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初中几何经典题菁优网©2010-2014菁优网初中几何经典题一、解答题（共20小题，满分0分）1．已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO．求证：CD=GF．（初二）2．已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD=∠PDA=15°．求证：△PBC是正三角形．（初二）3．如图，已知四边形ABCD、A1B1C1D1都是正方形，A2、B2、C2、D2分别是AA1、BB1、CC1、DD1的中点．求证：四边形A2B2C2D2是正方形．（初二）4．已知：如图，在四边形ABCD中，AD=BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F．求证：∠DEN=∠F．5．已知：△ABC中，H为垂心（各边高线的交点），O为外心，且OM⊥BC于M．菁优网©2010-2014菁优网（1）求证：AH=2OM；（2）若∠BAC=60°，求证：AH=AO．（初二）6．设MN是圆O外一直线，过O作OA⊥MN于A，自A引圆的两条直线，交圆于B、C及D、E，直线EB及CD分别交MN于P、Q．求证：AP=AQ．（初二）7．如果上题把直线MN由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN是圆O的弦，过MN的中点A任作两弦BC、DE，设CD、EB分别交MN于P、Q．求证：AP=AQ．（初二）8．如图，分别以△ABC的边AC、BC为一边，在△ABC外作正方形ACDE和CBFG，点P是EF的中点，求证：点P到AB的距离是AB的一半．9．如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，AE=AC，AE与CD相交于F．求证：CE=CF．菁优网©2010-2014菁优网10．如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，且CE=CA，直线EC交DA延长线于F．求证：AE=AF．（初二）11．设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PF⊥AP，CF平分∠DCE．求证：PA=PF．（初二）12．如图，PC切圆O于C，AC为圆的直径，PEF为圆的割线，AE、AF与直线PO相交于B、D．求证：AB=DC，BC=AD．13．已知：△ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA=3，PB=4，PC=5．求：∠APB的度数．（初二）14．设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA=∠PDA．菁优网©2010-2014菁优网求证：∠PAB=∠PCB．15．设ABCD为圆内接凸四边形，求证：AB•CD+AD•BC=AC•BD．（初三）16．平行四边形ABCD中，设E、F分别是BC、AB上的一点，AE与CF相交于P，且AE=CF．求证：∠DPA=∠DPC．（初二）17．设P是边长为1的正△ABC内任一点，L=PA+PB+PC，求证：≤L＜2．18．已知：P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PA+PB+PC的最小值．19．P为正方形ABCD内的一点，并且PA=a，PB=2a，PC=3a，求正方形的边长．菁优网©2010-2014菁优网20．如图，△ABC中，∠ABC=∠ACB=80°，D、E分别是AB、AC上的点，∠DCA=30°，∠EBA=20°，求∠BED的度数．菁优网©2010-2014菁优网初中几何经典题参考答案与试题解析一、解答题（共20小题，满分0分）1．已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO．求证：CD=GF．（初二）考点：相似三角形的判定与性质；圆周角定理．菁优网版权所有分析：首先根据四点共圆的性质得出GOFE四点共圆，进而求出△GHF∽△OGE，再利用GH∥CD，得出==，即可求出答案．解答：证明：作GH⊥AB，连接EO．∵EF⊥AB，EG⊥CO，∴∠EFO=∠EGO=90°，∴G、O、F、E四点共圆，所以∠GFH=∠OEG，又∵∠GHF=∠EGO，∴△GHF∽△OGE，∵CD⊥AB，GH⊥AB，∵GH∥CD，∴==，又∵CO=EO，∴CD=GF．点评：此题主要考查了相似三角形的判定以及其性质和四点共圆的性质，根据已知得出GOFE四点共圆是解题关键．2．已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD=∠PDA=15°．求证：△PBC是正三角形．（初二）菁优网©2010-2014菁优网考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；等边三角形的判定．菁优网版权所有专题：证明题．分析：在正方形内做△DGC与△ADP全等，根据全等三角形的性质求出△PDG为等边，三角形，根据SAS证出△DGC≌△PGC，推出DC=PC，推出PB=DC=PC，根据等边三角形的判定求出即可．解答：证明：∵正方形ABCD，∴AB=CD，∠BAD=∠CDA=90°，∵∠PAD=∠PDA=15°，∴PA=PD，∠PAB=∠PDC=75°，在正方形内做△DGC与△ADP全等，∴DP=DG，∠ADP=∠GDC=∠DAP=∠DCG=15°，∴∠PDG=90°﹣15°﹣15°=60°，∴△PDG为等边三角形（有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形），∴DP=DG=PG，∵∠DGC=180°﹣15°﹣15°=150°，∴∠PGC=360°﹣150°﹣60°=150°=∠DGC，在△DGC和△PGC中，∴△DGC≌△PGC，∴PC=AD=DC，和∠DCG=∠PCG=15°，同理PB=AB=DC=PC，∠PCB=90°﹣15°﹣15°=60°，∴△PBC是正三角形．点评：本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，关键是正确作出辅助线，又是难点，题型较好，但有一定的难度，对学生提出了较高的要求．3．