二阶系统的阶跃响应

第三节二阶系统的阶跃响应3.3二阶系统的阶跃响应1一、典型二阶系统的数学模型由二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。它在控制工程中的应用极为广泛。许多高阶系统在一定的条件下，也可简化为二阶系统来研究。开环传递函数为:sssGnn2)(22闭环传递函数为:2222)(1)()(nnnsssGsGs)2(2nnss)(sR)(sC-称为典型二阶系统的传递函数，称为阻尼系数，称为无阻尼振荡频率或自然频率。这两个参数称为二阶系统特征参数。)(sn典型结构的二阶系统如图所示。3.3二阶系统的阶跃响应2122,1nns特征根为：注意：当不同时，特征根有不同的形式，系统的阶跃响应形式也不同。它的阶跃响应主要有振荡和非振荡两种情况。特征方程为：0222nnss⒈当时，特征方程有一对共轭的虚根，称为零(无)阻尼系统，系统的阶跃响应为持续的等幅振荡。0⒉当时，特征方程有一对实部为负的共轭复根，称为欠阻尼系统，系统的阶跃响应为衰减的振荡过程。10⒊当时，特征方程有一对相等的实根，称为临界阻尼系统，系统的阶跃响应为非振荡过程。1⒋当时，特征方程有一对不等的实根，称为过阻尼系统，系统的阶跃响应为非振荡过程。13.3二阶系统的阶跃响应3当输入为单位阶跃函数时，，有：ssR1)(ssssssCnnn121)()(222222221)()(nnnssssssC0cos1)(tttcn⒈当时，极点为：0njs此时输出将以频率做等幅振荡，所以,称为无阻尼振荡频率。nn二、典型二阶系统的阶跃响应]12[]1)([)(22211sssLssLtcnnn024681012012ntC(t)3.3二阶系统的阶跃响应4ssssssCnnn121)()(222]12[]1)([)(22211sssLssLtcnnn输入阶跃信号和阶跃响应之间的误差：0cos)(1)()()(tttytytrten，误差曲线呈现等幅振荡形式。即系统在无阻尼情况下，不能跟踪输入的单位阶跃信号。00.511.522.533.544.5-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81StepResponseTime(sec)Amplitude2n3.3二阶系统的阶跃响应52222222121)(nnnnnnssssssssY2222)()(221nnnnnssss222)1()(1nnnnsss222222)1()()1()(1nnnnnnssss⒉当时，系统极点为：1022,11nnjp称为阻尼振荡频率。21nd3.3二阶系统的阶跃响应60,)]1sin(1)1[cos(1)(222tttetynntn22222222)1()(11)1()(1nnnnnnssss)sin()(22btebasbat)cos()(22btebasasat0,)11sin(11)(2122ttgtetyntn3.3二阶系统的阶跃响应73.3二阶系统的阶跃响应两阶系统的瞬态响应0,)11sin(11)(2122ttgtetcntn024681012012ntC(t)系统极点为：22,11nnjs极点的负实部决定了指数衰减的快慢，虚部是振荡频率。称为阻尼振荡圆频率。注意：。21nddnnd8输入阶跃信号和阶跃响应之间的误差：0)11sin(1)(1)()()(2122ttgtetytytrtentn，误差也呈阻尼正弦振荡。当稳态时，即当时，有，表示欠阻尼二阶系统能够完全跟踪输入单位阶跃信号，没有稳态误差。t0)(limtetStepResponseTime(sec)Amplitude00.20.40.60.811.21.41.61.82-0.4-0.200.20.40.60.81=0.3,n=103.3二阶系统的阶跃响应93.3二阶系统的阶跃响应)1(1)(tetcntn222222)(11)(21)(nnnnnnnnsssssssssC阶跃响应函数为：⒊当时，极点为：1ns2,1两阶系统的瞬态响应024681012012ntC(t)10输入阶跃信号和阶跃响应之间的误差：0)1()(1)()()(ttetytytrtentn，随着时间的增加，误差越来越小，到稳态时误差变为零。通常，在临界阻尼情况下，二阶系统的单位阶跃响应称为临界阻尼响应。