二阶系统

3－4二阶系统用二阶微分方程描述的系统，称二阶系统。它在控制系统中应用极为广泛。例如，RLC网络、忽略电枢电感后的电动机、弹簧－质量－阻尼器系统、扭转弹簧系统等等。此外，许多高阶系统，在一定条件下，往往可以简化成二阶系统。因此，详细研究和分析二阶系统的特性，具有重要的实际意义。以图1-7、图2-21所示随动系统为例进行研究。这里把图2-21进一步简化成图3-9(a)。图中iKKKKm21，系统闭环传递函数为KssTKsRsCm2)()(（3-9）为了使研究的结论具有普遍性，将上式写成典型形式或标准形式121)()(22TssTsRsC或2222)()(nnnsssRsC（3-10）图3-9(b)为二阶系统的一般结构图形式。式中KTTmn1；KT12；mKT21可见，二阶系统的响应特性完全可以由阻尼比和自然频率n(或时间常数T)两个参数确定。一般形式的闭环特征方程为0222nnss方程的特征根(系统闭环极点)为122,1nns当阻尼比较小，即10时，方程有一对实部为负的共轭复根22,11nnjs系统时间响应具有振荡特性，称为欠阻尼状态。当1时，系统有一对相等的负实根ns2,1系统时间响应开始失去振荡特性，或者说，处于振荡与不振荡的临界状态，故称为临界阻尼状态。当阻尼比较大，即1时，系统有两个不相等的负实根122,1nns这时系统时间响应具有单调特性，称为过阻尼状态。当0时，系统有一对纯虚根，即njs2,1，称为无阻尼状态。系统时间响应为等幅振荡，其幅值取决于初始条件，而频率则取决于系统本身的参数。上述各种情况对应的闭环极点分布及对应的脉冲响应，如图3-10所示。下面分别研究欠阻尼和过阻尼两种情况的响应及其性能指标。一、二阶系统的阶跃响应1、欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应二阶系统中，欠阻尼二阶系统最为常见。由于这种系统具有一对实部为负的共轭复根，时间响应呈现衰减振荡特性，故又称振荡环节。当阻尼比10时，二阶系统的闭环特征方程有一对共轭复根，即dnnnjjs22,11式中21nd，称为有阻尼振荡角频率，且nd。当输入信号为单位阶跃函数时，输出的拉氏变换式由式(3-10)可得ssssCnnn12)(2222222)()(1dnndnnssss对上式进行拉氏反变换，得欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应，并用)(th表示，即0sin1cos1)(2tttethddtn)sin(112tedtn（3-11）式中由图3-11所示。21arctan或arccos由式(3-11)可见，系统的响应由稳态分量与瞬态分量两部分组成，稳态分量值等于1，瞬态分量是一个随着时间t的增长而衰减的振荡过程。振荡角频率为d，其值取决于阻尼比及无阻尼自然频率n。我们采用无因次时间tn作为横坐标，这样，时间响应仅仅为阻尼比的函数，如图3-12所示。由图可见，阻尼比越大，超调量越小，响应的振荡越弱，系统平稳性越好。反之，阻尼比越小，振荡越强烈，平稳性越差。当707.0时，系统阶跃响应)(th不出现峰值(0%)，单调地趋于稳态值。当707.0时，)(04.1)(hthp，调节时间最小，%4%，若按5%的误差带考虑，可认为0%。当707.0时，%随减小而增大。过渡过程峰值和调节时间也随减小而增大。当0时(即90，表示系统具有一对纯虚根)，方程式(3-11)就成为0cos1)(ttthn（3-12）显然，这时响应具有频率为n的等幅振荡，即无阻尼振荡。此外，当过大时，系统响应滞缓，调节时间st很长，系统快速性差；反之，过小，虽然响应的起始速度较快，但因为振荡强烈，衰减缓慢，所以调节时间st亦长，快速性也差。由图3-12可见，对于5%的误差带，当707.0时，调节时间最短，即快速性最好，这时超调量%5%，故平稳性也是很好的，所以把707.0称为最佳阻尼比。关于稳态精度：由于随时间t的增长，瞬态分量趋于零，而稳态分量恰好与输入量相等，因此稳态时系统是无差的。欠阻尼二阶系统性能指标的计算如下：延迟时间dt①：根据定义，令式(3-11)等于0.5，即)(th=0.5，整理后可得221)arccos1sin(2ln1dndntt取dnt为不同值，可以计算出相应的值，然后绘出dnt与的关系曲线，如图3-13所示。利用曲线拟合方法，可得延迟时间的近似表达式210.60.21dnt（3-13）或107.012ndt(3-14)上述两式表明，增大n或减小，都可以减小延迟时间dt。或者说，当阻尼比不变时，闭环极点离［s］平面的坐标原点越远，系统的延迟时间越短；而当自然频率不变时，闭环极点离［s］平面的虚轴越近，系统的延迟时间越短。上升时间rt：②根据定义，令式（3-11）等于1。即1)(th，可得①也有定义)(th上升到稳态10%所需要的时间dt②也有定义)(th从稳态的10%上升到90%所需要的时间；也有用)(th稳态值的90%所需要的时间作为rt。1sin1cos12rdrdtttern因为0rnte所以0sin1cos2rdrdtt则有21tanrdt21arctan1drt由图3－11可见21arctan所以drt（3-15）显然，当阻尼比不变时，角也不变。如果无阻尼振荡频率n增大，即增大闭环极点到坐标原点的距离，那么上升时间rt就会缩短，从而加快了系统的响应速度；阻尼比越小(越大)，上升时间就越短。