高三数学三角函数复习专题

专题复习三角函数[名师导学]内容剖析:三角函数是中学数学的重要内容之一,它是解决生产、科研实际问题的工具,又是进一步学习其它相关知识和高等数学的基础,它在物理学、天文学、测量学以及其它各种应用技术学科中有广泛的应用.现在的试验修订本教材主要内容有:任意角的三角函数、两角和与差的三角函数、三角函数的图象和性质以及三角函数知识在解斜三角形中的应用.重点难点:重点是:(1)三角函数的概念;(2)同角三角函数的基本关系式、诱导公式、两角和（差）、二倍角公式的推导及其在化简、求值、证明和解决一些实际问题中的应用;(3)正弦函数的图象和性质;(4)正弦定理与余弦定理在解斜三角形以及一些实际问题中的应用.难点是众多的三角公式及其在三角恒等变形中应用,函数y=Asin(ωx+φ)的图象,三角函数问题与其它数学知识之间的联系与相互转化.突破难点的关键在于:(1)对学过的公式做到真正理解,记准、记熟、用活,做到需要公式时顺手拈来;(2)深刻理解与掌握函数的基础理论,再结合三角函数本身的特点,准确理解和掌握三角函数的有关概念;(3)注意化归思想,数形结合思想以及变换思想在解题中的运用.［命题趋势］1.高考纵览:纵观近十年来的全国高考试题,三角函数部分的分值约占全卷分值的16％,其中三角函数的解答题出现的机率为50％,其余多为选择题与填空题.2.热点分析:高考中有关本章的热点问题大致有以下几种:(1)与三角函数图象有关的问题;(2)与三角函数的单调性有关的问题;(3)与三角函数的周期性有关的问题;(4)与三角函数的最值有关的问题;(5)与三角函数求值有关的问题;(6)与三角形有关的三角函数问题.高考中对本章的考查体现以下一些特点:(1)高考中重视对三角函数图象的考查.主要考查三角函数图象的平移变换、伸缩变换.能够根据三角函数的解析式画出简图,根据图象写出解析式.高考中有关三角函数的单调性、周期性、最值问题以及解简单三角不等式问题大多可以与图象联系起来.由于三角函数线与三角函数图象一样,是三角函数的一种几何表示，因此也要注意三角函数线在解决高考中有关比较三角函数值大小和解简单三角不等式问题中的独到作用.(2)与三角函数的单调性、周期性、最值有关的问题以及与三角函数的求值有关的问题,通常都需要先对三角式进行适当的三角恒等变形,达到“化一”标准(即一个名,一个角,对于周期性问题还意味着一次方),(3)有关三角恒等变形的试题以能力立意,重视三角公式的选取与合理运用.(4)三角形中的三角函数问题的解决不仅需要熟练的三角变形能力,还需要应用三角形内的正弦定理、余弦定理以及三角形内角和定理等,因此有一定的难度.3.命题趋势:近几年高考降低了对三角变换的考查要求,抛弃了对复杂三角变换和特殊技巧的考查,而重点转移到对三角函数的图象和性质的考查以及对基础知识和基本技能的考查上来,加强了对数形结合思想的考查,对三角函数的综合问题考查有向三角形中问题伸展的趋势.2004年作为全国大面积使用新教材的学生参加高考的第二年,高考命题一定会顺应新教材的基本精神,在考查难度上有所降低,考查题目将以选择题与填空题形式出现,但也有可能出现解法较简单的解答题.4.应试策略:(1)立足课本、夯实基础,在基本概念,基本公式,三角函数的基本性质的应用和基本计算、基本推理问题上下功夫,重在掌握通解通法,对过于复杂的三角变换和需要特殊技巧才能解决的题目要少做.(2)注意突出方法与思维训练、注意数学思想的渗透以及与数学其它分支的综合训练,提高分析和解决一些实际问题的能力.考点28三角函数的定义[考点聚焦]1.理解任意角的概念、弧度的意义,能正确进行弧度与角度的换算.2.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义,了解任意角余切、正割、余割的定义.3.会利用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦和正切.