00.511.522.533.544.5500.10.20.30.40.50.60.70.80.91StepResponseTime(sec)Amplitude3.3.2典型二阶系统的单位阶跃响应3.3二阶系统的阶跃响应113.3二阶系统的阶跃响应两阶系统的瞬态响应⒋当时，极点为：1122,1nns即特征方程为)]1()][1([22222nnnnssss)]1()][1([)()(222nnnsssRsCssssCnnn1)]1()][1([)(222)1()1(1211)(2)1(2)1(222ttnneetc)1)(1(22122TsTsssnn特征方程还可为123.3二阶系统的阶跃响应因此过阻尼二阶系统可以看作两个时间常数不同的惯性环节的串联，其单位阶跃响应为)1)(1(1)1)(1(1)()(212121sTsTTsTsTTsRsC于是闭环传函为：这里，21TT2121TTn)1(1)1(111)1)(1(1)(2212112121TsTTTTsTTTsssTsTsC212121211)(TtTteTTTeTTTtc)1(121nT)1(122nT式中两阶系统的瞬态响应133.3二阶系统的阶跃响应024681012012ntC(t)两阶系统的瞬态响应14)(tyt2-准确解tteety268.0732.3077.1077.01)(1-近似解tety268.01)(121021,2ppn)())(()()(122212psppspssRsYnn当阻尼系数远大于1，即–p1-p2时，在两个衰减的指数项中，后者衰减的速度远远快于前者，即此时二阶系统的瞬态响应主要由前者来决定，或者说主要由极点–p1决定，因而过阻尼二阶系统可以由具有极点-p1的一阶系统来近似表示。3.3二阶系统的阶跃响应163.3二阶系统的阶跃响应上述四种情况分别称为二阶无阻尼、欠阻尼、临界阻尼和过阻尼系统。其阻尼系数、特征根、极点分布和单位阶跃响应如下表所示：单位阶跃响应极点位置特征根阻尼系数单调上升两个互异负实根单调上升一对负实重根衰减振荡一对共轭复根(左半平面）等幅周期振荡一对共轭虚根无阻尼,0njs2,1欠阻尼,1o22,11nnjs临界阻尼，1)(2,1重根ns过阻尼，1122,1nns典型两阶系统的瞬态响应173.3二阶系统的阶跃响应可以看出：随着的增加，c(t)将从无衰减的周期运动变为有衰减的正弦运动，当时c(t)呈现单调上升运动(无振荡)。可见反映实际系统的阻尼情况，故称为阻尼系数。102468101200.20.40.60.811.21.41.61.82ntC(t)典型两阶系统的瞬态响应183.3二阶系统的阶跃响应三、典型二阶系统的性能指标及其与系统参数的关系21tgrdt（一）衰减振荡瞬态过程：)10(0,)sin1(cos1)(2tttetcddtn⒈上升时间：根据定义，当时，。rttrt1)(rtc1)sin1(cos1)(2rdrdtttetcrn0sin1cos2rdrdtt解得：)1(121tgtdr衰减振荡瞬态过程的性能指标193.3二阶系统的阶跃响应n21nj21njn称为阻尼角，这是由于。cos2211)(nntg21ndrt)1(121tgtdr)1(21tg)1()1(2121nntgtg180衰减振荡瞬态过程的性能指标203.3二阶系统的阶跃响应⒉峰值时间：当时，ptptt0)(ptc0)cos(1)sin(1)(22pddtpdtntetetcpnpnndpdttg)(整理得：,...)2,1,0(nntpd由于出现在第一次峰值时间，取n=1，有：dnpt21pt0,)sin(11)(2ttetcdtn211tg其中0)cos()sin(pddpdntttg21nn21衰减振荡瞬态过程的性能指标2100.10.20.30.40.50.60.70.80.910510152025trtprnpntt3.3二阶系统的阶跃响应衰减振荡瞬态过程的性能指标22⒊最大超调量：%%100)1)((%100)()()(%pptccctc故：%100%21emax)()(ctctcp得将峰值时间代入dpt)sin1(cos1)(2maxpdpdtpttetccpn221211)sin1(cos1ee最大超调量仅与阻尼系数有关。3.3二阶系统的阶跃响应衰减振荡瞬态过程的性能指标233.3二阶系统的阶跃响应00.10.20.30.40.50.60.70.80.910102030405060708090100衰减振荡瞬态过程的性能指标240306090020406080100δ%β00.10.20.30.40.50.60.70.80.9101020304050607080901003.3二阶系统的阶跃响应253.3二阶系统的阶跃响应衰减振荡瞬态过程的性能指标⒋调节时间：st可见，写出调节时间的表达式是困难的。由右图可知响应曲线总在一对包络线之内。包络线为根据调节时间的定义，当t≥ts时|c(t)-c(∞)|≤c(∞)×Δ%。%)1tgsin(1212tedtn211tne1C(t)0tst's2111Δ=5t211tne2111211tne263.3二阶系统的阶跃响应nst%)1ln(2当t=t’s时，有：%12snte由于实际响应曲线的收敛速度比包络线的收敛速度要快，因此可用包络线代替实际响应来估算调节时间。即认为响应曲