高一数学下学期知识点复习+经典例题(解析)

知识点复习知识点梳理（一）正弦定理：RCcBbAa2sinsinsin（其中R表示三角形的外接圆半径）适用情况：（1）已知两角和一边，求其他边或其他角；（2）已知两边和对角，求其他边或其他角。变形：①2sinaRA，2sinbRB，2sincRC②sin2aAR，sin2bBR，sin2cCR③sinsinsinabcABC=2R④::sin:sin:sinabcABC（二）余弦定理：2b=Baccacos222（求边），cosB=acbca2222（求角）适用情况：（1）已知三边，求角；（2）已知两边和一角，求其他边或其他角。（三）三角形的面积：①ahaS21；②AbcSsin21；③CBARSsinsinsin22；④RabcS4；⑤))()((cpbpappS；⑥prS（其中2abcp，r为内切圆半径）（四）三角形内切圆的半径：2Srabc，特别地，2abcr斜直（五）△ABC射影定理：AcCabcoscos，…（六）三角边角关系：（1）在ABC中，ABC；sin()ABsinC；cos()ABcosCcos2ABsin2C；2cos2sinCBA（2）边关系：a+bc，b+ca，c+ab，a－bc，b－ca，c－ab；（3）大边对大角：BAba考点剖析（一）考查正弦定理与余弦定理的混合使用例1、在△ABC中，已知Ａ＞Ｂ＞Ｃ,且Ａ=2Ｃ,8,4cab,求ca、的长.例1、解：由正弦定理，得CcAasinsin∵Ａ＝２Ｃ∴CcCasin2sin∴Ccacos2又8ca∴cccocC28①由余弦定理，得CCcCabbac222222cos1616cos4cos2②入②，得)舍(44或524516acac∴516524ca，例2、如图所示，在等边三角形中，,ABaO为三角形的中心，过O的直线交AB于M，交AC于N，求2211OMON的最大值和最小值．例2、【解】由于O为正三角形ABC的中心，∴33AOa，6MAONAO，设MOA，则233，在AOM中，由正弦定理得：sinsin[()]6OMOAMAO，∴36sin()6aOM，在AON中，由正弦定理得：36sin()6aON，∴2211OMON22212[sin()sin()]66a22121(sin)2a，∵233，∴3sin14，故当2时2211OMON取得最大值218a，所以，当2,33or时23sin4，此时2211OMON取得最小值215a．变式1、在△ABC中，角A、B、C对边分别为cba,,，已知bcaccaacb222,且，（１）求∠Ａ的大小；（２）求cBbsin的值变式1、解（１）∵bcaccaacb222,∴bcacb222在△ABC中，由余弦定理得2122cos222bcbcbcacbA∴∠Ａ＝060（２）在△ABC中，由正弦定理得abB060sinsin∵0260,Aacb∴2360sin60sinsin002cabcBb变式2、在中，为锐角，角所对的边分别为，且（I）求的值；（II）若，求的值。变式2、解（I）∵为锐角，∴ABCAB、ABC、、abc、、510sin,sin510ABAB21ababc、、AB、510sin,sin510AB2225310cos1sin,cos1sin510AABB253105102cos()coscossinsin.5105102ABABAB∵∴（II）由（I）知，∴由得，即又∵∴∴∴（二）考查正弦定理与余弦定理在向量与面积上的运用例3、如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA=2，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC。问：点B在什么位置时，四边形OACB面积最大？例3、解：设AOB，在△AOB中，由余弦定理得：2222cosABOAOBOAOBAOB2212212cos54cos于是，四边形OACB的面积为S=S△AOB+S△ABC213sin24OAOBAB1321sin(54cos)245353sin3cos2sin()434因为0，所以当32，56，即56AOB时，四边形OACB面积最大．例4、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，．（1）求角C的大小；（2）求△ABC的面积．例4、解：（1）由∴4cos2C－4cosC＋１＝０解得∵0°＜C＜180°,∴C=60°∴C＝60°（2）由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC即7＝a2＋b2－ab①又a＋b＝5∴a2＋b2＋2ab＝25②由①②得ab＝6∴S△ABC＝变式3、已知向量(,)macb，(,)nacba，且0mn，其中,,ABC是△0AB4AB34C2sin2CsinsinsinabcABC5102abc2,5abcb21ab221bb1b2,5ac7,5,272cos2sin42cbaCBA272cos2cos4,272cos2sin422CCCBA得21cosC233sin21CabABC的内角，,,abc分别是角,,ABC的对边.(1)求角C的大小；（2）求sinsinAB的取值范围.变式3、解：（1）由0mn得()()()0acacbba222abcab由余弦定理得2221cos222abcabCabab∵0C∴3C(2)∵3C∴23AB∴sinsinAB=2sinsin()3AA22sinsincoscossin33AAA33sincos22AA313(sincos)22AA3sin()6A∵203A∴5666A∴1sin()126A∴33sin()326A即3sinsin32AB.