21a时,函数)(xf的最小值是43a.点评:1.研究函数奇偶性的关键是考察函数的定义域是否关于原点对称以及)(xf与)(xf是否具有相等或相反的关系;或从特殊情形去估计,再加以验证.2.二次函数的最值解,一般借助于二次函数的图像.当对称轴与所给定义域区间的相对位置关系不确定,则需分类讨论.3.本题根据绝对值的定义去绝对值后,变形为分段函数,分段函数的最值,有些同学概念不清,把每段函数的最小值都认为是整个函数的最小值,从而出现了一个函数有几个最小值的错误结论.演变1:(05年上海)已知函数f(x)=kx+b的图象与x、y轴分别相交于点A、B,jiAB22(i、j分别是与x、y轴正半轴同方向的单位向量),函数g(x)=x2-x-6.(1)求k、b的值;(2)当x满足f(x)g(x)时,求函数)(1)(xfxg的最小值.点拨与提示:由f(x)g(x)得x的范围,)(1)(xfxg=252xxx=x+2+21x-5,用不等式的知识求其最小值.演变2:(05年北京卷)已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a.(I)求f(x)的单调递减区间;(II)若f(x)在区间[-2,2]上的最大值为20,求它在该区间上的最小值.点拨与提示:本题用导数的知识求解.问题2:三角函数、数列、解析几何中的最值问题将问题转化为函数问题,利用求函数最值的方法求解.例2:(05年上海)点A、B分别是椭圆1203622yx长轴的左、右端点,点F是椭圆的右焦点,点P在椭圆上,且位于x轴上方,PFPA.(1)求点P的坐标;(2)设M是椭圆长轴AB上的一点,M到直线AP的距离等于||MB,求椭圆上的点到点M的距离d的最小值.思路分析:将d用点M的坐标表示出来,222222549(2)4420()15992dxyxxxx,然后求其最小值.解:(1)由已知可得点A(-6,0),F(0,4)设点P(x,y),则AP={x+6,y},FP={x-4,y},由已知可得22213620(6)(4)0xyxxy,则22x+9x-18=0,解得x=23或x=-6.由于y0,只能x=23,于是y=235.∴点P的坐标是(23,235)(2)直线AP的方程是x-3y+6=0.设点M(m,0),则M到直线AP的距离是26m.于是26m=6m,又-6≤m≤6,解得m=2.椭圆上的点(x,y)到点M的距离d有222222549(2)4420()15992dxyxxxx,由于-6≤m≤6,∴当x=29时,d取得最小值15演变3:(05年辽宁)如图,在直径为1的圆O中,作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形,其中0xy.(Ⅰ)将十字形的面积表示为的函数;(Ⅱ)为何值时,十字形的面积最大?最大面积是多少?点拨与提示:将十字型面积S用变量表示出来,转化为三角函数的极值问题,利用三角函数知识求出S的最大值.问题3:最值的实际应用在数学应用性问题中经常遇到有关用料最省、成本最低、利润最大等问题,可考虑建立目标函数,转化为求函数的最值.例3:(06年江苏卷)请您设计一个帐篷.它下部的形状是高为1m的正六棱柱,上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥(如右图所示).试问当帐篷的顶点O到底面中心1o的距离为多少时,帐篷的体积最大?思路分析:将帐蓬的体积用x表示(即建立目标函数),然后求其最大值.xyxyOOO1解:设OO1为xm,则41x由题设可得正六棱锥底面边长为:22228)1(3xxx,(单位:m)故底面正六边形的面积为:(43622)28xx=)28(2332xx,(单位:2m)帐篷的体积为:)28(233V2xxx)(]1)1(31[x)1216(233xx(单位:3m)求导得)312(23V'2xx)(.令0V')(x,解得2x(不合题意,舍去),2x,当21x时,0V')(x,)(xV为增函数;当42x时,0V')(x,)(xV为减函数.∴当2x时,)(xV最大.答:当OO1为2m时,帐篷的体积最大,最大体积为3163m.点评:本题主要考查利用导数研究函数的最值的基础知识,以及运用数学知识解决实际问题的能力演变4.