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专题6导数的简单应用-2-能力目标解读热点考题诠释本部分主要考查导数的概念、求导公式、导数的几何意义,及导数的简单应用,此部分知识在高考中,一般既有选择或填空题,也有解答题,在高考中占有重要位置.(1)导数的几何意义是高考中的一个热点,主要考查导数与切线斜率之间的关系,最常见的问题是求过曲线上某一点的切线的斜率或方程,以平行或垂直直线间的关系为载体求相关参数的取值或范围.-3-能力目标解读热点考题诠释(2)对于导数的简单应用,主要体现在利用导数工具研究函数的单调性、极值、最值等基本问题,此部分要注意求解步骤的规范性(最好列表格,并注意通过典型题目体会其中蕴含的转化与化归、分类讨论和数形结合等数学思想).(3)预测2015年的高考在导数方面还应体现应用知识的基础性,平时训练应掌握通性通法;在定积分方面也是注意一般性训练即可,不需研究过深.-4-能力目标解读热点考题诠释12答案解析解析关闭设点P的坐标是(x0,e-𝑥0),则由题意知,y'|𝑥=𝑥0=-e-𝑥0=-2,得x0=-ln2,又e-𝑥0=eln2=2,故点P的坐标是(-ln2,2).答案解析关闭(-ln2,2)1.(2014江西高考,理13)若曲线y=e-x上点P处的切线平行于直线2x+y+1=0,则点P的坐标是.命题定位:本题主要考查导数的几何意义,重点是应用导数求曲线某点处的切线,及求导公式.-5-能力目标解读热点考题诠释122.(2014课标全国Ⅰ高考,理21)设函数f(x)=aexlnx+𝑏e𝑥-1𝑥,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=e(x-1)+2.(1)求a,b;(2)证明:f(x)1.命题定位:本题主要考查直线方程、直线方程的斜率、对数、导数、方程、单调性及最值等,体现化归与转化的思想和分类讨论的思想方法.对于不等式的证明体现了构造函数,利用导数工具的能力.(1)解:函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=aexlnx+𝑎𝑥ex-𝑏𝑥2ex-1+𝑏𝑥ex-1.由题意可得f(1)=2,f'(1)=e.故a=1,b=2.-6-能力目标解读热点考题诠释12(2)证明:由(1)知,f(x)=exlnx+2𝑥ex-1,从而f(x)1等价于xlnxxe-x-2e.设函数g(x)=xlnx,则g'(x)=1+lnx.所以当x∈0,1e时,g'(x)0;当x∈1e,+∞时,g'(x)0.故g(x)在0,1e单调递减,在1e,+∞单调递增,从而g(x)在(0,+∞)的最小值为g1e=-1e.设函数h(x)=xe-x-2e,则h'(x)=e-x(1-x).所以当x∈(0,1)时,h'(x)0;当x∈(1,+∞)时,h'(x)0.故h(x)在(0,1)单调递增,在(1,+∞)单调递减,从而h(x)在(0,+∞)的最大值为h(1)=-1e.综上,当x0时,g(x)h(x),即f(x)1.-7-能力突破点一能力突破点二能力突破方略能力突破模型能力迁移训练能力突破点三能力突破点一导数几何意义及其应用思考:如何求曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线方程及过点P(x0,y0)的切线方程?提示:(1)求曲线在点P(x0,y0)处的切线方程的步骤:①求出函数y=f(x)在x=x0处的导数f'(x0);②根据直线的点斜式方程,得切线方程为y-f(x0)=f'(x0)·(x-x0).(2)若求过点P(x0,y0)的切线方程,可设切点为(x1,y1),由𝑦1=f(𝑥1),𝑦0-𝑦1=f'(𝑥1)(𝑥0-𝑥1)解出x1,进而确定过点P的切线方程为y-y0=f'(x1)(x-x0),再化为一般式即可.-8-能力突破点一能力突破点二能力突破方略能力突破模型能力迁移训练能力突破点三特别地,如果曲线y=f(x)在点(x0,y0)处的切线垂直于x轴,则此时导数f'(x0)不存在,由切线定义可知,切线方程为x=x0.