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第1讲线段、角、相交线与平行线①线段、射线、直线；②角；③相交线与平行线．1．(2010·义乌)如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA＝5，则线段PB的长度为()A．6B．5C．4D．3解析：由线段垂直平分线的性质定理可得PB＝PA＝5.答案：B2．(2008·杭州)如图，已知直线AB∥CD，∠C＝115°，∠A＝25°，则∠E＝()A．70°B．80°C．90°D．100°解析：∵AB∥CD，∴∠EFB＝∠C＝115°，根据“外角定理”得∠E＝∠EFB－∠A＝115°－25°＝90°.答案：C3．(2008·义乌)如图，若AB∥CD，EF与AB，CD分别相交于点E，F，EP与∠EFP的平分线相交于点P，且∠EFP＝60°，EP⊥FP，则∠BEP＝________度．解析：∵AB∥CD，∴∠BEF＋∠EFD＝180°，∴∠BEF＝120°，又∠BEP＝12∠BEF，∴∠BEP＝60°.答案：604．(2009·台州)如图，已知直线AB∥CD，∠1＝50°，则∠2＝________.解析：考查对顶角相等和两直线平行，同位角相等的性质．答案：50°5．(2009·衢州)如图，AB∥CD，∠BAC的平分线和∠ACD的平分线交于点E，则∠AEC的度数是________．解析：∵AB∥CD，∴∠BAC＋∠ACD＝180°.又∠EAC＝12∠BAC，∠ECA＝12∠ACD，∴∠EAC＋∠ECA＝90°，∴∠AEC＝90°.答案：90°6．(2009·嘉兴)如图，AD∥BC，BD平分∠ABC，且∠A＝110°，则∠D＝________.解析：∵AD∥BC，∴∠A＋∠ABC＝180°，又∠A＝110°，∠CBD＝12∠ABC，∴∠CBD＝35°.又∠D＝∠CBD，∴∠D＝35°.答案：35°知识点一线段、射线、直线1．线段的性质(1)所有连接两点的线中，线段最短，即过两点有且只有一条直线．(2)线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等．2．射线、线段又可看作是直线的一部分，即整体与部分的关系；将线段无限延长一方得到射线，两方无限延长可得到直线．3．直线、射线、线段的区别与联系知识点二角1．有公共端点的两条射线组成的图形叫做角；如果一个角的两边成一条直线，那么这个角叫做平角；平角的一半叫直角；大于直角小于平角的角叫做钝角，大于0°小于直角的角叫做锐角．2．1周角＝360度，1平角＝180度，1直角＝90度，1°＝60分，1分＝60秒．3．余角、补角及其性质互为补角：如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫做互为补角.互为余角：如果两个角的和是一个直角，那么这两个角叫做互为余角．性质：同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等．知识点三相交线1．对顶角及其性质对顶角：两条直线相交所得到的四个角中，没有公共边的两个角叫做对顶角．2．垂线及其性质垂线：两条直线相交所构成的四个角中有一个角是直角，则这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线．性质：①经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短简说成：垂线段最短．知识点四平行线1．性质(1)如果两条直线平行，那么同位角相等；(2)如果两条直线平行，那么内错角相等；(3)如果两条直线平行，那么同旁内角互补．2．判定(1)定义：在同一平面内不相交的两条直线，叫平行线；(2)经过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；(3)同位角相等，两直线平行；(4)内错角相等，两直线平行；(5)同旁内角互补，两直线平行．类型一线段、角、相交线的有关应用(1)已知∠1＝30°，则∠1的余角度数是()A．160°B．150°C．70°D．