余弦定理知识点总结与复习

余弦定理教师：lihao(1)语言叙述三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．(2)公式表达2a＝2b＝2c=c2＝思路点拨：由题目可获取以下主要信息：①已知三边比例；②求三角形的三内角．解答本题可应用余弦定理求出三个角[题后感悟]此题为“已知三边，求三角形的三个角”类型问题，基本解法是先利用余弦定理的推论求一个角的余弦，再判定此角的取值，求得第一个角，再用正弦定理求出另一个角，最后用三角形内角和定理，求出第三个角(一般地，先求最小角，再求最大角)已知△ABC中，a∶b∶c＝2∶6∶(3＋1)，求△ABC各角的度数．[解题过程]∵a∶b∶c＝2∶6∶(3＋1)，∴令a＝2k，b＝6k，c＝(3＋1)k.由余弦定理，有cosA＝b2＋c2－a22bc＝6＋3＋12－426×3＋1＝22，∴A＝45°.cosB＝a2＋c2－b22ac＝4＋3＋12－62×2×3＋1＝12，∴B＝60°.∴C＝180°－A－B＝180°－45°－60°＝75°.1．在△ABC中，已知a＝26，b＝6＋23，c＝43，求角A，B，C.解析：在△ABC中，由余弦定理得，cosC＝a2＋b2－c22ab＝262－6＋232－4322×26×6＋23＝243＋12423＋1＝22.∴C＝45°，sinC＝22.由正弦定理得：sinA＝asinCc＝26×2243＝12.∵ac，∴AC，∴A＝30°.∴B＝180°－(A＋C)＝180°－(30°＋45°)＝105°.已知：在△ABC中，b＝3，c＝3，B＝30°，解此三角形．[解题过程]方法一：由余弦定理：b2＝a2＋c2－2accosB得(3)2＝a2＋32－2×a×3×cos30°∴a2－33a＋6＝0∴a＝3或a＝23当a＝3时，b＝3，A＝30°，C＝120°.当a＝23时，由正弦定理sinA＝asinBb＝23sin30°3＝1.∴A＝90°，C＝60°.[题后感悟]可比较两种方法，从中体会各自的优点，三角形中已知两边及一角，有两种解法，从而摸索出适合自己思维的解题规律和方法．方法一利用余弦定理列出关于a的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出a边的长，这样可免去判断取舍的麻烦．方法二直接运用正弦定理，先求角再求边．2．若将题中条件改为“b＝3，c＝2，A＝30°”，应如何求解三角形？方法二：由bc，B＝30°，bcsin30°知本题有两解．由正弦定理，得sinC＝csinBb＝33×123＝32∴C＝60°或120°.当C＝60°时，A＝90°由勾股定理a＝b2＋c2＝23.当C＝120°时，A＝30°，△ABC为等腰三角形．∴a＝3.解析：直接运用余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA＝32＋(23)2－2×3×23×cos30°＝3，从而a＝3，∴cosB＝a2＋c2－b22ac＝32＋232－322×3×23＝612＝12，∴B＝60°，∴C＝180°－A－B＝180°－30°－60°＝90°.3．在△ABC中，已知角A，B，C所对的三边长分别为a，b，c，若a＝23，b＝6，A＝45°，求边长c.在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccosBcosC，试判断三角形的形状思路点拨：由题目可获取以下主要信息：①边角之间的关系：b2sin2C＋c2sin2B＝2bccosBcosC；②确定三角形的形状．解答本题先由正弦定理将边转化为角，然后由三角恒等式进行化简，得出结论；也可先由余弦定理及同角三角函数关系转化成边之间的关系，然后由边的关系确定三角形形状．解析：方法一：在△ABC中，根据余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccosA，即c2－23c－6＝0，所以c＝3±3.因为c0，所以c＝3＋3.方法二：在△ABC中，由正弦定理得sinB＝bsinAa＝6×2223＝12，因为ba，所以B＝30°，C＝105°，sinC＝sin105°＝sin(45°＋60°)＝sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝6＋24，则c＝asinCsinA＝23×6＋2422＝3＋3.[规范作答]方法一：由asinA＝bsinB＝csinC＝2R，则条件转化为4R2·sin2C·sin2B＋4R2·sin2C·sin2B＝8R2·sinB·sinC·cosB·cosC，又sinB·sinC≠0，∴sinB·sinC＝cosB·cosC，6分即cos(B＋C)＝0.8分又0°B＋C180°，∴B＋C＝90°，10分[题后感悟]判断三角形的形状应围绕三角形的边角关系进行思考，可用正、余弦定理将已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等方式得出边的相应关系，从而判断三角形的形状，也可利用正、余弦定理将已知条件转化为角与角之间的关系，通过三角变换，得出三角形各内角之间的关系，从而判断三角形形状4．