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§1.2.1函数的概念¤知识要点：1.设A、B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=()fx，xA．其中，x叫自变量，x的取值范围A叫作定义域，与x的值对应的y值叫函数值，函数值的集合{()|}fxxA叫值域.2.设a、b是两个实数，且ab，则：{x|a≤x≤b}＝[a,b]叫闭区间；{x|axb}＝(a,b)叫开区间；{x|a≤xb}＝[,)ab，{x|ax≤b}＝(,]ab，都叫半开半闭区间.符号：“∞”读“无穷大”；“－∞”读“负无穷大”；“+∞”读“正无穷大”.则{|}(,)xxaa，{|}[,)xxaa，{|}(,)xxbb，{|}(,]xxbb，(,)R.3.决定函数的三个要素是定义域、值域和对应法则.当且仅当函数定义域、对应法则分别相同时，函数才是同一函数.¤例题精讲：【例1】求下列函数的定义域：（1）121yx；（2）3312xyx.解：（1）由210x，解得1x且3x，所以原函数定义域为(,3)(3,1)(1,).（2）由330120xx，解得3x且9x，所以原函数定义域为[3,9)(9,).【例2】已知函数1()1xfxx.求：（1）(2)f的值；（2）()fx的表达式解：（1）由121xx，解得13x，所以1(2)3f.（2）设11xtx，解得11txt，所以1()1tftt，即1()1xfxx.点评：此题解法中突出了换元法的思想.这类问题的函数式没有直接给出，称为抽象函数的研究，常常需要结合换元法、特值代入、方程思想等.【例3】已知函数22(),1xfxxRx.（1）求1()()fxfx的值；（2）计算：111(1)(2)(3)(4)()()()234fffffff.解：（1）由2222222221111()()1111111xxxxfxfxxxxxx.（2）原式11117(1)((2)())((3)())((4)())323422fffffff点评：对规律的发现，能使我们实施巧算.正确探索出前一问的结论，是解答后一问的关键.§1.2.2函数的表示法¤知识要点：1.函数有三种表示方法：解析法（用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，优点：简明，给自变量可求函数值）；图象法（用图象表示两个变量的对应关系，优点：直观形象，反应变化趋势）；列表法（列出表格表示两个变量之间的对应关系，优点：不需计算就可看出函数值）.2.分段函数的表示法与意义（一个函数，不同范围的x，对应法则不同）.3.一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应:fAB为从集合A到集合B的一个映射（mapping）．记作“:fAB”.判别一个对应是否映射的关键：A中任意，B中唯一；对应法则f.¤例题精讲：【例1】如图，有一块边长为a的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出体积V以x为自变量的函数式是_____，这个函数的定义域为_______．解：盒子的高为x，长、宽为2ax－，所以体积为V＝2(2)xax－.又由20ax－，解得2ax.所以，体积V以x为自变量的函数式是2(2)Vxax－，定义域为{|0}2axx.【例2】已知f(x)=333322xxxx(,1)(1,)xx，求f[f(0)]的值.解：∵0(,1)，∴f(0)=32.又∵321，∴f(32)=(32)3+(32)-3=2+12=52，即f[f(0)]=52.【例3】画出下列函数的图象：（1）|2|yx；（教材P26练习题3）（2）|1||24|yxx.解：（1）由绝对值的概念，有2,2|2|2,2xxyxxx.所以，函数|2|yx的图象如右图所示.（2）33,1|1||24|5,2133,2xxyxxxxxx，所以，函数|1||24|yxx的图象如右图所示.点评：含有绝对值的函数式，可以采用分零点讨论去绝对值的方法，将函数式化为分段函数，然后根据定义域的分段情况，选择相应的解析式作出函数图象.【例4】函数()[]fxx的函数值表示不超过x的最大整数，例如[3.5]4，[2.1]2，当(2.5,3]x时，写出()fx的解析式，并作出函数的图象.解：3,2.522,211,10()0,011,122,233,3xxxfxxxxx.函数图象如右：点评：解题关键是理解符号m的概念，抓住分段函数的对应函数式.