[知识回顾]1.(2001.全国.理)若sinθcosθ0,则θ在(B)A.第一、二象限B.第一、三象限C.第一、四象限D.第二、四象限2.(2000.全国.文理)已知sinαsinβ,那么下列命题成立的是(D)A.若α、β是第一象限的角,则cosαcosβB.若α、β是第二象限的角,则tanαtanβC.若α、β是第三象限的角,则cosαcosβD.若α、β是第四象限的角,则tanαtanβ3.(2002.全国.春招)若角α满足sin2α0,cosα-sinα0则α在(B)A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.(1994.全国.文理)设θ是第二象限角,则必有(A)A.tan2θcot2θB.tan2θcot2θC.sin2θcos2θD.sin2θcos2θ5.(1993.上海)已知角的顶点与直角坐标系的原点重合,始边在x轴的非负半轴上,终边经过点P(-1,2),则sin(2α+32)=10334.6.设0α2,则的tanα、sinα、α大小关系是sinααtanα.[典例剖析]例1.已知是第四象限的角,求2、3、2α、-α、180-α、180+α角的终边所在象限(或所在坐标轴)解:∵α是第四象限角,∴k3600+2700αk3600+3600,k∈Z(1)k1800+13502k1800+1800,k∈Z当k=2n,n∈Z时,2在第二象限,当k=2n+2,n∈Z时,2在第四象限∴2在第二或第四象限.(2)k1200+9003k1200+1200,k∈Z当k=3n,n∈Z时,n3600+9003n3600+1200,则3在第二象限,当k=3n+1,n∈Z时,n3600+21003n3600+2400,则3在第三象限,当k=3n+2,n∈Z时,n3600+33003n3600+3600,则3在第四象限,∴3是第二或第三或第四象限角(3)k7200+54002αk7200+7200,k∈Z∴2α是第三或第四象限角或终边在y轴的非正半轴上,(4)-k3600-3600-α-k3600-2700,k∈Z∴-α是第一象限角,(5)-k3600-18001800-α-k3600-900,k∈Z∴180-α是第三象限角,(6)k3600+45001800+αk3600+5400,k∈Z∴180+α是第二象限角,(4)(5)(6)另解:α是第四象限角,-α的终边与的α终边关于x轴对称,∴-α是第一象限角.而180-的终边与α的终边关于y轴对称,∴180-是第三象限角,又180+α的终边与α的终边关于原点对称(或说互为反向延长线),∴180+α是第二象限角.例2.若θ终边与y=-2|x|的图象重合,求θ的各个三角函数值.解:由已知可得,θ的终边是射线y=-2x(x≥0)或y=2x(x≤0)(1)若θ的终边为射线y=-2x(x≥0),在终边上取点P(1，-2),得OP=22)2(1=5,∴sinθ=52=-552,cosθ=51=55,tanθ=12=-2,cotθ=21=-21,secθ=15=5,cscθ=25=-25.(2)若θ的终边为射线y=2x(x≤0),在终边上取点P(-1,-2),得OP=22)2()1(=5,∴sinθ=52=-552,cosθ=51=-55tanθ=12=2,cotθ=21=21,secθ=15=-5,cscθ=25=-25.例3.圆心在原点,半径为R的圆交轴正半轴于点A,P、Q是圆上两个动点,它们同时从A点出发沿圆周作匀速运动,点P逆时针方向每秒转3,点Q顺时针方向每秒转6,试求它们出发的第五次相遇时的位置及各自走过的弧长.解:易知,动点P、Q由第k次相遇到第k+1次相遇所走过的弧长之和恰好等于圆的一个周长2πR,因此,当它们第5次相遇时走过的弧长之和为10πR.