矩阵论PPT

(研究生课程)高等工程数学教师:李晓东•课程主要内容：矩阵论：矩阵的相似变换；向量范数与矩阵范数的理论及应用；矩阵分析及应用；矩阵的各种分解方法等。泛函分析：距离空间；赋范空间与Banach空间；内积空间与Hilbert空间等。•主要参考书目：1．徐仲等著，《矩阵论简明教程》，科学出版社，2007。2．姚泽清等著，《应用泛函分析》，科学出版社，2008。第一章：矩阵的相似变换§1.1特征值与特征向量•有关定义回顾:特征值;特征向量;特征矩阵;特征多项式.•矩阵的特征值与特征向量的性质.定理1.1:设是的重特征值,对应有个线性无关的特征向量,则:简言之:矩阵特征值的几何重数小于或等于其代数重数.iiirnnCAisiirs1定理1.2:设的个特征值为对应的特征向量为又设为一多项式,则的特征值为,对应的特征向量仍为推论:定理1.3:矩阵的属于不同特征值的特征向量线性无关.,nnCAAn,,,,21n,,,,21nxxxfAfnfff,,,21.,,,21nxxx00fAf定理1.4:设的特征值为则:(1)(2)(3)的特征值为而的特征值为,,,,21nnnijaAnAtr21nA21detTA,,,,21nnnjiHaA.,,,21n§1.2相似对角化•矩阵(方阵)相似的定义.•矩阵相似的性质(6条).•矩阵可对角化的条件.定理1.8:设,则可对角化的充要条件是有个线性无关的特征向量.推论1:若的特征值两两相异,则可对角化.nnCAAAnnnCAA推论2:设是阶方阵的所有互不相同的特征值,其重数分别为.若每个都有个线性无关的特征向量,则可对角化.s,,,21nAsrrr,,,21iirsi,,2,1A§1.3Jordan标准形介绍定义:形如的矩阵称为阶Jordan块.由若干个Jordan块构成的分块对角阵称为Jordan矩阵.iirriiiiJ11irsJJJdiagJ,,,21定理1.9(Jordan):设,则一定与一个Jordan矩阵相似.且这个Jordan矩阵除Jordan块的排列顺序外由唯一决定.将方阵相似变换为Jordan标准形的方法:1)特征向量法设如果是的单特征值,则对应一阶Jordan块;如果是的重特征nnCAAJJAnnCA,nnCAiAiiJiA1iirr值,则对应有几个线性无关的特征向量,就有几个以为对角元素的Jordan块,这些Jordan块的阶数之和等于.由的所有特征值对应的Jordan块构成的Jordan矩阵即为的Jordan标准形.2)初等变换法3)行列式因子法iiirAA§1.4Caylay-Hamilton定理定理1.13(Cayley-Hamilton):设则定理1.13说明:设则的任意次幂都可转化为的次多项式计算.定义:设是多项式.如果有则称为的零化多项式.在的所有零化多项式,nnCA,detAI.0A,nnCAAA1n,nnCAf,OAffAA中,次数最低的首一多项式称为的最小多项式.记为.定理1.14:设则的最小多项式整除的任一零化多项式,且最小多项式是唯一的.定理1.16:相似矩阵具有相同的特征值,相同的特征多项式和相同的最小多项式.AAm,nnCAAAmA定理1.17:设是的所有互不相同的特征值,则其中是的Jordan标准形中含的Jordan块的最高阶数.,nnCAt,,,21AtmtmmAm2121iimAJ§1.5向量的内积线性代数课程中对维向量的内积是在实数域中定义的,矩阵论对维向量的内积将在复数域中定义.定义:设令称为向量与的内积.nn,,,,21nTnCx.,,,21nTnCynkkkHxyyx1,yx,xy•内积的性质定理1.18:设则(1)(2)(3)(4)且仅当时才有(5)(Cauchy-Schwarz不等式),,,nCzyx,Cxyyx,,,,,yxyxyxyx,,,,,,zyzxzyxzxyxzyx,,,,0,xx.0,xx0xyyxxxyyx,,,,利用内积可以定义向量的长度和正交:定义:设令称为向量的长度或2范数.定理1.19:设则(1)当时,;当时,(2),,,,21nTnCxnkkxxx122,2xx,,,CCyxn0x02x02x0x22xx(3)单位向量;向量的单位化;正交向量;向量组的Schmidt正交化方法;正交基;标准正交基.定理1.20:两两正交的非零向量组一定线性无关.定义:设,若满足或则称为酉矩阵.222yxyxnnCAAIAAHHAA1A定理1.21:设(1)若是酉矩阵,则也是酉矩阵.(2)若是酉矩阵,则也是酉矩阵.(3)若是酉矩阵,则(4)是酉矩阵的充要条件是:它的个列向量是两两正交的单位向量..,nnCBAAA1ABA,AB1detAAn§1.6酉相似下的标准形定理1.22(Schur):设则可酉相似于上三角矩阵,即存在阶酉矩阵,使得问题:什么样的矩阵才能酉相似于对角阵?答案:正规矩阵定义:设若满足,nnCAATnUTAUUAUUH1,nnCAA,HHAAAA则称为正规矩阵.酉矩阵,正交阵;Hermite阵,实对称阵;反Hermite阵,实反对称阵;对角阵等都是正规矩阵.定理1.23:设则酉相似于对角阵的充要条件是为正规矩阵.