信号与系统王明泉科学出版社第一章习题解答

第1章信号与系统的概述1.6本章习题全解1.1已知信号波形，写出信号表达式。(a)(b)解：（a）()()(1)(1)fttuttut（b）()(1)(2)(3)ftttt1.2已知信号的数学表达式，求信号波形。(1))]2()1()[2cos()(tututetft(2))1()1(21)(tututtf(3)0)()](sin[)(nntunttf(4)1)()()(nntuttutf(5))]sgn[sin()(ttf(6))4sin(]()([)(tTTtututf解：（1）信号区间在[1，2]之间，振荡频率为2，周期为1，幅值按te趋势衰减，波形如图1-2-1；（2）信号区间在[-1，1]之间，在[-1，0]区间呈上升趋势，在[0，1]区间呈下降趋势，波形如图1-2-2；tf(t)f(t)t-11011/2图1-2-1图1-2-2（3）信号为正弦信号经时移的叠加而成，由于每次时移间隔为半个周期，所以偶次时移与奇次时移的结果相抵消，结果如图1-2-3；（4）结果如图1-2-4f(t)f(t)tt......012345670123411图1-2-3图1-2-4（5）结果如图1-2-5-11f(t)t-4-3-2-101234......图1-2-5（6）结果如图1-2-6f(t)t0T/83T/85T/87T/8T图1-2-61.3分别求下列各周期信号的周期(1))20cos()10cos(tt(2)tje5(3)(1)()()nnutnTutnTT(n为正整数，T为周期)解：（1）cos(10())cos(1010)tTtT当满足102Tk（k为整数）时，cos(1010)cos(10)tTt即k=1时，5/T为cos(10)t的周期，同理，cos(20)t的周期为10/；所以)20cos()10cos(tt的周期为10/。（2）5()(55)55jtTjtTjtjTeeee当满足52Tk（k为整数）时，51jTe，即5()5jtTjtee，即k=1时，52T为tje5的周期（3）根据表达式，可画出信号的波形为-11t-4T-3T-2T-T0T2T3T4T......(1)()()nnutnTutnTT从图中可以看出周期为2T。1.4求下列表示式的函数值(1)dtttt)()(0(2)dtttt)2sin()(2(3)dtttutt)3()(00(4)dtttt)6()sin((5)dttttetj)]()([0(6)22)(cos)1(dttt(7)已知)3(2)(ttf求0)25(dttf解：（1）0000()()()()tttdtttdtttdtt(2)sin(2)sin(2)2()4()4()42tttdttdttdttt(3)000000002()()()()()()()333tttttutdtttutdtuttdtut(4)(sin)()(sin)()66661(sin)()66662tttdttdttdt(5)000[()()]()()1jtjtjtjtetttdtetdtettdte(6)2222222200(1)(cos)(cos)(cos)32(cos)2()()422ttdttdtttdttdtttdt上式中(cos)t为偶函数，(cos)tt为奇函数(7)000011(52)2(52(3))2(112)2(2())12ftdttdttdttdt1.5已知信号)(tf的波形如下图1.5所示，试画出下列各信号的波形(1))32(tf(2))()2(tutf(3))2()2(tutf题图1-5解：（1）先将)(tf在横坐标轴上向右平衡3，再进行压缩，得波形如图1-5-1；0121f(t-3)t421f(2t-3)t图1-5-1（2）过程及结果如图1-5-2所示；1f(t-2)t0131f(-t-2)t-3-101f(-t-2)u(-t)t-3-10图1-5-2（3）过程及结果如图1-5-3所示；1f(t)u(t)01t1f(t+2)u(t+2)-2-10t1f(-t+2)u(-t+2)012t图1-5-31.6已知)25(tf的波形如图1-6所示,试画出)(tf的波形。题图1-6解：本题有两种求解方式：解法一：（1）将信号以纵坐标为轴翻褶，得(25)ft波形（2）将(25)ft的波形在横坐标上扩伸2倍，得(5)ft波形（3）将(5)ft的波形向右移动5，得()ft的波形-3-2-10tf(2t+5)-6-4-20tf(t+5)-10123tf(t)图1-6-1解法二：（1）将信号以波形向右移动5/2，得(2)ft波形（2）将(2)ft波形的在横坐标上扩伸2倍，得()ft波形（3）将()ft的波形以纵坐标为轴翻褶，得()ft的波形；-1.500.5tf(-2t)-3-101tf(-t)-10123tf(t)图1-6-21.7求下列函数的微分和积分（1）tttf3cos)()(1（2）ttutf2sin)()(2（3）)()(23tetft解：（1）1()()cos3()()tttfdddut（2）201()()sin2sin2()(1cos2)()2tttfdudduttut（3）23()()()()tttfdeddut1.8试证明:)(1)(taat证明：1.9粗略画出题图1.7所示各波形的奇、偶分量taattttaatdtttaadaadttat111011的偶函数是关于又因而有：题图1.7解：（1）根据信号的奇、偶分量的定义，现求出()ft)]()([21)(tftftfe)]()([21)(tftftfo01tf(t)1-10tf(-t)1-101tfo(t)1/2-101tfe(t)1/2-1/2图1-9-1-101tf(t)1-101tf(-t)1-1-1-101tfo(t)1-1-101tfe(t)1-1图1-9-21.10试证明因果信号)(tf的奇分量)(tfo和偶分量)(tfe之间存在关系式)sgn()()(ttftfeo证明：因为)(tf为因果信号所以，()()()ftftut所以，11()()()()()()()22oftftftftutftut1()()()()()2eftftutftut所以，1()sgn()()()()()sgn()21()()sgn()()()sgn()21()()()()2()eofttftutftuttftuttftuttftutftutft证毕1.11分别求出下列各波形的直流分量(1)全波整流)sin()(ttf;(2)升余弦函数)]cos1[)(tKtf解：求解信号波形的直流分量，实际上即为求解信号的平均值，对于周期信号，只需求一个周期内的平均值即可。（1）tsin的周期为221，所以其直流分量为：000cos1sin1tdttdttfTfTD2111（2）因为tcos在一个周期内均值为0，所以KfD1.12画出下列系统的框图(1)dttdxtxtydttdy)()(3)(5)(2(2))()()(2)(4)(txdttdxtydttdydttyd22解：（1）系统方程两边同除以2，得()531()()()222dytdxtytxtdtdtΣΣ∫'()ft()ft()xt5/21/23/2()yt图1-13-1（2）ΣΣ∫'()ft()ft()xt24()yt∫''()ft图1-13-21.13判断下列系统是否为线性的、时不变的、因果性(1))()](cos[)(tutxty(2))(]cos)([)(tuttxty(3)dttdxty)()((4))()(2txty(5)tdxty5)()((6))2()(31)(txtxty(7))()(txty(8)nnTttxty)()()(解：（1）()()cos[()]()ytTxtxtut111()()cos[()]()ytTxtxtut，222()()cos[()]()ytTxtxtut1212()()cos[()()]()Taxtbxtaxtbxtut1212()(){cos[()]cos[()]}()aytbytaxtbxtut1212()()[()()]aytbytTaxtbxt即系统非线性()cos[()]()Txtxtut()cos[()]()ytxtut()[()]ytTxt即系统为时变系统由于任意时刻的输出只与时刻的输入有关，而与时刻以后的输入无关，所以系统是因果系统。所以，该系统是非线性、时变、因果系统。（2）()()[()cos]()ytTxtxttut111()()()cos()ytTxtxttut，222()()()cos()ytTxtxttut1212()()[()()]cos()Taxtbxtaxtbxttut1212()()[()()]cos()aytbytaxtbxttut1212()()[()()]aytbytTaxtbxt即系统线性()()cos()Txtxttut()()cos()()ytxttut()[()]ytTxt即系统为时变系统由于任意时刻的输出只与时刻的输入有关，而与时刻以后的输入无关，所以系统是因果系统。所以，该系统是线性、时变、因果系统。（3）()()()dxtytTxtdt111()()()dxtytTxtdt，222()()()dxtytTxtdt121212()()()()[()()]dxtdxtdTaxtbxtaxtbxtabdtdtdt1212()()()()dxtdxtaytbytabdtdt1212()()[()()]aytbytTaxtbxt即系统线性()()dxtTxtdt()()()()dxtdxtytdtdt()[()]ytTxt即系统为时不变系统由于任意时刻的输出只与时刻的输入的微分有关，而与时刻以后的输入无关，所以系统是因果系统。所以，该系统是线性、时不变、因果系统。(4)2()()()ytTxtxt2111()()()ytTxtxt，2222()()()ytTxtxt2222212121212()()[()()]()()2()()Taxtbxtaxtbxtaxtbxtabxtxt221212()()()()aytbytaxtbxt1212()