二阶等差数列及其通项公式

山东省2006年中小学教育科研优秀成果评选活动参评论文青编：李清振通讯地址：青岛市河清路40号邮编：266042电话：89893717二阶等差数列及其通项公式李清振青岛城市管理职业学校一、引子：在《数列》知识的学习中有一种求数列通项公式类型的题目。如，试求出下列数列的通项公式：⑴21、32、43、54、65，…⑵-1、21、31、41、51，…⑶211、321、431、541，…上述数列，都易于通过观察、分析，而总结推断出其通项公式，分别为1nnan，nnna1)1(，)1(1nnan.再如等差数列、等比数列，教材中已分别介绍过其通项公式。但有数列，如：⑷1，2，4，7，11，16，22，…⑸1，3，6，10，15，21，28，…⑹1，3，7，13，21，31，43，…通过观察分析，也能发现上面三个数列有其内在规律与特点，但若想轻易写出通项公式却有难处。山东省2006年中小学教育科研优秀成果评选活动参评论文青编：李清振通讯地址：青岛市河清路40号邮编：266042电话：89893717本文旨在由等差数列推导出如⑷、⑸、⑹这样的一类数列的通项公式，并给出一个相关定义。二、预备知识：1、等差数列的定义：如果一个数列a1，a2，a3，…，an，…，从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数d，即a2-a1=a3-a2=…=an-an-1=d，则称此数列为等差数列，常数d叫等差数列的公差。2、等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d，公差：d=a2-a1.三、二阶等差数列的定义及其通项公式：a)定义：如果一个数列a1，a2，a3，…，an，…，（★）从第二项起，每一项与它的前一项的差按照前后次序排成新的数列，即a2-a1，a3-a2，a4-a3，…，an-an-1，…成为一个等差数列，则称数列（★）为二阶等差数列。相应地，d=（a3-a2）-（a2-a1）=a3+a1-2a2称为二阶等差数列的二阶公差。显然，依此定义可以判断，⑷、⑸、⑹均是二阶等差数列。其二阶公差分别为1、1、2.说明：⑴、为区别于二阶等差数列，可把通常定义的等差数列称为一阶等差数列.山东省2006年中小学教育科研优秀成果评选活动参评论文青编：李清振通讯地址：青岛市河清路40号邮编：266042电话：89893717⑵、二阶与一阶等差数列的相互关系：二阶等差数列不一定是一阶等差数列，但一阶等差数列肯定是二阶等差数列。b)二阶等差数列的通项公式：设数列a1，a2，a3，…，an，…是一个二阶等差数列，为了书写的方便，我们记数列a2-a1，a3-a2，a4-a3，…，an-an-1，…为b1,b2,b3,…，bn-1,…，(☆)即记bn=an+1-an，(n≥1，n∈Z)则数列(☆)是一个一阶等差数列。显然，对于数列(☆)，d=b2-b1=a1+a3-2a2，根据等差数列的通项公式,则有bn=an+1-an=b1+(n-1)d，（n≥1,n∈Z）由此得，an+1=an+b1+(n-1)d依此规律，则有a2=a1+b1，a3=a2+b1+d，a4=a3+b1+2d，…………………an=an-1+b1+(n-2)d，由上面各式左右分别相加，可得山东省2006年中小学教育科研优秀成果评选活动参评论文青编：李清振通讯地址：青岛市河清路40号邮编：266042电话：89893717an=a1+（n-1）b1+dnn2)2)(1(，（●）此即为二阶等差数列的通项公式，其中，b1=a2-a1,［注：bn=an+1-an，(n≥1，n∈Z)］c)例证：对于数列⑷，知a1=1，b1=1，d=1，则由公式（●）可得，an=1+（n-1）×1+2)2)(1(nn=122nn，代入验证，正确。同理可求知⑸、⑹的通项公式：⑸、an=22nn⑹、an=n2-n+1由此通项公式，则可求出二阶等差数列后面未给出的任何一项。读者可方便地求出下面的二阶等差数列的通项公式：⑺、2、2、5、11、20、32、47，…⑻、2、3、8、17、30、47、68，…