•有关正规阵的4个性质:推论1:Hermite矩阵的特征值均为实数,反Hermite矩阵的特征值为零或纯虚数.A,nnCAAA推论2:实对称矩阵的特征值均为实数,实反对称矩阵的特征值为零或纯虚数.推论3:设是正规矩阵,是的特征值,是对应的特征向量,则是的特征值,的对应的特征向量仍为.推论4:正规矩阵的属于不同特征值的特征向量彼此正交.nnCAAxHAHAx•正定矩阵的推广-----Hermite正定矩阵定义:设是Hermite矩阵,如果对于任意都有则称是Hermite正定矩阵(半正定矩阵).定理1.24:设是Hermite矩阵,则下列条件等价:(1)是Hermite正定矩阵;nnCAnCx0)0(0AxxAxxHHAnnCAA(2)的特征值全为正实数;(3)存在矩阵,使得推论:Hermite正定矩阵的行列式大于零.定理1.25:设是Hermite矩阵,则下列条件等价:(1)是Hermite半正定矩阵;(2)的特征值全为非负实数;AnnnCP.PPAHnnCAAA(3)存在矩阵,使得定理1.26:设则(1)和的特征值全为非负实数;(2)和的非零特征值相同;(3)定理1.27:设是Hermite矩阵,则是Her-mite正定矩阵的充要条件是的各阶顺序主子式均为正.,nmCAAAHHAAAAHHAArankAAArankAArankHH)(nnCAAAnnCP.PPAH第二章：范数理论§2.1向量范数定义:若对任意都有一个实数与之对应,且满足(1)当时,当时,(2)对任何(3)对任意都有则称为上向量的范数.nCxxx0x0x.0x.0x,C.xx,,nCyxnCx.yxyx•向量范数的基本性质定理2.1:对任意有(1)(2)•几种常见的向量范数设规定(1)向量的2范数:,,nCyx;xxyxyx,,,,21nTnCxnkkHxxxxx122,(2)向量的1范数:(3)向量的范数:(4)向量的范数:(5)向量的加权范数或椭圆范数:(其中为Hermite正定阵.)nkkx11kkxmaxpxpnkpkp111p,AxxxHAA可以证明:以上定义的5种算式都符合向量范数的定义.以向量的范数为例,用下面的引理进行证明.引理:对任意有Holder不等式其中且p,,,2,1,nkCkk,11111qnkqkpnkpknkkk,1,1qp.111qp定理2.3:设则•从已知的某种向量范数导出另一种向量范数的方法.定理2.4:设是上的一种向量范数.对任意规定则是上的向量范数.,,,,21nTnCxxxpplim,nmnCAamC,nCxbxabAxxnC•向量范数的等价性定义:设和是上的两种向量范数.如果存在正数和,使对任意都有则称向量范数和等价.定理2.5:上的所有向量范数都等价.•关于向量范数的等价性abnCnCxbabxxxabnC定义:给定中的向量序列，其中如果则称向量序列收敛于记作定理2.6：中向量序列收敛于的充要条件是：对于上的任一种向量范数都有nCkx,2,1,0,,,21kxTknkkk,,,2,1limnjjkjkkx.,,,21Tnx.limxxkknCkxxnC,.0limxxkk§2.2矩阵范数•方阵的范数定义：若对任意都有一个实数与之对应，且满足(1)当时，当时，(2)对任何(3)对任意都有(4)对任意都有,nnCAA0A0A,0A.0A,C.AA,,nnCBA.BABA.BAAB,,nnCBA则称为上矩阵的范数.注:上任意两个矩阵范数都等价.几种常见的方阵范数:设规定(1)方阵的范数:(2)方阵的范数:AnnCAnnC,nnnnijCaA1mninjijmaA111FAAtraAHninjijF112(3)方阵的范数:方阵范数的酉不变性:定理2.7:设则对任意阶酉矩阵和,恒有•方阵范数与向量范数的相容性定义:设是上的矩阵范数,是上的向量范数.如果对任意和都有mjijimanA,,max,nnCAFnUV.FFFFAUAVAVUAmnnCnCvnnCA,nCx则称矩阵范数与向量范数是相容的.事实:上矩阵的范数和范数分别与上向量的1范数和2范数相容;上矩阵的范数分别与上向量的1范数,2范数和范数相容.定理2.8:设是上的一种矩阵范数,则在vm,vmvxAAxnnC1mFnnCnCmnCnnCnCm上必存在与它相容的向量范数.•从属范数定理2.9:已知上的向量范数对任意规定则是上与向量范数相容的矩阵范数,且称之为由向量范数导出的矩阵范数或从属nC,v,nnCAvxvvxAxAxAxAv10maxmaxnnCv.1nIv于向量范数的矩阵范数.定理2.10:设记由向量1,2,范数导出的矩阵范数分别为则有(1)(矩阵的1范数或列和范数）(2)(为的最大特征值)(矩阵的2范数或谱范数）(3)(矩阵的∞范数或行和范数）v,nnnnijCaA,,,21AAAniijjaA11maxnjijiaA1max12A1AAH矩阵2范数的性质:定理2.11:设和为阶酉矩阵,则(1)(2)(矩阵2范数的酉不变性)(3)若是正规矩阵,且是的个特征值,则UCAnn,Vn22AAH2222AUAVAVUAAAn,,,21n.max2kkA其它矩阵范数的性质:•长方阵的范数对方阵范数的定义做关于矩阵(向量)阶的适当调整后,可定义出长