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第21课时相似三角形及其应用考点聚焦考点1相似图形的有关概念考点聚焦归类探究回归教材第21课时┃相似三角形及其应用相似图形形状相同的图形叫做相似图形相似多边形定义如果两个多边形满足对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似相似比相似多边形对应边的比称为相似比(一般用k表示)相似三角形两个三角形的对应角相等，对应边成比例，则这两个三角形相似．当相似比k＝1时，两个三角形全等考点2比例线段第21课时┃相似三角形及其应用定义防错提醒比例线段对于四条线段a，b，c，d，如果________(或a∶b＝c∶d)，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段求两条线段的比时，对这两条线段要用同一长度单位ab＝cd考点聚焦归类探究回归教材第21课时┃相似三角形及其应用一条线段的黄金分割点有______个黄金分割在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC(AC＞BC)，如果BCAC＝ACAB，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比，黄金比为________0.618两考点聚焦归类探究回归教材考点3平行线分线段成比例定理1．定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比________．2．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段的比________．第21课时┃相似三角形及其应用相等相等考点聚焦归类探究回归教材第21课时┃相似三角形及其应用考点4相似三角形的判定判定定理1平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形________判定定理2如果两个三角形的三组对应边的________相等，那么这两个三角形相似判定定理3如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的____________相等，那么这两个三角形相似判定定理4如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应________，那么这两个三角形相似拓展直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似相似比夹角相等考点聚焦归类探究回归教材第21课时┃相似三角形及其应用考点5相似三角形的性质三角形(1)相似三角形周长的比等于相似比(2)相似三角形面积的比等于相似比的平方(3)相似三角形对应高、对应角平分线、对应中线的比等于相似比相似多边形(1)相似多边形周长的比等于相似比(2)相似多边形面积的比等于相似比的平方考点聚焦归类探究回归教材第21课时┃相似三角形及其应用考点6位似位似图形定义两个多边形不仅相似，而且对应顶点间连线相交于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心位似与相似的关系位似是一种特殊的相似，构成位似的两个图形不仅相似，而且对应点的连线相交于一点，对应边互相平行位似图形的性质(1)位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离的比等于________；(2)位似图形对应点的连线或延长线相交于________点；(3)位似图形对应边______(或在一条直线上)；(4)位似图形对应角相等相似比一平行考点聚焦归类探究回归教材第21课时┃相似三角形及其应用以坐标原点为中心的位似变换在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于________位似作图形(1)确定位似中心O；(2)连接图形各顶点与位似中心O的线段(或延长线)；(3)按照相似比取点；(4)顺次连接各点，所得图形就是所求的图形k或－k考点聚焦归类探究回归教材第21课时┃相似三角形及其应用考点7相似三角形的应用几何图形的证明与计算常见问题证明线段的数量关系，求线段的长度，图形的面积等相似三角形在实际生活中的应用建模思想建立相似三角形模型常见题目类型(1)利用投影、平行线、标杆等构造相似三角形求解；(2)计算从底部能直接测量的物体的高度；(3)计算从底部不能直接测量的物体的高度；(4)计算不能直接测量的河的宽度考点聚焦归类探究回归教材归类探究探究一比例线段命题角度：1.比例线段；2.黄金分割在实际生活中的应用；3.平行线分线段成比例定理．第21课时┃相似三角形及其应用考点聚焦归类探究回归教材例1[2013·上海]如图21－1，已知在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD∶DB＝3∶5，那么CF∶CB等于()A．5∶8B．3∶8C．3∶5D．2∶5第21课时┃相似三角形及其应用图21－1A考点聚焦归类探究回归教材第21课时┃相似三角形及其应用解析先由AD∶DB＝3∶5，求得BD∶AB的长，再由DE∥BC，根据平行线分线段成比例定理，可得CE∶AC＝BD∶AB，然后由EF∥AB，根据平行线分线段成比例定理，可得CF∶CB＝CE∶AC，则可求得答案．具体解题过程如下：∵AD∶DB＝3∶5，∴BD∶AB＝5∶8.∵DE∥BC，∴CE∶AC＝BD∶AB＝5∶8，∵EF∥AB，∴CF∶CB＝CE∶AC＝5∶8.故选A.考点聚焦归类探究回归教材探究二相似三角形的性质及其应用命题角度：1.利用相似三角形性质求角的度数或线段的长度；2.利用相似三角形性质探求比值关系．例2如图21－2，△ABC是一张锐角三角形硬纸片，AD是边BC上的高，BC＝40cm，AD＝30cm，从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH，使它的一边EF在BC上，顶点G，H分别在AC，AB上，AD与HG的交点为M.第21课时┃相似三角形及其应用考点聚焦归类探究回归教材第21课时┃相似三角形及其应用(1)求证：AMAD＝HGBC；(2)求矩形EFGH的周长．图21－2解析(1)证明△AHG∽△ABC，根据相似三角形对应高的比等于相似比，证明结论．(2)设HE＝x，则HG＝2x，利用第一问中的结论求解．