如图，已知四边形ABCD、A1B1C1D1都是正方形，A2、B2、C2、D2分别是AA1、BB1、CC1、DD1的中点．求证：四边形A2B2C2D2是正方形．（初二）菁优网©2010-2014菁优网考点：正方形的判定；全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有专题：证明题．分析：连接BC1和AB1分别找其中点F，E，连接C2F与A2E并延长相交于Q点，根据三角形的中位线定理可得A2E=FB2，EB2=FC2，然后证明得到∠B2FC2=∠A2EB2，然后利用边角边定理证明得到△B2FC2与△A2EB2全等，根据全等三角形对应边相等可得A2B2=B2C2，再根据角的关系推出得到∠A2B2C2=90°，从而得到A2B2与B2C2垂直且相等，同理可得其它边也垂直且相等，所以四边形A2B2C2D2是正方形．解答：证明：如图，连接BC1和AB1分别找其中点F，E．连接C2F与A2E并延长相交于Q点，连接EB2并延长交C2Q于H点，连接FB2并延长交A2Q于G点，由A2E=A1B1=B1C1=FB2，EB2=AB=BC=FC2，∵∠GFQ+∠Q=90°和∠GEB2+∠Q=90°，∴所以∠GEB2=∠GFQ，∴∠B2FC2=∠A2EB2，可得△B2FC2≌△A2EB2，所以A2B2=B2C2，又∠HB2C2+∠HC2B2=90°和∠B2C2Q=∠EB2A2，从而可得∠A2B2C2=90°，同理可得其它边垂直且相等，从而得出四边形A2B2C2D2是正方形．点评：本题主要考查了正方形的性质与判定，三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，综合性较强，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．4．已知：如图，在四边形ABCD中，AD=BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F．求证：∠DEN=∠F．菁优网©2010-2014菁优网考点：三角形中位线定理．菁优网版权所有专题：证明题．分析：连接AC，作GN∥AD交AC于G，连接MG，根据中位线定理证明MG∥BC，且GM=BC，根据AD=BC证明GM=GN，可得∠GNM=∠GMN，根据平行线性质可得：∠GMF=∠F，∠GNM=∠DEN从而得出∠DEN=∠F．解答：证明：连接AC，作GN∥AD交AC于G，连接MG．∵N是CD的中点，且NG∥AD，∴NG=AD，G是AC的中点，又∵M是AB的中点，∴MG∥BC，且MG=BC．∵AD=BC，∴NG=GM，△GNM为等腰三角形，∴∠GNM=∠GMN，∵GM∥BF，∴∠GMF=∠F，∵GN∥AD，∴∠GNM=∠DEN，∴∠DEN=∠F．点评：此题主要考查平行线性质，以及三角形中位线定理，关键是证明△GNM为等腰三角形．5．已知：△ABC中，H为垂心（各边高线的交点），O为外心，且OM⊥BC于M．（1）求证：AH=2OM；（2）若∠BAC=60°，求证：AH=AO．（初二）菁优网©2010-2014菁优网考点：三角形的外接圆与外心；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形；平行四边形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理．菁优网版权所有专题：证明题．分析：（1）过O作OF⊥AC，于F，则F为AC的中点，连接CH，取CH中点N，连接FN，MN，得出平行四边形OMNF，即可得出答案．（2）根据圆周角定理求出∠BOM，根据含30度角的直角三角形性质求出OB=2OM即可．解答：证明：（1）过O作OF⊥AC，于F，则F为AC的中点，连接CH，取CH中点N，连接FN，MN，则FN∥AD，AH=2FN，MN∥BE，∵AD⊥BC，OM⊥BC，BE⊥AC，OF⊥AC，∴OM∥AD，BE∥OF，∵M为BC中点，N为CH中点，∴MN∥BE，∴OM∥FN，MN∥OF，∴四边形OMNF是平行四边形，∴OM=FN，∵AH=2FN，∴AH=2OM．（2）证明：连接OB，OC，∵∠BAC=60°，∴∠BOC=120°，∴∠BOM=60°，∴∠OBM=30°，菁优网©2010-2014菁优网∴OB=2OM=AH=AO，即AH=AO．点评：本题考查了等腰三角形的性质和判定、三角形的中位线定理、含30度角的直角三角形性质、三角形的外接圆与外心、三角形的内角和定理等知识点，题目综合性较强，有一定的难度，但题型较好，难点是如何作辅助线．6．设MN是圆O外一直线，过O作OA⊥MN于A，自A引圆的两条直线，交圆于B、C及D、E，直线EB及CD分别交MN于P、Q．求证：AP=AQ．（初二）考点：圆周角定理；垂线；平行线的性质；全等三角形的判定与性质；圆内接四边形的性质；轴对称的性质．菁优网版权所有专题：证明题．分析：作E点关于GA的对称点F，连FQ、FA，FC，根据轴对称和平行线性质推出∠FAP=∠EAQ，∠EAP=∠FAQ，FA=EA，求出∠FCQ=∠FAQ，推出FCAQ四点共圆，推出∠PEA=∠QFA，根据ASA推出△PEA和△QFA全等即可．解答：证明：作E点关于GA的对称点F，连FQ、FA，FC，∵OA⊥MN，EF⊥OA，则有∠FAP=∠EAQ，∠EAP=∠FAQ，FA=EA，∵E，F，C，D共圆∴∠PAF=∠AFE=∠AEF=180°﹣∠FCD，∵∠PAF=180﹣∠FAQ，∴∠FCD=∠FAQ，∴FCAQ四点共圆，∠AFQ=∠ACQ=∠BED，在△EPA和△FQA中，∴△EPA≌△FQA，∴AP=AQ．菁优网©2010-2014菁优网点评：本题综合考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，轴对称的性质，圆内接四边形的性质，圆周角定理，垂线等知识点，解此题的关键是求出∠AEP=∠AFQ，题型较好，有一定的难度，通过做题培养了学生分析问题的能力，符合学生的思维规律，证两线段相等，一般考虑证所在的两三角形全等．7．如果上题把直线MN由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN是圆O的弦，过MN的中点A任作两弦BC、DE，设CD、EB分别交MN于P、Q．求证：AP=AQ．（初二）考点：四点共圆；全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有分析：作OF⊥CD，OG⊥BE，连接OP，OA，OF，AF，OG，AG，OQ，证