搜索
2017年1月广东省普通高中学业水平考试真题卷(时间：90分钟满分：100分)一、选择题(本大题共15小题，每小题4分，共60分．每小题中只有一个选项是符合题意的，不选、多选、错选均不得分)1．已知集合M＝{0，2，4}，N＝{1，2，3}，P＝{0，3}，则(M∪N)∩P等于()A．{0，1，2，3，4}B．{0，3}C．{0，4}D．{0}解析：M∪N＝{0，1，2，3，4}，(M∪N)∩P＝{0，3}，故选B.答案：B2．函数y＝lg(x＋1)的定义域是()A．(－∞，＋∞)B．(0，＋∞)C．(－1，＋∞)D．－1，＋∞)解析：对数函数要求真数大于0，所以x＋1＞0，解得x＞－1，故选C.答案：C3．设i为虚数单位，则复数1－ii等于()A．1＋iB．1－iC．－1＋iD．－1－i解析：1－ii＝（1－i）·ii·i＝i－i2i2＝i＋1－1＝－1－i，故选D.答案：D4．已知甲：球的半径为1cm；乙：球的体积为4π3cm3，则甲是乙的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：充分性：若r＝1cm，由V＝43πr3可得体积为43πcm3，同样利用此公式可证必要性也成立．答案：C5．已知直线l过点A(1，2)，且与直线y＝12x＋1垂直，则直线l的方程是()A．y＝2xB．y＝－2x＋4C．y＝12x＋32D．y＝12x＋52解析：因为两直线垂直时，斜率互为倒数的相反数(k1k2＝－1)，所以直线l的斜率k＝－2，由点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可得，y－2＝－2(x－1)，整理得y＝－2x＋4，故选B.答案：B6．顶点在坐标原点，准线为x＝－2的抛物线的标准方程是()A．y2＝8xB．y2＝－8xC．x2＝8yD．x2＝－8y解析：因为准线方程为x＝－2，所以焦点在x轴上，且－p2＝－2，所以p＝4，由y2＝2px得y2＝8x.答案：A7．已知三点A(－3，3),B(0,1)，C(1，0)，则|AB→＋BC→|等于()A．5B．4C.13＋2D.13－2解析：因为AB→＝(3，－2)，BC→＝(1，－1)，所以AB→＋BC→＝(4，－3)，所以|AB→＋BC→|＝42＋（－3）2＝5，故选A.答案：A8．已知角α的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，终边过点P(5，－2)，则下列等式不正确的是()A．sinα＝－23B．sin(α＋π)＝23C．cosα＝53D．tanα＝－52解析：依题意得，r＝x2＋y2＝5＋4＝3，sinα＝yr，cosα＝xr，tanα＝yx，所以sinα＝－23，cosα＝53，tanα＝－25＝－255，所以A，B，C正确，D错误．答案：D9．下列等式恒成立的是()A.13x＝x－23(x≠0)B．(3x)2＝3x2C．log3(x2＋1)＋log32＝log3(x2＋3)D．log313x＝－x解析：13x＝x－13(x≠0)，故A错；(3x)2＝32x，故B错；log3(x2＋1)＋log32＝log32(x2＋1)，故C错．答案：D10．已知数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝2，则{an}的前n项和Sn等于()A．n2＋1B．n2C．2n－1D．2n－1解析：数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，由Sn＝na1＋n（n－1）2d＝n＋n（n－1）2·2＝n2，故选B.答案：B11．已知实数x，y满足x≤3，y≤x，x＋y≥2，则z＝2x＋y的最大值为()A．3B．5C．9D．10解析：如图，画出可行域，当y＝－2x＋z移动到A点时，直线与y轴的截距z取得最大值，因为A(3，3)，所以z＝2x＋y的最大值为9.答案：C12．已知点A(－1，8)和B(5,2)，则以线段AB为直径的圆的标准方程是()A．(x＋2)2＋(y＋5)2＝32B．(x＋2)2＋(y＋5)2＝18C．(x－2)2＋(y－5)2＝32D．(x－2)2＋(y－5)2＝18解析：圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心为C－1＋52，8＋22＝(2，5)，半径r＝12（5＋1）2＋（2－8）2＝32，所以圆的标准方程为(x－2)2＋(y－5)2＝18.答案：D13．下列不等式一定成立的是()A．x＋2x≥2(x≠0)B．x2＋1x2＋1≥1(x∈R)C．x2＋1≤2x(x∈R)D．x2＋5x＋6≥0(x∈R)解析：A选项中，当x＜0时，显然不成立；C选项中，当x＝－1时，显然不成立；D选项中，当x∈(－3，－2)时，x2＋5x＋6＜0，所以不成立；B选项中，x2＋1x2＋1＝(x2＋1)＋1x2＋1－1≥2（x2＋1）·1x2＋1－1＝1(x∈R)，当且仅当x＝0时取“＝”．