考点聚焦归类探究回归教材第21课时┃相似三角形及其应用解：(1)证明：∵四边形EFGH为矩形，∴EF∥GH.∴∠AHG＝∠ABC.又∵∠HAG＝∠BAC，∴△AHG∽△ABC，∴AMAD＝HGBC.(2)由(1)得AMAD＝HGBC.设HE＝x，则HG＝2x，AM＝AD－DM＝AD－HE＝30－x.可得30－x30＝2x40，解得x＝12，2x＝24.所以矩形EFGH的周长为2×(12＋24)＝72(cm)．考点聚焦归类探究回归教材第21课时┃相似三角形及其应用变式题如图21－3，一个人拿着一把刻有厘米刻度的小尺，站在离电线杆约20m的地方，他把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个刻度恰好遮住电线杆，已知臂长约40cm，你能根据以上数据求出电线杆的高度吗？图21－3解析运用的是相似三角形的对应高的比等于相似比，来求出电线杆的高度，注意单位的转化．考点聚焦归类探究回归教材第21课时┃相似三角形及其应用解：根据题意，得△AOB∽△DOC，所以CD∶AB＝20∶0.4，即CD∶0.12＝20∶0.4，解得CD＝6m.故电线杆的高度为6m.考点聚焦归类探究回归教材探究三三角形相似的判定方法及其应用命题角度：1．利用两个角判定三角形相似；2．利用两边及夹角判定三角形相似；3．利用三边判定三角形相似.第21课时┃相似三角形及其应用例3[2013·巴中]如图21－4，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B.(1)求证：△ADF∽△DEC；(2)若AB＝8，AD＝63，AF＝43，求AE的长．考点聚焦归类探究回归教材第21课时┃相似三角形及其应用图21－4解：(1)证明：在ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，∴∠C＋∠B＝180°，∠ADF＝∠DEC.∵∠AFD＋∠AFE＝180°，∠AFE＝∠B，∴∠AFD＝∠C.在△ADF与△DEC中，∴△ADF∽△DEC.考点聚焦归类探究回归教材第21课时┃相似三角形及其应用(2)在ABCD中，CD＝AB＝8，由(1)知△ADF∽△DEC，∴ADDE＝AFCD，∴DE＝AD·CDAF＝63×843＝12.在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE＝DE2－AD2＝122－（63）2＝6.考点聚焦归类探究回归教材方法点析判定两个三角形相似的常规思路：①先找两对对应角相等；②若只能找到一对对应角相等，则判断相等的角的两夹边是否对应成比例；③若找不到角相等，就判断三边是否对应成比例，否则可考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性”．第21课时┃相似三角形及其应用考点聚焦归类探究回归教材探究四位似命题角度：1.位似图形及位似中心定义；2.位似图形的性质应用；3.利用位似变换在网格纸里作图．第21课时┃相似三角形及其应用例4[2013·孝感]在平面直角坐标系中，已知点E(－4，2)，F(－2，－2)，以原点O为位似中心，相似比为12，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是()A．(－2，1)B．(－8，4)C．(－8，4)或(8，－4)D．(－2，1)或(2，－1)D考点聚焦归类探究回归教材方法点析利用位似将图形放大或缩小的作图步骤：第一步：在原图上选取关键点若干个，并在原图外任取一点P；第二步：以点P为端点向各关键点作射线；第三步：分别在射线上取关键点的对应点，满足放缩比例；第四步：顺次连接截取点．即可得到符合要求的新图形．第21课时┃相似三角形及其应用解析根据题意画出相应的图形，找出点E的对应点E′的坐标即可．考点聚焦归类探究回归教材探究五相似三角形与圆命题角度：1.圆中的相似计算；2.圆中的相似证明．第21课时┃相似三角形及其应用例5[2013·黄冈]如图21－5，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的直线互相垂直，垂足为D，且AC平分∠DAB.(1)求证：DC为⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为3，AD＝4，求AC的长．图21－5考点聚焦归类探究回归教材第21课时┃相似三角形及其应用解：(1)证明：连接OC.∵OC＝OA，∴∠OAC＝∠OCA.又∠OAC＝∠DAC，∴∠DAC＝∠OCA，∴OC∥AD，∴OC⊥CD.即DC为⊙O的切线．(2)连接BC.∵∠ADC＝∠ACB＝90°，∠DAC＝∠CAB，∴△ADC∽△ACB，∴ADAC＝ACAB，即AC2＝AD·AB.又⊙O的半径为3，∴AB＝6.又∵AD＝4，∴AC＝26.考点聚焦归类探究回归教材“直角三角形斜边上的高”的模型作用教材母题回归教材如图21－6，Rt△ABC中，CD是斜边上的高，△ACD和△CBD都和△ABC相似吗？证明你的结论．图20－4第21课时┃相似三角形及其应用解相似．证明：∵∠ACD＋∠BCD＝90°，∠ACD＋∠A＝90°，∴∠A＝∠BCD.又∵∠ACB＝∠BDC＝90°，∴△ABC∽△CBD.∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠ADC，∴△ABC∽△ACD.考点聚焦归类探究回归教材中考预测图21－7第21课时┃相似三角形及其应用1．如图21－7，△ABC中，CD⊥AB，垂足为D.下列条件中，能证明△ABC是直角三角形的有________．①∠A＋∠B＝90°；②AB2＝AC2＋BC2；③ACAB＝CDBD；④CD2＝AD·BD.①②④考点聚焦归类探究回归教材图21－8第21课时┃相似三角形及其应用如图21－8，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE＝40cm，EF＝20cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，则树高AB＝________m.5.5考点聚焦归类探究回归教材第21课时┃相似三角形及其应用解析∵∠DEF＝∠BCD＝90°，∠D＝∠D，∴△DEF∽△DCB，∴BCEF＝DCDE.∵DE＝40cm＝0.4m，EF＝20cm＝0.2m，AC＝1.5m，CD＝8m，∴BC0.2＝80.4，∴BC＝4m，∴AB＝AC＋BC＝1.5＋4＝5.5(m)．考点聚焦归类探究回归教材