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温馨提示:请点击相关栏目。整知识·萃取知识精华整方法·启迪发散思维考向分层突破一考向分层突破二考向分层突破三1．几种常见的函数模型考点•分类整合函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)指数函数模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a0且a≠1，b≠0)对数函数模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a0且a≠1，b≠0)幂函数模型f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0)结束放映返回导航页2.三种函数模型性质比较y＝ax(a1)y＝logax(a1)y＝xn(n0)在(0，＋∞)增函数增函数增函数上的单调性越来越快越来越慢相对平稳增长速度随x值增大，图象与y轴接近平行随x值增大，图象与x轴接近平行随n值变化而不同结束放映返回导航页解函数应用问题的步骤(四步八字)考点•分类整合以上过程用框图表示如下：(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)解模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义．结束放映返回导航页1．(2014•北京卷)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为()A．3.50分钟B．3.75分钟C．4.00分钟D．4.25分钟考向分层突破一：二次函数模型解析：根据图表，把(t，p)的三组数据(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)分别代入函数关系式，联立方程组得消去c化简得所以p＝－0.2t2＋1.5t－2.0＝=所以当t＝＝3.75时，p取得最大值，即最佳加工时间为3.75分钟．答案：B结束放映返回导航页-12．为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为：y＝x2－200x＋80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？解析：设该单位每月获利为S，因为400≤x≤600，所以当x＝400时，S有最大值－40000.故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40000元，才能不亏损．12则S＝100x－y＝100x－（x2－200x＋80000）＝－x2＋300x－80000＝－(x－300)2－35000，121212结束放映返回导航页(1)事理关：通过阅读、理解，明确问题讲的是什么，熟悉实际背景，为解题找出突破口；(2)文理关：将实际问题的文字语言转化为数学符号语言，用数学式子表达数学关系；(3)数理关：在构建数学模型的过程中，对已知数学知识进行检索，从而认定或构建相应的数学模型．把实际问题数学化、建立数学模型一定要过好的三关[归纳升华]结束放映返回导航页考向分层突破二：函数y＝x＋(a0)模型例1近年来，某企业每年消耗电费约24万元，为了节能减排，决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网，安装这种供电设备的工本费(单位：万元)与太阳能电池板的面积(单位：平方米)成正比，比例系数约为0.5.为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式．假设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费C(单位：万元)与安装的这种太阳能电池板的面积x(单位：平方米)之间的函数关系是C(x)＝(x≥0，k为常数)．记y为该企业安装这种太阳能供电设备的费用与该企业15年共将消耗的电费之和．(1)试解释C(0)的实际意义，并建立y关于x的函数关系式．(2)当x为多少平方米时，y取得最小值？最小值是多少万元？k20x+100结束放映返回导航页解析：(1)C(0)的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时的用电费用，即未安装太阳能供电设备时，该企业每年消耗的电费．当且仅当＝0.5(x＋5)，即x＝55时取等号，所以当x为55平方米时，y取得最小值为57.5万元．1800x+5由C(0)＝＝24，得k＝2400，所以y＝，x≥0.k100.5x2400180015+0.5x=+020x+100x+5(2)因为y＝1800+0.5(x+5)-2.5x+5218000.5-2.5=57.5结束放映返回导航页跟踪训练1．某工厂去年某产品的年销售量为100万只，每只产品的销售价为10元，每只产品固定成本为8元．今年，工厂第一次投入100万元(科技成本)，并计划以后每年比上一年多投入100万元(科技成本)，预计销售量从今年开始每年比上一年增加10万只，第n次投入后，每只产品的固定成本为g(n)＝(k0，k为常数，n∈Z，且n≥0)．若产品销售价保持不变，第n次投入后的年利润为f(n)万元．(1)求k的值，并求出f(n)的表达式；(2)若今年是第1年，则第几年年利润最高？最高利润为多少万元？kn+1结束放映返回导航页解析：(1)由g(n)＝，当n＝0时，由题意，可得k＝8，所以f(n)＝(100＋10n)－100n.kn+18(10-)n+1当且仅当，即n＝8时取等号，所以第8年工厂的利润最高，最高利润为520万元．9n+1n+1(2)由f(n)＝(100＋10n)－100n＝1000－80＝1000－80≤1000－80×2＝520.8(10-)n+1n+10()n+19(n+1)n+19结束放映返回导航页[归纳升华]解决此类问题，关键是利用已知条件，建立函数模型，然后化简整理函数解析式，必要时通过配凑得到“y＝x＋”型函数模型．对于y＝x＋(a0，x0)类型的函数最值问题，要特别注意定义域和基本不等式中等号成立的条件，如果在定义域内满足等号成立，可考虑用基本不等式求最值，否则要考虑函数的单调性．axax结束放映返回导航页考向分层突破三：指数函数模型例2一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的.(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？2214解析：(1)设每年降低的百分比为x(0x1)，则a(1－x)10＝a，即(1－x)10＝，解得x＝1－12121101()2(2)设经过m年剩余面积为原来的，则a(1－x)m＝a，即，即，解得m＝5.故到今年为止，该森林已砍伐了5年．m1=1022222m110211()=()22结束放映返回导航页跟踪练习：1．本例的条件不变，试计算：今后最多还能砍伐多少年？故今后最多还能砍伐15年．解析：设从今年开始，以后砍了n年，则n年后剩余面积为a(1－x)n.22结束放映返回导航页1.指数函数模型常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来表示．2．应用指数函数模型时，关键是对模型的判断，先设定模型将有关已知数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型．3．y＝a(1＋x)n通常利用指数运算与对数函数的性质求解．归纳升华结束放映返回导航页