60°(2)如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，∠A＝80°，∠ACB＝60°，那么∠ADC＝()A．70°B．80°C．100°D．110°(3)如图，O为直线AB上一点，∠COB＝26°30′，则∠1＝________度．【点拨】本题主要考查有关概念及性质，知识点掌握要熟练牢固准确．【解答】(1)D因为互余两角的和是90°，所以90°－30°＝60°.(2)A因为CD平分∠ACB，∠ACB＝60°，所以∠ACD＝30°.∠ADC＝180°－80°－30°＝70°.(3)153.5因为互补两角的和是180°，所以∠1＝180°－∠COB＝180°－26°30′＝153.5°.类型二平行线的性质与判定(1)如图，已知∠1＝70°，如果CD∥BE，那么∠B的度数为()A．70°B．100°C．110°D．120°(2)如图，点B是△ADC的边AD的延长线上一点，DE∥AC.若∠C＝50°，∠BDE＝60°，则∠CDB的度数等于()A．70°B．100°C．110°D．120°(3)如图，已知∠1＝∠2＝∠3＝62°，则∠4＝________.第(3)题第(4)题(4)如图，直线l1∥l2，且l1、l2被直线l3所截，∠1＝∠2＝35°，∠P＝90°，则∠3＝________.【点拨】此类题往往把平行线的性质与判定有机地结合起来，在中考中常以选择题的形式出现．【答案】(1)C(2)C(3)118°(4)55°如图，直线l1∥l2，∠1＝55°，∠2＝65°，则∠3为()A．50°B．55°C．60°D．65°【解析】此题做法有多种，关键要清楚是求∠3的度数，需利用“三角形内角和是180°”求．∠3＝180°－∠2的内错角－∠1的对顶角＝180°－65°－55°＝60°.【易错警示】找不准∠1、∠2、∠3之间的关系．1．如图，O是直线l上一点，∠AOB＝100°，则∠1＋∠2＝______.答案：80°2．如图，直线DE交∠ABC的边于点D，若DE∥BC，∠B＝70°，则∠ADE的度数是________．答案：70°3．如图，点O在直线AB上，且OC⊥OD，若∠COA＝36°，则∠DOB的大小为()A．36°B．54°C．64°D．72°答案：B4．如图，已知：点B、F、C、E在一条直线上，FB＝CE，AC＝DF.能否由上面的已知条件证明AB∥ED？如果能，请给出证明；如果不能，请从下列三个条件中选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使AB∥ED成立，并给出证明．供选择的三个条件(请从中选择一个)：①AB＝ED；②BC＝EF；③∠ACB＝∠DFE.解：由题中已知两个条件不能证明AB∥ED.(以下给出两种添加方法，写出其一即可)方法一FB＝CE，AC＝DF，添加①AB＝ED.证明：因为FB＝CE，所以BC＝EF.又AC＝DF，AB＝ED，所以△ABC≌△DEF.所以∠ABC＝∠DEF，所以AB∥ED.方法二FB＝CE，AC＝DF，添加③∠ACB＝∠DFE.证明：因为FB＝CE，所以BC＝EF.又∠ACB＝∠DFE，AC＝DF，所以△ABC≌△DEF.所以∠ABC＝∠DEF，所以AB∥ED.一、选择题1．如图，直线a∥b，直线c分别与a、b相交于点A、B.已知∠1＝35°，则∠2的度数为()A．165°B．155°C．145°D．135°解析：考查对顶角相等；两直线平行，同旁内角互补等性质．答案：C2．如图，直线AB与直线CD相交于点O，E是∠AOD内一点，已知OE⊥AB，∠BOD＝45°，则∠COE的度数是()A．125°B．135°C．145°D．155°解析：考查对顶角相等、垂直的定义．答案：B3．如图，l∥m，∠1＝115°，∠2＝95°，则∠3＝________.()A．120°B．130°C．140°D．150°解析：过∠2的顶点作一直线使其与l、m平行，可证得∠1＋∠2＋∠3＝360°，∴∠3＝150°.答案：D4．如图，直线AB、CD被直线EF所截，则∠3的同旁内角是()A．∠1B．∠2C．∠4D．∠5解析：考查同旁内角的定义，关键理解“同旁→截线同侧”、“内角→被截线之间”．答案：B5．如图，已知AB∥ED，∠ECF＝65°，则∠BAC的度数为()A．