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专题15几何证明选讲专题15几何证明选讲600分基础考点&考法700分综合考点&考法600分基础考点&考法考点79相似三角形与比例线段考点80圆周角定理与圆的切线考点81圆中的比例线段与圆内接四边形返回考点79相似三角形与比例线段考法1相似三角形的判定与应用考法2利用相似解决计算问题返回考点79相似三角形与比例线段1．平行线分线段成比例定理(1)平行线等分线段定理及其推论定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰．(2)平行线分线段成比例定理定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．2．相似三角形的判定(1)预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．(2)判定定理1：两角对应相等，两三角形相似．(3)判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．(4)判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似．考点79相似三角形与比例线段3．直角三角形相似的判定上述所有的任意三角形相似的判定定理皆适用于直角三角形．此外，直角三角形相似的判定定理还有：(1)判定定理1：如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似．(2)判定定理2：如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似．(3)判定定理3：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．4．相似三角形的性质定理(1)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．(2)相似三角形周长的比等于相似比．(3)相似三角形面积的比等于相似比的平方．5．直角三角形的射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上的射影与斜边的比例中项．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，则有CD2＝AD·BD，AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB.考法1相似三角形的判定与应用高考试题中，相似三角形的应用常与圆综合起来进行考查．此类问题一般是先利用圆的相关知识判定出三角形相似，再由三角形相似的性质(一般常用到的性质是相似三角形的对应线段成比例)达到应用的目的．类型1相似三角形的判定1．在圆内证明三角形相似往往用到一些圆的性质来寻找有关边和角的条件，证明相似的方法很多，具体证明的一般步骤为：第一步，先判断欲证明相似的两个三角形有没有公共边或公共角；第二步，通过“同弧或等弧所对的圆周角相等”等定理推论在两个三角形中证明角对应相等，边对应成比例；第三步，再结合其他条件，并根据相似三角形的判定定理及方法进行证明．2．相似三角形的判定定理的选择(1)已知有一个角对应相等时，可选择相似三角形判定定理1与判定定理2；(2)已知有两边对应成比例时，可选择相似三角形判定定理2与判定定理3；(3)判定两个直角三角形相似时，可直接选择直角三角形判定定理．返回考法1相似三角形的判定与应用返回考法1相似三角形的判定与应用类型2证明等积式(比例式)1．通过三角形相似证明等积式(比例式)的一般步骤：第一步，将等积式化成比例式；第二步，找出等积式中所涉及的边所在的两个三角形，若不只在两个三角形中，则通过线段相等转化到两个三角形中；第三步，运用三角形相似的证明方法证明找出的两个三角形相似；第四步，根据三角形相似得出结论．2．若图中存在直角三角形，尤其出现直角三角形斜边上的高时，则可通过射影定理进行转化．此外，要证明等积式(比例式)，可将式中各线段放到一组平行线中进行研究，有时图形中没有平行线应添加辅助线．在证明两个比例式相等时，可以寻找第三个比例式与它们都相等，可通过三角形相似或平行线分线段成比例定理，可用线段替换(等量代换)．返回考法1相似三角形的判定与应用返回考法2利用相似解决计算问题返回在通过相似解决相关计算问题时，容易犯以下两个错误：①写相似三角形时，两个三角形的顶点顺序不对应；②应用射影定理时，记错线段的位置．具体的防范措施：根据三角形相似写比例式时，首先寻找对应角，对应角所对的线段就是对应线段，从而准确写出比例式．考点80圆周角定理与圆的切线考法3圆的切线的性质及判定的应用考法4弦切角定理及推论的应用返回考点80圆周角定理与圆的切线1．圆周角定理(1)圆周角：顶点在圆周上且两边都与圆相交的角．(2)圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．