（三）考查三角形形状的判断例5、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,b=acosC,且△ABC的最大边长为12，最小角的正弦值为31。（1）判断△ABC的形状；（2）求△ABC的面积。例5、解：（1）b=acosC，由正弦定理，得sinB=sinAcosC,（#）B=)(CA,sinB=sin(A+C),从而（#）式变为sin(A+C)=sinAcosC，cosAsinC=0,又A，C),0(cosA=0，A=2，△ABC是直角三角形。（2）△ABC的最大边长为12，由（1）知斜边a=12，又△ABC最小角的正弦值为31，Rt△ABC的最短直角边为1231=4，另一条直角边为28S△ABC=28421=162变式4、在△ABC中，若BACBAcoscossinsinsin.(1)判断△ABC的形状；(2)在上述△ABC中，若角C的对边1c，求该三角形内切圆半径的取值范围。变式4、解：（1）由BACBAcoscossinsinsin可得12sin22C0cosC即C＝90°△ABC是以C为直角顶点得直角三角形（2）内切圆半径cbar211sinsin21BA212214sin22A内切圆半径的取值范围是212,0例7、在△ABC中，已知2abc，2sinsinsinABC，试判断△ABC的形状。所以abc，△ABC为等边三角形。变式8、在△ABC中，cos2B2＝a＋c2c，(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形∴a2＋c2－b22ac＝ac，∴a2＋c2－b2＝2a2，即a2＋b2＝c2，∴△ABC为直角三角形．答案：B变式9、△ABC中，若sinA=2sinBcosC，sin2A=sin2B+sin2C，试判断△ABC的形状。变式9、解:等腰直角三角形;数列知识点一：通项与前n项和的关系任意数列的前n项和；注意：由前n项和求数列通项时，要分三步进行：（1）求，（2）求出当n≥2时的，（3）如果令n≥2时得出的中的n=1时有成立，则最后的通项公式可以统一写成一个形式，否则就只能写成分段的形式.知识点二：常见的由递推关系求数列通项的方法1.迭加累加法：，则，，…，2.迭乘累乘法：，则，，…，知识点三：数列应用问题1.数列应用问题的教学已成为中学数学教学与研究的一个重要内容,解答数学应用问题的核心是建立数学模型,有关平均增长率、利率（复利）以及等值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型.2.建立数学模型的一般方法步骤.①认真审题，准确理解题意，达到如下要求：⑴明确问题属于哪类应用问题；⑵弄清题目中的主要已知事项；⑶明确所求的结论是什么.②抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量或适当建立坐标系，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达.③将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，据题意列出满足题意的数学关系式（如函数关系、方程、不等式）.规律方法指导1.由特殊到一般及由一般到特殊的思想是解决数列问题的重要思想；2.数列是一种特殊的函数，学习时要善于利用函数的思想来解决.如通项公式、前n项和公式等.3.加强数列知识与函数、不等式、方程、对数、立体几何、三角等内容的综合.解决这些问题要注意：（1）通过知识间的相互转化，更好地掌握数学中的转化思想；（2）通过解数列与其他知识的综合问题，培养分析问题和解决问题的综合能力.经典例题精析类型一：迭加法求数列通项公式1．在数列中，，，求.总结升华：1.在数列中，，若为常数，则数列是等差数列；若不是一个常数，而是关于的式子，则数列不是等差数列.2.当数列的递推公式是形如的解析式，而的和是可求的，则可用多式累（迭）加法得.举一反三：【变式1】已知数列，，，求.【变式2】数列中，，求通项公式.类型二：迭乘法求数列通项公式2．设是首项为1的正项数列，且，求它的通项公式.总结升华：1.在数列中，，若为常数且，则数列是等比数列；若不是一个常数，而是关于的式子，则数列不是等比数列.2．若数列有形如的解析关系，而的积是可求的，则可用多式累（迭）乘法求得.举一反三：【变式1】在数列中，，，求.【变式2】已知数列中，，，求通项公式.类型三：倒数法求通项公式3．数列中，,，求.总结升华：1．两边同时除以可使等式左边出现关于和的相同代数式的差，右边为一常数，这样把数列的每一项都取倒数，这又构成一个新的数列，而恰是等差数列.其通项易求，先求的通项，再求的通项.2．若数列有形如的关系，则可在等式两边同乘以，先求出，再求得.举一反三：【变式1】数列中，，，求.【变式2】数列中，,，求.类型四：待定系数法求通项公式4．已知数列中，，，求.总结升华：1．一般地，对已知数列的项满足，（为常数，）,则可设得，利用已知得即，从而将数列转化为求等比数列的通项.第二种方法利用了递推关系式作差，构造新的等比数列.这两种方法均是常用的方法.2．若数列有形如（k、b为常数）的线性递推关系，则可用待定系数法求得.举一反三：【变式1】已知数列中，，求【变式2】已知数列满足,而且，求这个数列的通项公式.类型五：和的递推关系的应用5．已知数列中，是它的前n项和，并且,.(1)设,求证：数列是等比数列；(2)设，求证：数列是等差数列；(3)求数列的通项公式及前n项和.总结升华：该题是着眼于数列间的相互关系的问题，解题时