设动点P、Q自A出发到第5次相遇走过的时间为秒,走过的弧长分别为l、m,则l=3tR,m=|-6|tR=6tR,则l+m=3tR+6tR=10πR,∴t=)63(10R=20(秒)∴l=320R,m=310R.由些可知,动点P转过的角度为320=6π+32,设第5次相遇在M点处,点M的坐标为(-21R,23R),这时点P、Q走过的弧长分别是320R和310R.[归纳总结]1.有关任意角的概念,要注意以下问题:(1)区分终边相同的角和相等的角;(2)区分象限角、轴线角与区间角;(3)熟悉与角α共终边的角的集合{β|β=2kπ+α,k∈Z},与角α的终边在同一直线上的角的集合{β|β=kπ+α,k∈Z},与角α的终边在同一直线上或与角α的终边垂直的角的集合{β|β=2k+α,k∈Z}.2.已知角α所在象限,应熟悉2所在象限.α第一象限第二象限第三象限第四象限2第一或第三象限第二或第四象限3.注意角度与弧度的换算,掌握弧长公式与扇形面积公式.4.重视三角函数线在比较三角函数值大小及解简单三角不等式等方面的应用.[应用创新]1.已知一个扇形的周长为c,当扇形的半径和中心角分别多大时,扇形面积最大?解:设扇形的弧长为l,半径为r,则有l+2r=c,即l=c-2r(0r2c).于是扇形面积是s=21lr=21(c-2r)r=-(r-4c)2+162c当r=4c时,Smax=162c.此时,l=c-2r=2c,故圆心角α=42cc=2(弧度).2.求函数y=logtanx(1-2sinx)的定义域解:据题意,有02sin211tan0tanxxx即)3(212sin)2(1tan)1(0tanxxx由(1)和(2)得,x在第一、三象限且x终边不在一、三象限角平分线上,故有x∈(kπ,kπ+4)∪((kπ+4,kπ+2),k∈Z(4)利用单位圆中的正弦线解(3)得2kπ-672x2kπ+6,k∈Z.∴kπ-127xkπ+12,k∈Z(5)又利用单位圆表示(4)和(5)的范围,可得(4)与(5)的交集为(2kπ-127,2kπ-2)∪(2kπ,2kπ+12)∪(2kπ+125,2kπ+2)∪(2kπ+π,2kπ+1213),k∈Z[考点训练]1.若α为第一象限角,那么sin2α、cos2α、sin2、cos2中必为正值的有(B)A.0个B.1个C.2个D.3个2.设角的终边经过点P(-6a,-8a)(a≠0),则sinα-cosα=(D)A.51B.-51C.-51或-57D.-51或513.把411表示成2kπ+θ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的的值是(A)A.43B.4C.4D.434.若扇形半径是r,中心角是α(弧度),则其面积是(A)A.21r2αB.21r2α2C.21rαD.21rα25.(1992.全国.文)在[0,2π]内满足sinx≥21的x的取值范围是(B)A.[0,6]B.[6,65]C.[6,32]D.[65,π]6.若θ是第二象限角,则sin(cosθ)cos(sinθ)符号为负(填正或负)7.已知集合A={α|α=2kπ±32,k∈Z},B={β|β=4kπ±32,k∈Z},A={γ|γ=kπ±32,k∈Z},则这三个集合之间的关系是BAC.8.已知θ为锐角，试证明1sinθ+cosθ≤2.证法-：令P(x,y)是角θ终边上一点，依题意有x0,y0,由三角函数定义，有sinθ+cosθ=22yxy+22yxx=22yxyx=222)(yxyx=222)(2yxyx.∵222(yxyx≥0,∴sinθ+cosθ≤2又∵sinθ+cosθ=2221yxxy,且222yxxy0∴sinθ+cosθ1综上，得1sinθ+cosθ≤2.证法二：sinθ+cosθ=2sin(θ+4),∵θ为锐角,∴4θ+443,∴22sin(θ+4)≤1,∴1sinθ+cosθ≤2.9.求函数y=lg(3-4sin2x)+29x的定义域.解:由题意知090s