二阶变系数齐次常微分方程的

新疆师范大学2011届本科毕业生毕业论文（设计）2011届本科毕业论文二阶变系数齐次常微分方程的解法及其应用所在学院：数学科学学院专业班级：数学07-(4)实验班学生姓名：曼则热古丽．图尔荪指导教师：吐尔洪.艾尔米丁答辩日期：2011年5月11日新疆师范大学教务处新疆师范大学2011届本科毕业生毕业论文1目录引言...................................................................................................................................................11二阶变系数齐次常微分方程的通解及其应用.......................................................................12二阶变系数齐次方程的两个解法及其应用...............................................................................42.1利用常数变易法解二阶变系数齐次线性微分方程.........................................................52.2未知函数代换.....................................................................................................................63二阶变系数线性微分方程的一般求解法及其应用....................................................................83.1二阶变系数线性微分方程的一般求解法.........................................................................83.2应用...................................................................................................................................104总结.............................................................................................................................................11参考文献.........................................................................................................................................12致谢.................................................................................................................................................13新疆师范大学2011届本科毕业生毕业论文2二阶变系数齐次常微分方程的解法及其应用摘要:本文研究了二阶变系数线性常微分方程的几种求解方法。首先给出了微分方程的一些基本概念，讲述了变系数线性常微分方程的解法。随后详细给出了一个求二阶变系数齐次线性常微分方程的一般求解法的实例，该实例来学习掌握二阶变系数齐次常微分方程的解法。关键词:二阶变系数齐次线性微分方程；二阶变系数非齐次线性微分方程；通解；常数变易法；新疆师范大学2011届本科毕业生毕业论文1二阶变系数齐次常微分方程的解法及其应用引言二阶变系数齐次常微分方程在微分方程理论中占有重要位置。在许多实际问题中，常常将某些问题化成为二阶变系数线性微分方程，因此有必要研究这类方程的解法及其特性。本文利用常数变易法和构造法来在求二阶变系数线性微分方程的通解的一般方法上进行讨论，诣在解决二阶变系数线性微分方程求解的问题，并提出二阶变系数线性常微分方程的求解基本方法和步骤，以便适应在工程技术的实际领域或学生在学习相关专业中的需要，为以后的方程求解工作奠定了基础。1二阶变系数齐次常微分方程的通解及其应用二阶线性齐次微分方程在微分方程理论中占有重要位置。关于它的通解结构，有十分完美的结论，但求解变系数微分方程却无一般方法。下面我们讨论二阶变系数齐次线性微分方程()()()0fxypxyqxy（1）本文将探讨方程（1）当2()()()0fxrpxrqx（其中r为常数）的通解求法及通解公式。为求二阶变系数齐次线性微分方程（1）通解，我们先求二阶常系数齐次线性微分方程0cyybya（2）（其中a,b,c为常数，a≠0）的通解。由二阶齐次线性微分方程通解结构定理可知，欲求（2）的通解，关键是求方程（2）的两个线性无关的特解。根据求导经验，指数函数rxey（r为常数）的各阶导数是同类型的函数，仅相差一个常数因子。由此我们用rxey来尝试，看能否选取适当的常数r,使rxey满足方程（2）。