高一数学函数应用题专题[整理] 2

数学应用问题，就是指用数学的方法将一个表面上非数学问题或非完全的数学问题转化成完全形式化的数学问题。求解数学应用问题的思路和方法，我们可以用示意图表示为：实际问题建立数学模型①分析、联想抽象、转化数学结果实际结果③反演④答②数学方法就是采用数学的方法，解决数学模型所表达的数学问题。这一步可以称之为数学解决。就是将数学结论转译成实际问题的结论。这一步可以称之为实际化。就是对实际问题的结论作出回答。应以审题(即明确题意)开始，通过分析和抽象找出题设与结论的数学关系，建立合理的数学模型。这一步可以称之为数学化。实际问题建立数学模型①分析、联想抽象、转化第①步：实际结果数学结果第③步：③反演实际结果实际问题第④步：④答第②步：数学模型数学结果②数学方法1.某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0＜x＜1)，则出厂价相应提高的比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x．已知年利润=（出厂价–投入成本）年销售量．（Ⅰ）写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；（Ⅱ）为使本年度的年利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？解：（Ⅰ）由题意得，)10()6.01(1000)]1(1)75.01(2.1[xxxxy整理得：)10(20020602xxxy（Ⅱ）要保证本年度的利润比上年度有所增加，必须.10,01000)12.1(xy即.10,020602xxx解不等式得．310x答：为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例应满足0＜x＜0.33．2.某地区上年度电价为0.8元/kW·h，年用电量为akW·h.本年度计划将电价降到0.55元/kW·h至0.75元/kW∙h之间，而用户期望电价为0.4元/kW·h.经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为k）。该地区电力的成本价为0.3元/kW·h。(Ⅰ)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式；(Ⅱ)设k=0.2a,当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%?（注：收益=实际用电量(实际电价成本价)）解：(Ⅰ)设下调电价为x元／kw•h,则新的用电量为———+a.kX–0.4∴y=(———＋a)(x－0.3)(0.55≤x≤0.75)kx－0.4(Ⅱ)由题意知(———＋a)(x－0.3)≥a(0.8－0.3)(1＋20％)kx－0.4即x²－1.1x＋0.3≥0∴x≤0.5或x≥0.6又0.55≤x≤0.75∴0.6≤x≤0.75∴当电价最低定为0.6元／kw·h时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20％.3.某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示。（Ⅰ）写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式;写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式；（Ⅱ）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？（注：市场售价各种植成本的单位：元/102㎏，时间单位：天）)(tgQ)(tfpy=at＋b则b=300∵100=200a＋b∴a=－1100=200a＋ba=2300=300a＋bb=－300y=a(x－150)2＋100a＝1／200解：（Ⅰ）由图一可得市场售价与时间的函数关系为300t2003002200,t0,300)(tttf由图二可得种植成本与时间的函数关系为300t0,100)150(2001)(2ttg（Ⅱ）设时刻的纯收益为h(t),则由题意得h(t)=f(t)－g(t)即h(t)=300t200,21025272001-200,t0,217521200122tttt当0≤t≤200时，配方整理得100)50(20012th(t)=∴当t=50时，h(t)取得区间[0，200]上的最大值100；当200＜t≤300时，配方整理得100)350(20012th(t)=∴当t=300时,取得区间（200，300］上的最大值87.5综上，由100＞87.5可知，在区间[0，300]上可以取得最大值100，此时t=50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大。4、我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采用价格调控手段来达到节约用水的目的，某市用水收收费的方法是：水费=基本费+损耗费+超额费若每月用水量不超过最低限量am3时，只付基本费8元和每户每月的定额损耗费c元；若用水量超过am3时，除了付同上的基本费和损耗费外，超过部分每m3付b元的超额费，已知每户每月的定额损耗费不超过5元。该市一家庭今年第一季度的用水量和支付费用如下表所示：月份用水量（m3）水费（元）（1）根据上表中的数据，求a、b、c；（2）若用户四月份用水量为30立方米，应交水费多少元？月份123用水量（m3）91522水费（元）91933解：设每月用水量为xm3，支付费用为y元，则：0≤x≤a①（x＞a）②y=)(88axbcc由题意知0＜C≤5∴8+C≤13答：a、b、c的值依次为10，2，1；四月份应交水费49元。