(3)圆周角定理的推论①同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．②半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．2．圆的切线(1)切线的性质及判定①切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．②切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(2)切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．3．弦切角(1)弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角．(2)弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．考法3圆的切线的性质及判定的应用1．证明圆的切线的常用方法(1)若已知直线与圆有公共点(或直线经过圆上某点)，则只需证明圆心与公共点的连线垂直于已知直线即可；(2)若直线与圆没有明确的公共点，则需证明圆心到直线的距离等于圆的半径．2．圆的切线性质的应用如果一条直线满足下列三个条件中的任意两个，就可以推出第三个条件成立：①垂直于切线；②过切点；③过圆心．已知圆的切线时，第一，要考虑过切点和圆心作连线得直角；第二，应考虑弦切角定理；第三，涉及线段成比例或线段的积时，要考虑切割线定理．要强调的是，在证明圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，以便利用直径所对的圆周角是直角这一性质．已知某直线是圆的切线时，切点的位置一般是确定的，辅助线常常是圆心和切点的连线．返回考法3圆的切线的性质及判定的应用返回考法4弦切角定理及推论的应用在解决弦切角定理及推论的应用问题时，应注意以下方面：(1)圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小；(2)涉及圆的切线问题时，要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端画圆周角(或作弦切角)．返回考点81圆中的比例线段与圆内接四边形考法5圆内的计算问题考法6四点共圆的证明与应用返回考点81圆中的比例线段与圆内接四边形2．圆内接四边形(1)圆内接四边形的性质①圆内接四边形的对角互补；②圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．(2)圆内接四边形的判定①如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆；②如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆；③若两点在一条线段同侧且对该线段的张角相等，则这两点与线段的两个端点共圆．特别地，对定线段的张角为直角的点与线段的两个端点共圆．1．圆中的比例线段考法5圆内的计算问题圆的问题的核心是“三个角”(圆周角、圆心角、弦切角)和“三个定理”(割线定理、切割线定理、相交弦定理)．在解决圆的计算问题时，要充分注意“三个角”和“三个定理”的应用．如图所示，PT切圆O于点T，PA交圆O于A，B两点，且与直径CT交于点D，CD＝2，AD＝3，BD＝6，则PB＝________．【解析】由相交弦定理有DB·DA＝DC·DT，即6×3＝2DT，得DT＝9.因为PT切圆O于点T，所以PT2＝PB·PA，且PT2＝PD2－DT2，所以PD2－DT2＝PB·PA，即(PB＋6)2－92＝PB(PB＋3＋6)，解得PB＝15.【答案】15返回考法5圆内的计算问题返回考法6四点共圆的证明与应用证明四点共圆的依据是圆内接四边形的判定定理．证明四点共圆后，再应用圆内接四边形的性质定理得到相应的结论．四点共圆的证明，常用到以下结论：(1)如果一个四边形的一组对角互补，那么它的四个顶点共圆．(2)如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．(3)四边形ABCD的对角线交于点P，若PA·PC＝PB·PD，则它的四个顶点共圆．(4)四边形ABCD的一组对边AB，DC的延长线交于点P，若PB·PA＝PC·PD，则它的四个顶点共圆．(5)如果四点与一定点距离相等，那么这四点共圆．(6)如果两个三角形有公共边，公共边所对的角相等，且在公共边的同侧，那么这两个三角形的四个顶点共圆．(7)相交弦定理的逆定理．(8)割线定理的逆定理．【说明】(1)(2)(3)(4)四个命题的逆命题也成立，该组结论用于处理四边形与圆的关系问题时比较有效．返回考法6四点共圆的证明与应用返回700分综合考点&考法综合问题14圆的综合性问题返回综合问题14圆的综合性问题综合点1圆的综合性问题返回25综合点1圆的综合性问题几何证明部分内容的综合性问题一般是不同图形、不同平面几何性质的巧妙组合．解决该类问题需要扎实的基本功底，即对三角形、圆以及直线与圆的性质的熟练掌握，同时还需要较为严谨的推理论证能力．返回ThankYou！