§1.3.1函数的单调性¤知识要点：1.增函数：设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数（increasingfunction）.仿照增函数的定义可定义减函数.2.如果函数f(x)在某个区间D上是增函数或减函数，就说f(x)在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D叫f(x)的单调区间.在单调区间上，增函数的图象是从左向右是上升的（如右图1），减函数的图象从左向右是下降的（如右图2）.由此，可以直观观察函数图象上升与下降的变化趋势，得到函数的单调区间及单调性.3.判断单调性的步骤：设x1、x2∈给定区间，且x1x2；→计算f(x1)－f(x2)→判断符号→下结论.¤例题精讲：【例1】试用函数单调性的定义判断函数2()1xfxx在区间（0，1）上的单调性.解：任取12,xx∈(0,1)，且12xx.则1221121212222()()()11(1)(1)xxxxfxfxxxxx.由于1201xx，110x，210x，210xx，故12()()0fxfx，即12()()fxfx.所以，函数2()1xfxx在（0，1）上是减函数.【例2】求下列函数的单调区间：（1）|1||24|yxx；（2）22||3yxx.解：（1）33,1|1||24|5,2133,2xxyxxxxxx，其图象如右.由图可知，函数在[2,)上是增函数，在(,2]上是减函数.（2）22223,02||323,0xxxyxxxxx，其图象如右.由图可知，函数在(,1]、[0,1]上是增函数，在[1,0]、[1,)上是减函数.点评：函数式中含有绝对值，可以采用分零点讨论去绝对值的方法，将函数式化为分段函数.第2小题也可以由偶函数的对称性，先作y轴右侧的图象，并把y轴右侧的图象对折到左侧，得到(||)fx的图象.由图象研究单调性，关键在于正确作出函数图象.【例3】已知31()2xfxx，指出()fx的单调区间.解：∵3(2)55()322xfxxx，∴把5()gxx的图象沿x轴方向向左平移2个单位，再沿y轴向上平移3个单位，得到()fx的图象，如图所示.由图象得()fx在(,2)单调递增，在(2,)上单调递增.点评：变形后结合平移知识，由平移变换得到一类分式函数的图象.需知()fxab平移变换规律.§1.3.1函数最大（小）值¤知识要点：1.定义最大值：设函数()yfx的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的x∈I，都有()fx≤M；存在x0∈I，使得0()fx=M.那么，称M是函数()yfx的最大值（MaximumValue）.仿照最大值定义，可以给出最小值（MinimumValue）的定义.2.配方法：研究二次函数2(0)yaxbxca的最大（小）值，先配方成224()24bacbyaxaa后，当0a时，函数取最小值为244acba；当0a时，函数取最大值244acba.3.单调法：一些函数的单调性，比较容易观察出来，或者可以先证明出函数的单调性，再利用函数的单调性求函数的最大值或最小值.4.图象法：先作出其函数图象后，然后观察图象得到函数的最大值或最小值.¤例题精讲：【例1】求函数261yxx的最大值.解：配方为2613()24yx，由2133()244x，得260813()24x.所以函数的最大值为8.【例3】求函数21yxx的最小值.解：此函数的定义域为1,，且函数在定义域上是增函数，所以当1x时，min2112y，函数的最小值为2.点评：形如yaxbcxd的函数最大值或最小值，可以用单调性法研究，也可以用换元法研究.【另解】令1xt，则0t，21xt，所以22115222()48yttt，在0t时是增函数，当0t时，min2y，故函数的最小值为2.【例4】求下列函数的最大值和最小值：（1）25332,[,]22yxxx；（2）|1||2|yxx.解：（1）二次函数232yxx的对称轴为2bxa，即1x.画出函数的图象，由图可知，当1x时，max4y；当32x时，min94y.所以函数25332,[,]22yxxx的最大值为4,最小值为94.（2）3(2)|1||2|21(12)3(1)xyxxxxx.作出函数的图象，由图可知，[3,3]y.所以函数的最大值为3,最小值为-3.点评：二次函数在闭区间上的最大值或最小值，常根据闭区间与对称轴的关系，结合图象进行分析.含绝对值的函数，常分零点讨论去绝对值，转化为分段函数进行研究.分段函数的图象注意分段作出.