注意:若曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的导数f'(x0)不存在,就是切线与y轴平行或是y轴;若f'(x0)0,则切线与x轴正方向夹角是锐角;若f'(x0)0,则切线与x轴正方向夹角为钝角;若f'(x0)=0,则切线与x轴平行或是x轴.-9-能力突破点一能力突破点二能力突破方略能力突破模型能力迁移训练能力突破点三【例1】设a∈R,函数f(x)=x3+ax2+(a-3)x的导函数是f'(x),若f'(x)是偶函数,则曲线y=f(x)在原点处的切线方程为()A.y=-3xB.y=-2xC.y=3xD.y=2x分析推理(1)由于三次函数的导函数是二次函数,可根据偶函数的定义列式求a,也可以熟记一个结论,即f(x)=Ax2+Bx+C为偶函数⇔B=0;(2)求切线方程的关键是明确切点的位置,并充分应用过切点处的切线斜率k等于函数在该点处的导数,最后由点斜式方程写出即可.-10-能力突破点一能力突破点二能力突破方略能力突破模型能力迁移训练能力突破点三我的解答:解析:∵f'(x)=3x2+2ax+(a-3),又f'(x)是偶函数,∴a=0,即f'(x)=3x2-3.∴k=f'(0)=-3.∴曲线y=f(x)过原点的切线方程为y=-3x,故选A答案:A点评:解决此类问题要抓住两个关键点:其一,切点是交点;其二,在切点处的导数是切线的斜率.求曲线的切线时要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异.过点P的切线中,点P不一定是切点,点P也不一定在已知曲线上;在点P处的切线,点P是切点.-11-能力突破点一能力突破点二能力突破方略能力突破模型能力迁移训练能力突破点三1.已知曲线y=13x3+43,则曲线过点P(2,4)的切线方程为.答案解析解析关闭设曲线y=13x3+43与过点P(2,4)的切线相切于点A𝑥0,13𝑥03+43,则切线的斜率为k=y'|𝑥=𝑥0=𝑥02,切线方程为y-13𝑥03+43=𝑥02(x-x0),因为点P(2,4)在切线上,所以4-13𝑥03+43=𝑥02(2-x0),解得x0=2或x0=-1.故所求的切线的方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.答案解析关闭4x-y-4=0或x-y+2=0-12-能力突破点一能力突破点二能力突破方略能力突破模型能力迁移训练能力突破点三2.(2014河北邯郸二模)曲线y=log2x在点(1,0)处的切线与坐标轴所围三角形的面积等于.答案解析解析关闭∵y'=1𝑥ln2,∴k=1ln2,∴切线方程为y=1ln2(x-1),∴三角形面积为SΔ=12×1×1ln2=12ln2=12log2e.答案解析关闭12log2e-13-能力突破点一能力突破点二能力突破方略能力突破模型能力迁移训练能力突破点三能力突破点二利用导数研究函数的单调性思考:导数与函数的单调性之间有何对应关系?提示:(1)导数大(小)于0的区间是函数的单调递增(减)区间.(2)函数f(x)在D上单调递增⇔∀x∈D,f'(x)≥0,且f'(x)在区间D的任何子区间内都不恒为零;函数f(x)在D上单调递减⇔∀x∈D,f'(x)≤0,且f'(x)在区间D的任何子区间内都不恒为零.(3)注意f'(x)≥0(或f'(x)≤0)是f(x)在区间(a,b)内单调递增(或递减)的必要不充分条件.-14-能力突破点一能力突破点二能力突破点三能力突破方略能力突破模型能力迁移训练【例2】已知函数f(x)=x3+ax2+x+1,a∈R.(1)讨论函数f(x)的单调区间;(2)设函数f(x)在区间-23,-13上单调递减,求a的取值范围.分析推理(1)按照用导数求函数单调性的步骤求解即可;(2)根据函数单调性与导数的对应关系,结合单调区间与所给区间之间的包含关系求解即可.-15-能力突破点一能力突破点二能力突破点三能力突破方略能力突破模型能力迁移训练我的解答:解:(1)∵f(x)=x3+ax2+x+1,∴f'(x)=3x2+2ax+1.令3x2+2ax+1=0,Δ=4a2-12=4(a2-3),当a2≤3时,Δ≤0,f'(x)≥0,f(x)在R上单调递增;当a23时,求得两根为x=-𝑎±𝑎2-33,即f(x)在-∞,-𝑎-𝑎2-33上递增,在-𝑎-𝑎2-33,-𝑎+𝑎2-33上递减,在-𝑎+𝑎2-33,+∞上递增.