（2）四月份应交水费为:8+1+2(30-10)=49(元)故a=10，b=2，c=1∴一月份的付款方式应选①式，由8+c=9得c=1不妨设9＞a，将x=9代入②得9=8+c+2（9－a）∴2a=c+17与③矛盾∴9≤a再分析一月份的用水量是否超过最低限量2)22(833)15(819babcabc∴2a=c+19③由表知第二、三月份的费用均大于13元，故用水量15m3，22m3均大于最低限量am3，将x=15，x=22分别代入②，得5.某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池（平面图如下图），由于地形限制，长、宽都不能超过16米。如果池四周围壁建造单价为每米长400元，中间两道隔墙建造单价为每米长248元，池底建造单价为每平方米80元，池壁的厚度忽略不计。试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价。解：设污水池长为x，则宽为x200依题意：0＜x≤16x2000＜≤16解之得：12.5≤x≤16y＝400(x＋)×2＋2×248×＋80×200x200x200∴总造价y为＝800(x＋)＋16000x324令u＝x＋x324设165.1221xx＜)11(324)(212121xxxxuu－＋－＝－则212121324)(xxxxxx－－＝∵165.1221xx＜021＜－xx032432416021221＜－＜＜＜xxxx21210uuuu＞即＞－45000160008290800min＝＋＝y答：当污水长为16米，宽为12.5米时；总造价最低为45000元.∴u＝16时82901632416min＝＋＝u∴u＝x＋x324在区间［12.5,16］上是减函数6.一辆新汽车使用一段时间后，就值不到原来的价钱了。假若一辆新车价值18万元，按下列方式贬值：每年的车价是原来的。问：购买18个月后，此车贬值多少？从购买日起t个月后呢？（贬值量Q＝原价P－汽车现在价值W）解：先建立汽车的现价W与使用时间t（t以月为单位）的函数关系W＝f（t）。当t＝0时，即刚买来，显然f（0）＝180000；当t＝12时，即买了一年，f（12）＝180000×＝120000；32当买了两年后，f（24）＝180000×＝80000；232一般地，f（12×n）＝180000×。n32设t＝12n，则f（t）＝180000×。1232t3218个月后，W＝180000×＝98000，2332Q＝180000－98000＝82000，即贬值了82000元。从购买日起t个月后，Q＝180000×。12321t7.某工厂生产一种机器的固定成本为5000元，且每生产100部需要增加投入2500元，对销售市场进行调查后得知，市场对此产品的需求量为每年500部，已知销售收入的函数为H（x）=500x－x2其中x是产品售出的数量，且0≤x≤500（1）若x为年产量，y表示利润，求y=f(x)的解析式；（2）当年产量为何值时，工厂的年利润最大，其最大值是多少？（3）当年产量为何值时，工厂有盈利（已知：=4.65）215625.21解：（1）当0≤x≤500时，产品全部售出；当x＞500时，产品只能销售500部，故利润函数为：125000－(5000+25x)(x500)f(x)=500x－x2－(5000+25x)(0≤x≤500)21（2）当0≤x≤500时，f(x)=－0.5(x－475)2+107812.5;当x500时，f(x)=120000－25x120000－12500，即f(x)107500故当年产量为475部时，利润最大，最大利润为107812.5元。（3）由题意，得0≤x≤500－0.5x2+475x－50000或x500120000－25x0解得10＜x≤500或500＜x＜4800，∴10＜x＜4800.故当年产量在10部到4800部时,工厂盈利.解：（1）若按原来投资环境不变，则由10)40(16012xP知当x=40时，=10.最大P即每年只需从60万元专款中拿出40万元投资，可获最大利润10万元，这10年的总利润的最大值为8.某地区地理位置偏僻，严重制约经济发展，某种土特产品只能在本地销售，该地区政府每投资x万元，所获利润为万元。为顺应开发大西北的宏伟决策，拟开发此种土特产品，而开发前后用于该项目投资的专项财政拨款每年都是60万元。若开发该产品，必须在前5年中，每年从60万元专款中拿出30万元投资修通一条公路，且5年可以修通。公路修通后该土特产品在异地销售，每投资x万元，可获利润问从十年的总利润来看，该项目有无开发价值？10)40(16012xP)60(2119)60(1601592xxQ万元。（2）若对该产品开发前5年每年可用于对该产品的投资只有30万元，而函数在(0,30］上递增，10)40(16012xP所以当x=30时，=。最大P875前5年的总利润为（万元）。837558751W设在后5年中，x万元用于本地销售投资，60-x万元用于异地销售投资，则总利润为]900)30([55]2119160159[5]10)40(1601[2222xxxxW当x=30时，W2有最大值4500。∴十年的总利润有最大值：+4500（万元）。8375而+4500＞100，8375故该项目具有极大的开发价值。W=10×10=100（万元）。9.某商品在近30天内每件的销售价格P(元)与时间t(天)的函数关系是:t+20(0t25,t∈N)P=－t+100(25≤t≤30,t∈N)该商品的日销售量Q(件)与时间t(天)的函数关系是:Q=－t+40(0t≤30,t∈N),求这种商品的日销售金额的最大值.解:设日销售金额为y元,则y=P·Q，y=(t+20)(－t+40)(0t25,t∈N)(－t+100)(－t+40)(25≤t≤30,t∈N)当0＜t＜25,t∈N时，y=－t2+20t+800=－(t－10)2+900,∴t=10时，ymax=900(元)当25≤t≤30，t∈N时，y=t2－140t+4000=(t－70)2－900,∴t=25时，ymax=1125（元）综上所述，这种商品日销售额的最大值为1125元。10.市场营销人员对过去几年某商品的价格及销售数量的关系作