答案：B14．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且当x∈(－∞，0]时，f(x)＝x2－sinx，则当x∈0，＋∞)时，f(x)＝()A．x2＋sinxB．－x2－sinxC．x2－sinxD．－x2＋sinx解析：设x∈0，＋∞)，则－x∈(－∞，0]，所以f(－x)＝(－x)2－sin(－x)＝x2＋sinx，又f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(x)＝f(－x)＝x2＋sinx，故选A.答案：A15．已知样本x1，x2，x3，x4，x5的平均数为4,方差为3，则x1＋6，x2＋6，x3＋6，x4＋6，x5＋6的平均数和方差分别为()A．4和3B．4和9C．10和3D．10和9解析：由平均数的定义可知x1＋6，x2＋6，x3＋6，x4＋6，x5＋6的平均数＝x－＋6＝10，方差不变．答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上)16．已知x＞0，且53，x，15成等比数列，则x＝____________．解析：因为513，x，15成等比数列，所以x2＝53×15＝25，又x＞0，所以x＝5.答案：517．函数f(x)＝sinxcos(x＋1)＋sin(x＋1)cosx的最小正周期是____________．解析：f(x)＝sinxcos(x＋1)＋sin(x＋1)cosx＝sinx＋(x＋1)]＝sin(2x＋1)，所以最小正周期T＝2π2＝π.答案：π18．从1，2，3，4这四个数字中任意选取两个不同的数字，将它们组成一个两位数，该两位数小于20的概率是____________．解析：从1，2，3，4这四个数字中任意选取两个不同的数字，将它们组成一个两位数一共有如下12个基本事件：12，13，14，21，23，24，31，32，34，41，42，43；其中该两位数小于20的共有12，13，14三个，所以该两位数小于20的概率为312＝14.答案：1419．中心在坐标原点的椭圆，其离心率为12，两个焦点F1和F2在x轴上，P为该椭圆上的任意一点，若|PF1|＋|PF2|＝4，则椭圆的标准方程是________．解析：根据焦点在x轴上可以设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，因为长轴长2a＝|PF1|＋|PF2|＝4，离心率e＝ca＝12，所以a＝2，c＝1，b＝a2－c2＝3，所以椭圆的标准方程为x24＋y23＝1.答案：x24＋y23＝1三、解答题(本大题共2小题，共24分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)20．(12分)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosA＝bcosB.(1)证明：△ABC为等腰三角形；(2)若a＝2，c＝3，求sinC的值．(1)证明：因为acosA＝bcosB，所以acosB＝bcosA，由正弦定理知sinAcosB＝sinBcosA，所以tanA＝tanB，又A，B∈(0，π)，所以A＝B，所以△ABC为等腰三角形．(2)解：由(1)可知A＝B，所以a＝b＝2，根据余弦定理有：c2＝a2＋b2－2abcosC，所以9＝4＋4－8cosC，解得cosC＝－18，因为C∈(0，π)，所以sinC＞0，所以sinC＝1－cos2C＝638.21．(12分)如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥AB，PA⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC＝2，E为PC的中点．(1)证明：AP⊥CD；(2)求三棱锥PABC的体积；(3)证明：AE⊥平面PCD.(1)证明：因为PA⊥AB，PA⊥AD，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，AB∩AD＝A，所以PA⊥平面ABCD，又CD⊂平面ABCD，所以AP⊥CD.(2)解：由(1)可知AP⊥平面ABC，所以VP－ABC＝13S△ABC·AP，又S△ABC＝12AB·BC·sin∠ABC＝12×2×2×sin60°＝3，所以VP－ABC＝13×3×2＝233.(3)证明：因为CD⊥AP，CD⊥AC，AP⊂平面APC，AC⊂平面APC，AP∩AC＝A，所以CD⊥平面APC，又AE⊂平面APC，所以CD⊥AE，由AB＝BC＝2且∠ABC＝60°得△ABC为等边三角形，且AC＝2，又因为AP＝2，且E为PC的中点，所以AE⊥PC，又AE⊥CD，PC⊂平面PCD，CD⊂平面PCD，PC∩CD＝C，所以AE⊥平面PCD.