-16-能力突破点一能力突破点二能力突破点三能力突破方略能力突破模型能力迁移训练(2)由题知,-𝑎-𝑎2-33≤-23,-𝑎+𝑎2-33≥-13,𝑎23,解得a≥2.点评:讨论函数的单调性其实就是讨论不等式的解集的情况.大多数情况下,这类问题可以归结为一个含有参数的一元二次不等式的解集的讨论,在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时依据根的大小进行分类讨论,在不能通过因式分解求出根的情况时,根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论.讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的,千万不要忽视了定义域的限制.-17-能力突破点一能力突破点二能力突破点三能力突破方略能力突破模型能力迁移训练3.已知函数f(x)=3ax-2x2+lnx,a为常数.(1)当a=1时,求f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)在区间[1,2]上为单调函数,求a的取值范围.解:(1)当a=1时,f(x)=3x-2x2+lnx,函数f(x)的定义域是(0,+∞),f'(x)=3-4x+1𝑥=-4𝑥2+3x+1𝑥=-(4𝑥+1)(𝑥-1)𝑥.由f'(x)0,得0x1;由f'(x)0,得x1.故函数f(x)的单调增区间是(0,1),单调减区间是(1,+∞).-18-能力突破点一能力突破点二能力突破点三能力突破方略能力突破模型能力迁移训练(2)f'(x)=3a-4x+1𝑥.若函数f(x)在区间[1,2]上为单调函数,则f'(x)≥0,或f'(x)≤0在区间[1,2]上恒成立.于是3a-4x+1𝑥≥0,或3a-4x+1𝑥≤0在区间[1,2]上恒成立,即3a≥4x-1𝑥,或3a≤4x-1𝑥在区间[1,2]上恒成立.令h(x)=4x-1𝑥,则h(x)在区间[1,2]上是增函数.因此h(x)max=h(2)=152,h(x)min=h(1)=3.即3a≥152或3a≤3,故a≥52或a≤1.-19-能力突破点一能力突破点二能力突破点三能力突破方略能力突破模型能力迁移训练能力突破点三利用导数研究函数的极值或最值思考:如何求函数f(x)在区间[a,b]上的最值?提示:(1)若函数在区间[a,b]上单调递增或递减,f(a)与f(b)一个为最大值,一个为最小值.(2)若函数在区间[a,b]内有极值,要先求出[a,b]上的极值,与f(a),f(b)比较,从而得出最大值和最小值.(3)函数f(x)在区间(a,b)上有唯一一个极值点,则这个极值点就是最大(或小)值点,此结论在导数的实际应用中经常使用.-20-能力突破点一能力突破点二能力突破点三能力突破方略能力突破模型能力迁移训练【例3】设函数f(x)=13x3+1-𝑎2x2-ax-a(a0).(1)若函数f(x)在区间(-2,0)内恰有两个零点,求a的取值范围;(2)当a=1时,求函数f(x)在区间[t,t+3]上的最大值.分析推理根据题意对函数f(x)求导,获得导函数f'(x)=0的根,确定函数f(x)在区间(-2,0)上的单调性,结合图形确定零点.第二问注意与第一问联系,要得到函数f(x)在含参数的区间[t,t+3]上的最大值,需讨论t的大小.-21-能力突破点一能力突破点二能力突破点三能力突破方略能力突破模型能力迁移训练解:(1)∵f(x)=13x3+1-𝑎2x2-ax-a(a0),∴f'(x)=x2+(1-a)x-a=(x+1)(x-a).令f'(x)=0,解得x1=-1,x2=a0.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x(-∞,-1)-1(-1,a)a(a,+∞)f'(x)+0-0+f(x)↗极大值↘极小值↗故函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-1),(a,+∞);单调递减区间为