(05年湖南)对1个单位质量的含污物体进行清洗,清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为:1物体质量(含污物)污物质量)为0.8,要求洗完后的清洁度是0.99.有两种方案可供选择.方案甲:一次清洗;方案乙:分两次清洗.该物体初次清洗后受残留水等因素影响,其质量变为)31(aa.设用x单位质量的水初次清洗后的清洁度是)1(18.0axxx.用y单位质量的水第二次清洗后的清洁度是ayacy,其中)99.08.0(cc是该物体初次清洗后的清洁度.(1)分别求出方案甲以及95.0c时方案乙的用水量,并比较哪一种方法用水量较小.(2)若采用方案乙,当a为某定值时,如何安排初次与第二次清洗的用水量,使总用水量最少?并讨论a取不同数值时对最少总用水量多少的影响.点拨与提示:设初次与第二次清洗的用水量分别为x与y,545(1)cxc,(99100)yac于是545(1)cxyc+(99100)ac1100(1)15(1)acac,利用均值不等式求最值.问题4:恒成立问题不等式恒成立问题常转化为求函数的最值问题.f(x)>m恒成立,即min)(xf>m;f(x)m恒成立,即max)(xfm.例4、已知函数xaxxxf2)(2).,1[,x(1)当21a时,求函数)(xf的最小值;(2)若对任意0)(),,1[xfx恒成立,试求实数a的取值范围.思路分析:f(x)>0恒成立,即min)(xf>0.解:(1)当21a时,211)(',221)(zxxfxxxf.1x,0)(/xf.)(xf在区间),1[上为增函数.)(xf在区间),1[上的最小值为27)1(f.(也可用定义证明221)(xxxf在),1[上是减函数)(2)02)(2xaxxxf在区间),1[上恒成立;022axx在区间),1[上恒成立;axx22在区间),1[上恒成立;函数xxy22在区间),1[上的最小值为33a即3a点评:1.(1)中,,221)(xxxf这类函数,若0x,则优先考虑用均值不等式求最小值,但要注意等号是否成立,即用均值不等式来求最值时,必须注意:一正、二定、三相等,缺一不可.2.求函数的最小值的三种通法:利均值不等式,函数单调性,二次函数的配方法在本题中都得到了体现.演变5:已知函数22xxafx,其中0a4.(Ⅰ)将yfx的图像向右平移两个单位,得到函数ygx,求函数ygx的解析式;(Ⅱ)函数yhx与函数ygx的图像关于直线1y对称,求函数yhx的解析式;(Ⅲ)设1Fxfxhxa,已知Fx的最小值是m,且27m,求实数a的取值范围.点拨与提示:(Ⅲ)的实质就是72)(minxF恒成立,利用均值不等式或转化为二次函数知识求它的最小值.问题五:参数的取值范围问题参数范围的问题,内容涉及代数和几何的多个方面,综合考查学生应用数学知识解决问题的能力.在历年高考中占有较稳定的比重.解决这一类问题,常用的思想方法有:函数思想、数形结合等.例5.设直线l过点P(0,3)且和椭圆xy22941顺次交于A、B两点,求APPB的取值范围.思路分析:APPB=BAxx.要求APPB的取值范围,一是构造所求变量BAxx关于某个参数(自然的想到“直线AB的斜率k”)的函数关系式(或方程),通过求函数的值域来达到目的.二是构造关于所求量的一个不等关系,由判别式非负可以很快确定k的取值范围,于是问题转化为如何将所求量与k联系起来.韦达定理总是充当这种问题的桥梁,但本题无法直接应用韦达定理,原因在于21xxPBAP不是关于21,xx的对称式.问题找到后,解决的方法自然也就有了,即我们可以构造关于21,xx的对称式:1221xxxx.由此出发,可得到下面的两种解法.解法1:当直线l垂直于x轴时,可求得51PBAP;当l与x轴不垂直时,设)(,,2211yxByxA,,直线l的方程为:3kxy,代入椭圆方程,消去y得045544922kxxk解之得.4959627222,1kkkx由椭圆关于y轴对称,且点P在y轴上,所以只需考虑0k的情形.当0k时,4959627221kkkx,4959627222kkkx,所以21xxPBAP=5929592922kkkk=59291812kkk=25929181k

1 / 22
下载文档,编辑使用

©2015-2020 m.777doc.com 三七文档.

备案号:鲁ICP备2024069028号-1 客服联系 QQ:2149211541

×
保存成功