高三数列题(经典提高)

2015高考数列经典题型1)设数列{an}的前n项和为Sn，数列{Sn}的前n项和为Tn，满足Tn＝2Sn－n2，n∈N*.(1)求a1的值；(2)求数列{an}的通项公式．解(1)当n＝1时，T1＝2S1－12.因为T1＝S1＝a1，所以a1＝2a1－1，解得a1＝1.(2)当n≥2时，Sn＝Tn－Tn－1＝2Sn－n2－[2Sn－1－(n－1)2]＝2Sn－2Sn－1－2n＋1，所以Sn＝2Sn－1＋2n－1，①所以Sn＋1＝2Sn＋2n＋1，②②－①得an＋1＝2an＋2.所以an＋1＋2＝2(an＋2)，即an＋1＋2an＋2＝2(n≥2)．(*)当n＝1时，a1＋2＝3，a2＋2＝6，则a2＋2a1＋2＝2.所以，当n＝1时，适合(*)式所以{an＋2}是以3为首项，2为公比的等比数列．则an＋2＝3·2n－1，所以an＝3·2n－1－2.2、各项均为正数的等比数列{an}中，已知a2=8,a4=128,bn=log2an.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列{bn}的前n项和Sn(3)求满足不等式20131007)11()11()11(32nSSS的正整数n的最大值【答案】解：（1）∵等比数列{an}的各项为正，a2=8,a4=128设公比为q∴168128242aaqq=4a1=2∴an=a1qn-1=2×14n=122n(4分)（2）∵122loglog1222nabnnn∴nnbbbS21=22)121()12(31nnnn（8分）（3）∵（1-)1-131-121-1)11()11()122232nSSSn（））（（=54322321nnnnnnnn11112=nn21∴2013100721nn∴n≤2013∴n的最大值为2013（12分）3、已知单调递增的等比数列{an}满足：a2＋a3＋a4＝28，且a3＋2是a2和a4的等差中项．1)求数列{an}的通项公式an；2)令bn＝anlog12an，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，求使Sn＋n·2n＋150成立的最小的正整数n.解(1)设{an}的公比为q，由已知，得a2＋a3＋a4＝28，2a3＋2a2＋a4，∴a3＝8，a2＋a4＝20，即a1q2＝8，a1q＋a1q3＝20，解得a1＝2，q＝2或a1＝32，q＝12.(舍去)∴an＝a1qn－1＝2n，(2)bn＝2nlog122n＝－n·2n，设Tn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，①则2Tn＝1×22＋2×23＋…＋(n－1)×2n＋n×2n＋1，②①－②得－Tn＝(2＋22＋…＋2n)－n×2n＋1＝－(n－1)·2n＋1－2，∴Sn＝－Tn＝－(n－1)×2n＋1－2，由Sn＋n·2n＋150，得－(n－1)·2n＋1－2＋n·2n＋150，则2n26，故满足不等式的最小的正整数n＝5.4)已知等比数列{an}满足an＋1＋an＝9·2n－1，n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列{an}的前n项和为Sn，若不等式Sn＞kan－2对一切n∈N*恒成立，求实数k的取值范围．1．解析：(1)设等比数列{an}的公比为q，∵an＋1＋an＝9·2n－1，n∈N*，∴a2＋a1＝9，a3＋a2＝18，∴q＝a3＋a2a2＋a1＝189＝2，∴2a1＋a1＝9，∴a1＝3.∴an＝3·2n－1，n∈N*.(2)由(1)，知Sn＝a11－qn1－q＝31－2n1－2＝3(2n－1)，∴不等式3(2n－1)＞k·3·2n－1－2，即k＜2－13·2n－1对一切n∈N*恒成立．令f(n)＝2－13·2n－1，则f(n)随n的增大而增大，∴f(n)min＝f(1)＝2－13＝53，∴k＜53.∴实数k的取值范围为－∞，53.5)已知数列{an}的相邻两项an，an＋1是关于x的方程x2－2nx＋bn＝0的两根，且a1＝1.(1)求证：数列an－13·2n是等比数列；(2)求数列{an}的前n项和Sn；(3)设函数f(n)＝bn－t·Sn(n∈N*)，若f(n)＞0对任意的n∈N*都成立，求实数t的取值范围．解：(1)∵an＋an＋1＝2n，∴an＋1－13·2n＋1＝－an－13·2n，∵a1－13·2＝13≠0，∴an＋1－13·2n＋1an－13·2n＝－1，∴an－13·2n是首项为13，公比为－1的等比数列，且an＝13[2n－(－1)n]．(2)由(1)，得Sn＝a1＋a2＋…＋an＝13(2＋22＋…＋2n)－13[(－1)＋(－1)2＋…＋(－1)n]＝1321－2n1－2＋11n1＋1＝132n＋1－2－－11n2＝2n＋13－23，n为偶数，2n＋13－13，n为奇数.(3)∵bn＝an·an＋1，∴bn＝19[2n－(－1)n][2n＋1－(－1)n＋1]＝19[22n＋1－(－2)n－1]，∵bn－t·Sn＞0，∴19[22n＋1－(－2)n－1]－t·132n＋1－2－1n－12＞0.∴当n为奇数时，19(22n＋1＋2n－1)－t3(2n＋1－1)＞0，∵t＜13(2n＋1)对任意的n为奇数都成立，∴t＜1.