峰值时间pt：将式(3-11)对时间求导并令其为零，可得峰值时间0|)(pttdttdh将上式整理得)tan(tanpdt则有0pdt，，2，3，…。根据峰值时间的定义，pt是指)(th越过稳态值，到达第一个峰值所需要的时间，所以应取pdt。因此峰值时间的计算公式为dpt或21n（3-16）上式表明，峰值时间等于阻尼振荡周期一半。当阻尼比不变时，极点离实轴的距离越远，系统的峰值时间越短，或者说，极点离坐标原点的距离越远，系统的峰值时间越短。超调量%：将峰值时间式(3-16)代入式(3-11)，得输出量的最大值)(pth)sin(11)(212ethp由图3-11可知21)sin(代入上式，则211)(ethp根据超调量的定义式，并在1)(h条件下，可得%100%21e（3-17）显然，超调量仅与阻尼比有关，与自然频率n的大小无关。图3-14表示了超调量%与阻尼比的关系曲线。由图可见，阻尼比越大(越小)，超调量越小；反之亦然。或者说，闭环极点越接近虚轴，超调量越大。通常，对于随动系统取阻尼比为8.0~4.0，相应的超调量为%5.1~%4.25。调节时间st：写出调节时间st的准确表达式是相当困难的。在初步分析和设计中，经常采用近似方法计算。对于欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应221arctansin11)(dtneth来说，指数曲线211tne是阶跃响应衰减振荡的上下二条包络线，整个响应曲线总是包含在这二条包络线之内，该包络线对称于阶跃响应的稳态分量。在图3-15中，采用无因次时间tn作横坐标，给出了707.0时的单位阶跃响应以及相应的包络线。可见，实际响应的收敛速度比包络线的收敛速度要快，因此采用包络线代替实际响应曲线来估算调节时间是可靠的。根据上述分析，当8.0时，经常采用下列近似公式nrt5.3取5%误差带(3-18)或nst5.4取2%误差带(3-19)上式表明，调节时间与闭环极点的实部数值(n)成反比，实部数值越大，即极点离虚轴的距离越远，系统的调节时间越短，过渡过程结束得越快。综上所述，从各动态性能指标的计算公式及有关说明可以看出，各指标之间往往是有矛盾的。如上升时间和超调量，即响应速度和阻尼程度，要求上升时间小，必定使超调量加大，反之亦然。当阻尼比一定时，如果允许加大n，则可以减小所有时间指标(dt、rt、st和pt)的数值，同时超调量可保持不变。因此，在实际系统中，往往需要综合全面考虑各方面的因素，然后再作正确的抉择。即所谓“最佳”设计。【例3-1】在图3－16所示的随动系统中，当给定系统输入为单位阶跃函数时，试计算当放大器增益200AK时，输出位置响应的性能指标：pt、st和%。如果将放大器增益增大到1500AK或减小到5.13AK，那么对响应的动态性能又有什么影响?解将图3-16与二阶系统典型结构图形式图3-9(b)进行比较，可得AnK52，AnK525.3425.34将200AK代入上两式得10002n，)/(6.31sradn545.0则系统闭环传递函数为10005.3410002)(2222sssssnnn（3-20）上式也可直接由图3-16求得。然后，对照标准形式求得、n，并把、n值代入相应公式(3-16)、(3-18)和(3-17)求得)(12.012stnp)(2.05.3stns%13%100%21e当1500AK时，同样可计算出)/(2.86sradn2.0则有)(037.0stp)(2.0sts%7.52%可见，AK增大，使减小而n增大，因而使%增大，pt减小，而调节时间st则没有多大变化。当AK减小到5.13AK时，经过同样的计算可得到1.2，)/(22.8sradn。系统成为过阻尼二阶系统。峰值和超调量不再存在。而st必须按下面将要介绍的过阻尼二阶系统来计算。由响应曲线图3-17可见，上升时间rt比上面两种情况大得多，虽然响应无超调，但过渡过程过于缓慢，也就是系统跟踪输入很慢，这也是不希望的。2.过阻尼二阶系统的单位阶跃响应当1时，二阶系统的闭环特征方程有两个不相等的负实根。可写成01122122TsTsssnn式中)1(121nT)1(122nT且21TT,2121TTn，于是闭环传递函数为)1)(1(1111)()(212121sTsTTsTsTTsRsC因此，过阻尼二阶系统可以看成二个时间常数不同的惯性环节的串联。当输入信号为单位阶跃函数时，系统的输出为tTtTeTTTeTTTth21112111221111111)(ttnneTTTeTTT)1(121)1(1222211111110t（3-21）式中稳态分量为1，瞬态分量为后两项指数项。可以看出，瞬态分量随时间t的增长而衰减到零，故系统在稳态时为无差的。其响应曲线如图3-18所示。由图3-18看出，响应是非振荡的，但它是由两个惯性环节串联而产生的，所以又不同于一阶系统的单位阶跃响应，其起始阶段速度很小，然后逐渐加大到某一值后又减小，直到趋于零。因此，整个响应曲线有一个拐点。对于过阻尼二阶系统的性能指标，同样可以用rt、st等来描述。这里着重讨论调节时间st，它反映系统响应的快速性。确定st的准确表达式同样是很困难的。一般可根据(3-21)式，令21TT为不同值，计算出相应的无因次调节时间1Tts。图3-19给出了误差带为5%的调节时间曲线。由图可见：当21TT，即1的临界阻尼情况，175.4