4.4地基附加应力的计算

土力学与基础工程主讲：郭国梁齐齐哈尔大学建筑与土木工程学院1、序地基中的附加应力是由建筑物荷载在土中引起的应力增量。通过土粒之间的传递，向水平与深度方向扩散，如图所示。可以看出，随着水平距离与深度的增加附加应力逐渐减小。附加应力的存在，会引起地基产生变形，导致沉降。集中应力作用于地面处，图左半部分表示各深度处水平面上各点垂直应力大小，图右半部分为各深度处的垂直应力大小。2、竖向集中力作用下的土中应力计算注意：在实际中是没有集中力的，它只是理论存在的，但它在土的应力计算中是一个基本公式。假定：土体是均匀的、连续的、各向同性的半无限弹性体。目的：计算半无限弹性体表面作用一个竖向集中力Q的情况下，半无限体内任意点M的应力。1885年，布西奈斯克给出了弹性力学的解答(包括应力及位移的表达式)，称为布西奈斯克解。2、竖向集中力作用下的土中应力计算法向应力表达式：3532zQzR22222533312(2)23xQzxRRzzxRzRRRzRRz22222533312(2)23yQzyRRzzyRzRRRzRRz剪应力表达式：yxxy235)()2(32123zRRzRxyRxyzQzyyz253=2QyzR2532zxxzQxzR2、竖向集中力作用下的土中应力计算X、Y、Z轴方向的位移分别为：zRRxRxzEQu2121331122QyzyERRRz2311212QzERR2、竖向集中力作用下的土中应力计算其中，我们最关心的是竖向法应力：z3532zQzR为了方便定位和计算。将带入，得到：22Rrz3532zQzR522231=21Qzrz2=Qz式中，——竖向集中力荷载作用下地基竖向附加应力系数，是(r/z)的函数，可制成表格查用，见表4-1。2、竖向集中力作用下的土中应力计算例在地面上作用一集中荷载Q=200kN，试确定：1、在地基中z=2m的水平面上，水平距离r=0、1、2、3和4m各点的竖向附加应力值，并绘出分布图；z2、竖向集中力作用下的土中应力计算解：z(m)r(m)r/z(kPa)2000.477523.9210.50.273313.7221.00.08444.2231.50.02511.3242.00.00850.42Qzz2、竖向集中力作用下的土中应力计算2、在地基中r=0的竖直线上距地面z=0、1、2、3和4m处各点的值，并绘出分布图；z解：z(m)r(m)r/z(kPa)0000.4775∞1000.477595.53000.477523.94000.477510.65000.47756.02Qzz思考：在z=0，r=0处，竖向附加应力为什么是正无穷而不是200kPa？2、竖向集中力作用下的土中应力计算2、竖向集中力作用下的土中应力计算3、取=20、10、4、2kPa，反算在地基中z=2m的水平面上的r值和在r=0m的竖直线上的z值，并绘出相应于该4个应力值的等值线图。z解：z2、竖向集中力作用下的土中应力计算规律：①集中力作用线上的分布值随深度的增加而急剧减小，但是在集中力作用点处是不适用的，因为当R→0时，应力及位移均趋于无穷大，这时土已发生塑性变形，按弹性理论解得的公式已不适用。②同一水平线上的分布距力的作用线愈远，值愈小，在集中力作用线上，值最大。随着深度的增加，集中力作用线上的值减少，而水平面上应力的分布趋于均匀。③在不通过力作用线的竖线上的分布值随深度增加而变化的情况是：先从零开始增加，到某一深度达到最大值，然后又减小。zzzzzzzzz3、竖向分布荷载作用下的土中应力计算目的：若在半无限土体表面作用一分布荷载P(x,y)如图所示，计算土中某点M(x,y,z)的竖向应力值。z3、竖向分布荷载作用下的土中应力计算过程：取元素面积，则均布荷载可等效为一个集中荷载。按布西奈斯克公式得：dddAddyxpd),(Q5323RQzz5323RdQzdz在基底面积范围内进行积分求得：AAAzZzpzRdQzd5222353))-(y)-(x(dy)d(x,23234、圆形面积上作用均布荷载时竖向应力的计算目的：若在半无限土体表面，圆形面积上作用一均布荷载P0，如图所示，计算土中某点M(x,y,z)的竖向应力值。z过程：取元素面积，则均布荷载可等效为一个集中荷载。在圆面积范围内求积分可得值：rdrddArdrdPdApdQ00z005/222220300)z2r/cos-(r23plrdrdzpdcrAzz4、圆形面积上作用均布荷载时竖向应力的计算式中：为均布的圆形截面任意点下的附加应力系数，它是关于(、)的函数，可制表备查。c0/zr0/lr5、矩形面积上作用均布荷载时竖向应力的计算矩形面积中点O下土中竖向应力计算zzσσNblZcodAPYxzMP0目的：在矩形面积表面作用均布荷载P0，求中点下深度z处M点的竖向应力值。z过程：将坐标原点取在矩形面积的中点处，建立坐标系，如图所示。取元素面积，则均布荷载可等效为一个集中荷载。在矩形面积范围内求积分便可得到M点的竖向应力值：dddA0Qdpddz5、矩形面积上作用均布荷载时竖向应力的计算zσσNblZcodAPYxzMP03532ZzAAzdQdR2202222222002182=arctan21414144mnnmpnmnmnmmnmp30222225--2232()lblbzpddz322253(x,y)dd2((x-)(y-))Azpz为应力系数，它是关于(、)的函数，可制表备查。