∴当n为偶数时，19(22n＋1－2n－1)－t3(2n＋1－2)＞0，∴19(22n＋1－2n－1)－2t3(2n－1)＞0，∵t＜16(2n＋1＋1)对任意的n为偶数都成立，∴t＜32.综上所述，实数t的取值范围为(－∞，1)．6）已知数列na中，13a，132nnnaa，*nN.（1）证明数列2nna是等比数列，并求数列na的通项公式；（2）在数列na中，是否存在连续三项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项；若不存在，请说明理由；（3）若1rs且r，*sN，求证：使得1a，ra，sa成等差数列的点列,rs在某一直线上.解：（1）将已知条件132nnnaa变形为1122nnnnaa……1分由于123210a，则12211nnnnaa（常数）……3分即数列2nna是以1为首项，公比为1的等比数列……4分所以1)1(12nnna1)1(n，即nna21)1(n（*Nn）。……5分（2）假设在数列na中存在连续三项成等差数列，不妨设连续的三项依次为1ka，ka，1ka（2k，*kN），由题意得，112kkkaaa，将1)1(2kkka，211)1(2kkka，kkka)1(211代入上式得……7分])1(2[])1(2[])1(2[21211kkkkkk………………8分化简得，21)1(42kk，即11)1(42kk，得4)2(1k，解得3k所以，存在满足条件的连续三项为2a，3a，4a成等比数列。……10分（3）若1a，ra，sa成等差数列，则12rsaaa即11)1(23])1(2[2ssrr，变形得3)1()1(222111srrs……11分由于若r，*sN且1rs，下面对r、s进行讨论：①若r，s均为偶数，则0221rs，解得1rs，与1rs矛盾，舍去；②若r为奇数，s为偶数，则0221rs，解得1rs；③若r为偶数，s为奇数，则0221rs，解得1rs，与1rs矛盾，舍去；④若r，s均为奇数，则0221rs，解得1rs，与1rs矛盾，舍去；综上①②③④可知，只有当r为奇数，s为偶数时，1a，ra，sa成等差数列，此时满足条件点列,rs落在直线1xy（其中x为正奇数）上。7、已知数列na满足*111,21().nnaaanN（I）求数列na的通项公式；（II）若数列{bn}滿足12111*444(1)(),nnbbbbnanN证明：数列{bn}是等差数列；（Ⅲ）证明：*122311...().232nnaaannnNaaa（I）解：*121(),nnaanN112(1),nnaa1na是以112a为首项，2为公比的等比数列。12.nna即2*21().nanN（II）证法一：1211144...4(1).nnkkkkna12(...)42.nnkkknnk122[(...)],nnbbbnnb①12112[(...)(1)](1).nnnbbbbnnb②②－①，得112(1)(1),nnnbnbnb即1(1)20,nnnbnb21(1)20.nnnbnb③－④，得2120,nnnnbnbnb即2120,nnnbbb*211(),nnnnbbbbnNnb是等差数列。（III）证明：1121211,1,2,...,,12212(2)2kkkkkkakna12231....2nnaaanaaa111211111111.,1,2,...,,2223212(21)3.2222kkkkkkkkakna1222311111111...(...)(1),2322323222nnnnaaannnaaa*122311...().232nnaaannnNaaa8、设项数均为k（*2,kkN）的数列}{na、}{nb、}{nc前n项的和分别为nS、nT、nU.已知集合1212{,,,,,,,}kkaaabbb={2,4,6,,42,4}kk.（1）已知nnnU22，求数列}{nc的通项公式；（2）若22nnnSTn*(1,)nknN，试研究4k和6k时是否存在符合条件的数列对（}{na，}{nb），并说明理由；（3）若*2(1,)nnabnnknN，对于固定的k，求证：符合条件的数列对（}{na，}{nb）有偶数对.解：（1）1n时，411Uc2n时，111222)1(222nnnnnnnnUUc，41c不适合该式故，14,122,2nnncnk………………………………………………………（2）11114abST，2n时，1111()()()()nnnnnnnnnnabSSTTSTST11222(1)222nnnnn……………………当4k时，114ab，224ab，336ab，4410ab12341234{,,,,,,,}aaaabbbb={2,4,6,8,10,12,14,16}数列}{na、}{nb可以为（不唯一）：①6,12,16,14；2,8,10,4②16,10,8,14；12,6,2,4②当6k时，11122222(11)kkkkkab01221111112kkkkkkkCCCCC012211122()4kkkCCCkk(1)(4)44kkkk此时ka不存在.故数列对（}{na，}{nb）不存在.另证：1122224284kkkkkabkk当6k时，012101222()kkkkkkkkkkkCCCCCCCC2284kkk（3）令42nndkb，42nneka（*1,nknN）(42)(42)2nnnnnn