在△ABC中，(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，且sinA＝2sinBcosC，试确定△ABC的形状．∴A＝90°，故△ABC为直角三角形.12分方法二：将已知等式变形为b2(1－cos2C)＋c2(1－cos2B)＝2bccosBcosC，2分即有b2＋c2－b2·(a2＋b2－c22ab)2－c2·(a2＋c2－b22ac)2＝2bc·a2＋c2－b22ac·a2＋b2－c22ab，4分即b2＋c2＝[a2＋b2－c2＋a2＋c2－b2]24a2＝4a44a2＝a2，即b2＋c2＝a2，10分∴△ABC为直角三角形.12分解析：因为(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，所以a2＝b2＋c2－bc，又由余弦定理有a2＝b2＋c2－2bccosA，所以cosA＝12，即A＝60°.又因为sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC，且sinA＝2sinBcosC，所以sinBcosC＝cosBsinC，即sin(B－C)＝0，所以B＝C，又因为A＝60°，所以B＋C＝180°－A＝120°，即B＝C＝60°，故△ABC为等边三角形．1．余弦定理与勾股定理之间的联系(1)对于余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC中，若C＝90°，则c2＝a2＋b2，此即为勾股定理，也就是说勾股定理是余弦定理的特殊情况．(2)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的客观规律，也是解三角形的重要工具．①在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一．②余弦定理也为求三角形的有关量(如面积、外接圆、内切圆等)提供了工具，它可以用来判定三角形的形状，证明三角形中的有关等式，在一定程度上，它比正弦定理的应用更加广泛．[特别提醒]在利用余弦定理求三角形的边长时容易出现增解，原因是余弦定理中涉及的是边长的平方，求得结果常有两解，因此，解题时需特别注意三角形三边长度所应满足的基本条件．2．解三角形问题的类型解三角形的问题可以分为以下四类：(1)已知三角形的两边和其中一边的对角，解三角形．此种情况的基本解法是先由正弦定理求出另一条边所对的角，用三角形的内角和定理求出第三个角，再用正弦定理求出第三边，注意判断解的个数．(2)已知三角形的两角和任一边，解三角形．此种情况的基本解法是若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求第三边.若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边．(3)已知两边和它们的夹角，解三角形．此种情况的基本解法是先用余弦定理求第三边，再用正弦定理或余弦定理求另一角，最后用三角形内角和定理求第三个角．(4)已知三角形的三边，解三角形．此种情况的基本解法是先用余弦定理求出一个角，再用正弦定理或余弦定理求出另一个角，最后用三角形内角和定理，求出第三个角．要解三角形，必须已知三角形的一边的长．若已知条件中一条边的长也不给出，三角形可以是任意的，因此无法求解◎已知钝角三角形的三边a＝k，b＝k＋2，c＝k＋4，求k的取值范围【错解】∵cba且△ABC为钝角三角形，∴C为钝角．由余弦定理得cosC＝a2＋b2－c22ab＝k2－4k－122kk＋20.k2－4k－120，解得－2k6，①又∵k为三角形的边长，∴k0，②故由①②知0k6.【错因】忽略隐含条件k＋(k＋2)k＋4，即k2，而不是k0.1.1.2余弦定理同步练习一、选择题1．在△ABC中，abbca222，则角Ｃ为（）Ａ．030Ｂ．060Ｃ．0013545或Ｄ．0120２．在△ABC中，已知ＡＢ＝364，66cosB，ＡＣ边上的中线ＢＤ＝5，则sinＡ的值为（）Ａ．1770Ｂ．1270Ｃ．1470Ｄ．1410３．在△ABC中，若bcacbcba3))((，并有sinA＝２sinBcosC,那么△ABC是（）Ａ．直角三角形Ｂ．等边三角形Ｃ．等腰三角形Ｄ．等腰直角三角形二、填空题４．△ABC中，ＡＢ＝２，ＢＣ＝５，Ｓ△ABC＝４，则ＡＣ＝_________5.在△ABC中，已知060,1Ab,Ｓ△ABC＝3,则Aasin_________【正解】∵cba且△ABC为钝角三角形，∴C为钝角．由余弦定理得cosC＝a2＋b2－c22ab＝k2－4k－122kk＋20，k2－4k－120，解得－2k6，③又由两边之和大于第三边，得k＋(k＋2)k＋4，∴k2，④由③④可知2k6.三、解答题6．在△ABC中，角A、B、C对边分别为cba,,，证明CBAcbasin)sin(222。7．已知圆内接四边形ＡＢＣＤ的边长ＡＢ＝２，ＢＣ＝６，ＣＤ＝ＤＡ＝４，求四边形ＡＢＣＤ的面积