对rxey求导可得：新疆师范大学2011届本科毕业生毕业论文2rxrey，rxery20)(2rxecbrar而0rxe，故有02cbrar（3）若r是方程(3)的一个解，则rxey必是方程(2)的一个解.因此我们很容易得到方程(2)的通解。方程(1)与方程(2)结构类似，不同的是方程(1)是变系数，方程(2)是常系数，而常系数是变系数的特例.按照类比的方法，我们猜想方程(1)具有特解rxey，看r应该满足何种条件.将rxey，rxrey，rxery2代入方程（1），得：因0rxe,所以必有2()()()0fxrpxrqx(4)需注意的是，上式对方程有意义的一切x恒成立，这意味着此时对变系数)()(),(xqxpxf和，有较大的限制.对已知的)()(),(xqxpxf和，如果存在常数r恒有(4)式成立，则方程(1)必有特解rxey1.下一步是找方程(1)的与1y线性无关的是另一特解2y，这自然使我们想到常数变易法.设rxexuy)(2是方程（1）的特解，且)(xu常数则rxexruxuy)()(2，22()2()()rxyuxruxruxe，将222,yyy和代入方程（1），整理可得：2()()2()()()()()()()0fxuxrfxpxuxfxrpxrqxux而0)()()(2xqrxprxf，所以0)()()(2rxexqrxprxf新疆师范大学2011届本科毕业生毕业论文3()()2()()()0fxuxrfxpxux（5）方程（5）不含)(xu项，是可降阶的二阶线性齐次微分方程。令)(),()(xuxvxuxv）（则，于是（5）式可化为：dxxfxprxdvxv)()(2)()(1，解之得：dxxfxprxexv)()(2)(（注：约定积分()()pxfx不含积分常数C）,则dxeduedxdudxxfxprxdxxfxprx)()(2)()(2dxexudxxfxprx)()(2)(.dxeeydxxfxprxrx)()(22由于0,)()()(2)()(212dxedxexuyydxxfxprxdxxfxprx而，则其不定积分不为常数，即常数)(12xuyy，故方程（1）的两个特解21yy与线性无关，从而方程（1）此时的通解为2211ycycy（其中21,cc为任意常数）。综上所述，我们可得如下结论：命题：二阶变系数齐次线性微分方程0)()()(xqyxpyxf满足条件0)()()(2xqrxprxf（其中r为常数），则该方程的通解的积分公式为：rxdxxfxprxedxeccy)()(221（6）解题时，我们既可按照上述方法进行常数变易，求其通解，也可按公式（6）求出通解。例1解方程：04)1(2yyxyx新疆师范大学2011届本科毕业生毕业论文4解：这里4)(),1(2)(,)(xqxxpxxf假设0)()()(2xqrxprxf，即0)2)(2(,04)1(22rxrrxxr因为r为常数，所以2r,由此得方程的一个特解xey21，再设))(()(22常数xuexuyx为所求方程的另一特解，则xexuxuy22)(2)(，xexuxuxuy22)(4)(4)(，将222,,yyy代入所给方程，化简得：xxuxu22)()(，解之得：xexxxu22)21(21)(，由于方程为齐次线性方程，故去掉系数21后仍是其特解，且与1y线性无关，于是方程的通解为：)21(2221xxcecyx2二阶变系数齐次方程的两个解法及其应用设二阶变系数的齐次及非齐次方程分别是0)()(yxqyxpy(A)和)()()(xfyxqyxpy(B))21(21)()(222xxexuxyx新疆师范大学2011届本科毕业生毕业论文5这里总是假设)()(),(xfxqxp和在某一区间上连续。求解方程（A）或（B）有如下两个方法。2.1利用常数变易法解二阶变系数齐次线性微分方程我们知道，对于二阶常系数齐次线性微分方程可通过特征方程法求线性无关的特解,然后根据微分方程解的性质得其通解,那么二阶变系数齐次线性微分方程怎么求解?二阶变系数齐次线性微分方程由于系数变化,特征方程法失效,现有的讨论和阐述很少,为此我们讨论二阶变系数齐次线性微分方程:0)()(yxqyxpy(A)若1y为方程(A)的一个特解,则1cy(C为任意常数)也是方程(A)的解,变易常数,设方程(A)的与1y线性无关的解为12)(yxcy,其中)(xc为待定函数,则代入方程(A)得:因1y为方程(A)的一个特解,化简得:这是一个可降阶的微分方程,令cu得：02111upyyyu变量分离得02111ypyyuu积分得pdxeyu21所以dxeyxcpdx21dxeyyydxxp2112例2已知21xey是二阶变系数齐次线性微分方程02442yxyxy的一个特解,求另一线性无关的特解,并写出其通解.解:利用变系数微分方程(A)的特解,得另一线性无关的特解为:222422xxdxxxxedxeeey02111cpyyyc0)()2(11111qyypyccpyyyc新疆师范大学2011届本科毕业生毕业论文6所以原方程的通解为：y=(1c+xc2)e2x其中1c，2c为任意常数。例3求解xyyyxyx1,0)1(已知它的一特解.解：xy1，利用常数变易法，则所求通解为dxexxydxxx122121211cdxexcxydxxxxceccdxexdxexexcxcdxeexcxcdxexcxxxxxxxxx21222212)1ln(212)1ln(2111111一般的若已知二阶齐次线性微分方程的