2015高三数学(B)第一轮复习第二章函数、导数及其应用

第二章函数、导数及其应用[最新考纲展示]1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．3.了解简单的分段函数，并能简单应用．•第一节函数及其表示•函数与映射的概念•____________________[通关方略]____________________•函数与映射的区别与联系•(1)函数是特殊的映射，其特殊性在于集合A与集合B只能是非空数集，即函数是非空数集A到非空数集B的映射；•(2)映射不一定是函数，从A到B的一个映射是数集，则这个映射便不是函数．•解析：a＝1，b＝0，∴a＋b＝1.•答案：C1．已知a，b为实数，集合M＝ba，1，N＝{a,0}，f：x→x表示把M中的元素x映射到集合N中仍为x，则a＋b等于()A．－1B．0C．1D．±1•函数的有关概念及表示•1．函数的定义域、值域•在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．•2．函数的三要素：、和．•3．函数的表示方法•表示函数的常用方法有：、和．x的取值范围A函数值的集合定义域值域对应关系解析法列表法图象法•____________________[通关方略]____________________•判断两个函数是否为相同函数，抓住以下两点•(1)定义域是否相同；•(2)对应关系即解析式是否相同(注意解析式可以等价化简)．只有定义域和对应关系都相同的两个函数才是相同函数．•解析：A、B、D中两函数定义域不同．•答案：C2．(2014年长沙模拟)下列各组函数表示同一函数的是()A．f(x)＝x2，g(x)＝(x)2B．f(x)＝1，g(x)＝x0C．f(x)＝xx≥0，－xx＜0，g(t)＝|t|D．f(x)＝x＋1，g(x)＝x2－1x－1•3．图中阴影部分的面积S是h的函数(0≤h≤H)，则该函数的大致图象是()•解析：由图知，随着h的增大，阴影部分的面积S逐渐减小，且减小得越来越慢，结合选项可知选B.•答案：B•分段函数•1．若函数在其定义域的不同子集上，因不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．•2．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的，其值域等于各段函数的值域的，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．对应关系并集并集•____________________[通关方略]____________________•1．分段函数实质上是一个函数，其定义域、值域为各段定义域、值域的并集．•2．分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成．作图时要注意每段曲线端点的虚实，而且横坐标相同的地方不能有两个及两个以上的点．•答案：D4．已知f(x)＝log2x，x03，x≤0，则f[f(1)]＝()A．0B．1C．2D．3解析：∵f(x)＝log2x，x03，x≤0∴f(1)＝0，∴f[f(1)]＝f(0)＝3.•函数定义域【例1】(1)(2013年高考安徽卷)函数y＝ln1＋1x＋1－x2的定义域为________．(2)若函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝f2xx－1的定义域是()A．[0,1]B．[0,1)C．[0,1]∪(1,4]D．(0,1)[解析](1)由1＋1x0，1－x2≥0⇒x－1或x0，－1≤x≤1⇒0x≤1，∴该函数的定义域为(0,1](2)依已知有0≤2x≤2，x－1≠0，解之得0≤x1，定义域为[0,1)，故选B.[答案](1)(0,1](2)B解析：由1＋1x01＋1x≠11－x2≥0知x0或x－1x≠0－1≤x≤1∴0x≤1，∴该函数定义域为(0,1]．•反思总结•求函数的定义域时，应注意•(1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域变化．•(2)当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时，定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集．•(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．•函数解析式的求法•【例2】(1)已知f(x＋1)＝x2＋4x＋1，求f(x)的解析式．•(2)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9，求f(x)．•[解析](1)解法一(换元法)设x＋1＝t，则x＝t－1，•∴f(t)＝(t－1)2＋4(t－1)＋1，•即f(t)＝t2＋2t－2.•∴所求函数为f(x)＝x2＋2x－2.解法二(配凑法)∵f(x＋1)＝x2＋4x＋1＝(x＋1)2＋2(x＋1)－2，∴所求函数为f(x)＝x2＋2x－2.(2)(待定系数法)由题意，设函数为f(x)＝ax＋b(a≠0)，∵3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9，∴3a(x＋1)＋3b－ax－b＝2x＋9，即2ax＋3a＋2b＝2x＋9.由恒等式性质，得2a＝2，3a＋2b＝9，解得a＝1，b＝3.∴所求函数解析式为f(x)＝x＋3.反思总结求函数解析式的常用方法(1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式；(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(4)解方程组法：已知关于f(x)与f1x或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程求出f(x)．•答案：B变式训练1．已知函数f(x)满足f(x)＋2f(3－x)＝x2，则f(x)的解析式为()A．f(x)＝x2－12x＋18B．f(x)＝13x2－4x＋6C．f(x)＝6x＋9D．f(x)＝2x＋3解析：由f(x)＋2f(3－x)＝x2可得f(3－x)＋2f(x)＝(3－x)2，由以上两式解得f(x)＝13x2－4x＋6.•分段函数求值【例3】已知函数f(x)＝12x，x≥4，fx＋1，x4，则f(2＋log23)的值为A.124B.112C.16D.13[解析]∵2＋log234，∴f(2＋log23)＝f(3＋log23)．∵3＋log234，∴f(2＋log23)＝f(3＋log23)＝123＋log23＝18×12log23＝18×13＝124.[答案]A•反思总结•1．求分段函数的函数值时，应根据所给自变量的大小选择相应段的解析式求解，有时每段交替使用求值．•2．若给出函数值或函数值的范围求的变量值或自变量的取值范围，应根据每一段的解析式分别求解．但要注意检验，是否符合相应段的自变量的取值范围．•解析：∵x1，f(x)＝2x＋1，∴f(0)＝2.•由f(f(0))＝4a，得f(2)＝4a，∵x≥1，f(x)＝x2＋ax，•∴4a＝4＋2a，解得a＝2.•答案：C变式训练2．已知函数f(x)＝2x＋1，x1，x2＋ax，x≥1，若f(f(0))＝4a，则实数a等于()A.12B.45C．2D．9•——分类讨论思想在分段函数中的应用•由于分段函数在不同定义区间上具有不同的解析式，在处理分段函数问题时应对不同的区间进行分类求解，然后整合，这恰好是分类讨论的一种体现．•[答案]C【典例】(2014年济南模拟)已知函数f(x)＝log2x＋1，x32x－3＋1，x≤3满足f(a)＝3，则f(a－5)的值为()A．log23B.1716C.32D．1[解析]分两种情况分析，a≤32a－3＋1＝3①或者a3log2a＋1＝3②，①无解，由②得，a＝7，所以f(a－5)＝22－3＋1＝32，选C.•由题悟道•1．解决本题时，由于a的取值不同限制了f(a)的表达，从而对a进行分类讨论．•2．运用分类讨论的思想解题的基本步骤•(1)确定讨论对象和确定研究的区域；•(2)对所讨论的问题进行合理的分类(分类时需要做到不重不漏，标准统一、分层不越级)；•解析：当x1时，2－x4，即x－2；当x≥1时，x24，即x2.故x的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．•答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)设函数f(x)＝2－x，x∈－∞，1x2，x∈[1，＋∞若f(x)4，则x的取值范围是________．本小节结束请按ESC键返回