115°B．65°C．60°D．25°解析：考查两直线平行，内错角相等．答案：B6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，EF∥AB，∠1＝50°，则∠B的度数为()A．50°B．60°C．30°D．40°解析：考查直角三角形中，两锐角互余；两直线平行，内错角相等等知识．答案：D7．某班50名同学分别站在公路的A、B两点处，A、B两点相距1000米，A处有30人，B处有20人，要让两处的同学走到一起，并且使所有同学走的路程总和最小，那么集合地点应选在()A．A点处B．线段AB的中点处C．线段AB上，距A点10003米处D．线段AB上，距A点400米处解析：选A点处时，路程总和是1000×20＝20000(米)；选线段AB的中点处时，路程总和是500×30＋500×20＝25000(米)；选线段AB上，距A点10003米外时，路程总和是10003×30＋23×1000×20＝700003(米)；选线段AB上，距A点400米处时，路程总和是400×30＋(1000－400)×20＝24000(米)．因为200007000032400025000，故集合地点选在A点处．答案：A8．一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向和原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是()A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30°B．第一次向右拐50°，第二次向左拐130°C．第一次向左拐50°，第二次向右拐130°D．第一次向左拐50°，第二次向左拐130°解析：数形结合，利用同位角相等，两直线平行．答案：A9．如图，已知直线AB、CD相交于点O，OE平分∠COB，若∠EOB＝55°，则∠BOD的度数是()A．35°B．55°C．70°D．110°解析：∠BOD＝180°－2∠EOB＝70°.答案：C10．如图，直线AB、CD相交于点E，DF∥AB.若∠AEC＝100°，则∠D等于()A．70°B．80°C．90°D．100°解析：∠D＝180°－∠DEB＝180°－100°＝80°.答案：B二、填空题11．如图，已知AB∥ED，∠B＝58°，∠C＝35°，则∠D的度数为________．解析：由AB∥ED知，∠B＝∠D＋∠C，∴∠D＝58°－35°＝23°.答案：23°12．如图，AB∥CD，CE平分∠ACD，若∠1＝25°，那么∠2的度数是________．解析：由AB∥CD知，∠2＝∠ACD＝2∠1＝50°.答案：50°13．如图，直线l1∥l2，∠1＝120°，则∠2＝________.解析：由l1∥l2知，∠2＝∠1＝120°.答案：120°14．如图，AB⊥CD于点B，BE是∠ABD的平分线，则∠CBE的度数是________．解析：∠CBE＝∠ABC＋∠ABE＝90°＋12×90°＝135°.答案：135°15．一大门的栏杆如图所示，BA垂直于地面AE于A，CD平行于地面AE，则∠ABC＋∠BCD＝________度．解析：∠ABC＋∠BCD＝360°－∠A＝360°－90°＝270°.答案：270三、解答题16．如图，AB∥CD，AE交CD于点C，DE⊥AE，垂足为E，∠A＝37°，求∠D的度数．解：∵AB∥CD，∠A＝37°，∴∠A＝∠ECD＝37°，又∵DE⊥AE，∴∠D＋∠ECD＝90°，∴∠D＝90°－∠ECD＝90°－37°＝53°.17．如图所示，当∠BED与∠B、∠D满足________时，可以判定AB∥CD.(1)在横线上填上一个条件；(2)试说明你所填条件的理由．解：(1)∠B＋∠BED＋∠D＝360°；(2)过点E作EF∥AB，∴∠B＋∠BEF＝180°.又∵∠B＋∠BED＋∠D＝∠B＋∠BEF＋∠DEF＋∠D＝360°，∴∠DEF＋∠D＝180°，∴EF∥CD，∴AB∥CD.1．如图，直线a∥b，∠1＝105°，∠2＝140°，则∠3的度数是()A．75°B．65°C．55°D．50°解析：∠3＝180°－(360°－∠1－∠2)＝180°－360°＋∠1＋∠2＝180°－36