0/zb/lb5、矩形面积上作用均布荷载时竖向应力的计算5、矩形面积上作用均布荷载时竖向应力的计算矩形面积角点c下土中竖向应力计算zzσσNblZcodAPYxzMP030225/2--222223=2b(-)(-)22lblbzpddlz22022222220122=arctan111cmnnmpnmnmmnnmmpzzAd为应力系数，它是关于(、)的函数，可制表备查。c/zb/lb5、矩形面积上作用均布荷载时竖向应力的计算5、矩形面积上作用均布荷载时竖向应力的计算矩形面积任意点土中竖向应力计算——角点法z思路：把图形分成若干个小矩形，使计算点成为各个小矩形的角点，然后利用叠加方法，将各个矩形内荷载在该点引起的应力叠加。注意：计算附加应力时，l总是代表长边，b总是代表短边。如图4.18所示，在矩形面积abcd上作用均布荷载P，要求计算土中任意点的竖向应力。Mz5、矩形面积上作用均布荷载时竖向应力的计算例有一矩形面积基础b=1m，l=2m，其上作用均布荷载p0=100kN/m2，计算矩形面积上角点A、边点E、中点O及荷载面积边缘以外F、G点下深度z=1m处的附加应力大小。解：1、A点下的应力值zA111zmb221lnb查表得应力系数=0.1999c00.1999100=19.99zAcpkPa5、矩形面积上作用均布荷载时竖向应力的计算2、边点E下的应力值zE111zmb111lnb查表得应力系数=0.1752c0220.1752100=35zEcpkPa2zEEADIEBCIEADI3、中点O下的应力值zO4zOEAJOOJDIOICKOEBKOJDI120.5zmb120.5lnb查表得应力系数=0.1202c0440.1202100=48.08zEcpkPa5、矩形面积上作用均布荷载时竖向应力的计算4、边点F下的应力值zE120.5zmb2.550.5lnb求矩形FJDH的应力系数：=0.1363c2()zFFJDHFGAJFKCHFGBKFJDHFGBK查表得应力系数求矩形FJDH的应力系数：120.5zmb0.510.5lnb=0.084c查表得应力系数2()=2(0.13630.084)10010.46zFFJDHFGBKkPa5、矩形面积上作用均布荷载时竖向应力的计算5、边点G下的应力值zG111zmb2.52.51lnb求矩形GADH的应力系数：=0.2016cGzGADHGBCH查表得应力系数求矩形GBCH的应力系数：120.5zmb120.5lnb=0.1202c查表得应力系数G(0.2016-0.1202)100=8.1zGADHGBCHkPa6、矩形面积上作用三角形分布荷载时竖向应力的计算目的：在矩形面积上作用三角形分布布荷载，求荷载为零的角点下某深度处M点的竖向应力值。zxppb过程：将坐标原点取在荷载为零的角点上，z轴通过M点。xdQdxdybAddxdy取元素面积，则均布荷载可等效为一个集中荷载。在矩形面积范围内求积分得到M点的竖向应力值：z6、矩形面积上作用三角形分布荷载时竖向应力的计算322250032(x)lbzzAxdxdyzpbdyz212222212(1)1tmnpmpmnmnm1t——应力系数，是和的函数，可制成表备查。/zb/lb同理，可以求得荷载最大值边的角点下深度z处N点的竖向应力的公式为：z2ztp2t——应力系数，是和的函数，可制成表备查。/zb/lb6、矩形面积上作用三角形分布荷载时竖向应力的计算7、平面问题若在半无限弹性体表面作用无限长条形的分布荷载，荷载在宽度的方向分布是任意的，但在长度方向的分布规律则是相同的，如图所示。在计算土中任一点M的应力时，只与该点的平面坐标M(x,z)有关，而与荷载长度方向Y轴坐标无关，这种情况属于平面应变问题。bl/工程上一般常把路堤、堤坝、挡土墙以及长宽比≥10的条形基础等，均视作平面应变问题计算。7、平面问题(1)均布线荷载作用时土中应力计算目的：在地基土表面作用无限分布的均布线荷载P，计算土中任意点M的应力。过程：利用布西奈斯克公式求积分可得。335/22222223d22zzyzppxyzxz22222zxzpxx22222zxpxzxz7、平面问题上式在弹性理论中称为弗拉曼(Flalnant)解。若用极坐标表示时，将代入即得：0cos,zR0sinxR302coszpRsin2sin0Rpx0cossinxzpR7、平面问题(2)均布条形荷载作用时土中应力计算目的1：在地基土表面作用条形均布线荷载P，其分布宽度为b，计算土中任意点M(x,z)的竖向应力。过程：将费拉曼公式在荷载分布宽度b范围内积分求得：322222dbbzzpxz22''2'22244411212=arctanarctan2244116umnmpnnpmmnmm7、平面问题—应力系数，它是及的函数，可制表备查。u'/nxb/mzb注意：坐标轴的原点是在均布荷载的中点处。7、平面问题(2)均布条形荷载作用时土中应力计算目的2：地基土表面作用条形均布线荷载