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第27课时圆的有关性质第27课时┃圆的有关性质考点聚焦考点聚焦归类探究考点1圆的概念定义1：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．定义2：圆是到定点的距离等于定长的点的集合．考点2圆的有关概念弦、直径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等．考点3圆的对称性圆既是一个轴对称图形又是一个________对称图形，圆还具有旋转不变性．中心考点4垂径定理及其推论垂径定理垂直于弦的直径__________，并且平分弦所对的两条弧推论(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；(3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧总结简言之，对于①过圆心；②垂直弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧中的任意两条结论成立，那么其他的结论也成立第27课时┃圆的有关性质平分弦考点聚焦归类探究考点5圆心角、弧、弦之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的________相等，所对的_________也相等推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角﹑两条弧或两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别相等第27课时┃圆的有关性质弧弦考点聚焦归类探究考点6圆周角圆周角定义顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角圆周角定理在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角________，都等于该弧所对的圆心角的________推论1在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧______推论2半圆(或直径)所对的圆周角是______；90°的圆周角所对的弦是______推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是________三角形第27课时┃圆的有关性质相等一半相等直角直径直角考点聚焦归类探究考点7圆内接多边形圆内接多边形如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形．这个圆叫做这个多边形的外接圆圆内接四边形的性质圆内接四边形的对角______第27课时┃圆的有关性质互补考点聚焦归类探究考点8反证法定义不直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法步骤(1)假设命题的结论不正确，即提出与命题结论相反的假设；(2)从假设的结论出发，推出矛盾；(3)由矛盾的结果说明假设不成立，从而肯定原命题的结论正确第27课时┃圆的有关性质考点聚焦归类探究归类探究探究一垂径定理及其推论命题角度：1.垂径定理的应用；2.垂径定理的推论的应用．第27课时┃圆的有关性质例1[2013·徐州]如图27－1，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P.若CD＝8，OP＝3，则⊙O的半径为()A．10B．8C．5D．3C考点聚焦归类探究图27－1第27课时┃圆的有关性质解析连接OC，∵CD⊥AB，CD＝8，∴PC＝12CD＝12×8＝4.在Rt△OCP中，∵PC＝4，OP＝3，∴OC＝PC2＋OP2＝42＋32＝5.考点聚焦归类探究第27课时┃圆的有关性质垂径定理及其推论是证明两线段相等，两条弧相等及两直线垂直的重要依据之一，在有关弦长、弦心距的计算中常常需要作垂直于弦的线段，构造直角三角形．方法点析考点聚焦归类探究探究二圆心角、弧、弦之间的关系命题角度：在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦之间的关系．例2如图27－2，已知AB是⊙O的直径，BC︵＝CD︵＝DE︵.∠BOC＝40°，那么∠AOE＝()A．40°B．60°C．80°D．120°图27－2第27课时┃圆的有关性质B考点聚焦归类探究第27课时┃圆的有关性质解析根据圆心角与弧的关系可求得∠BOE的度数，从而即可求解．∵BC︵＝CD︵＝DE︵，∠BOC＝40°，∴∠BOE＝3∠BOC＝120°，∴∠AOE＝180°－∠BOE＝60°.考点聚焦归类探究探究三圆周角定理及推论命题角度：1.利用圆心角与圆周角的关系求圆周角或圆心角的度数；2.直径所对的圆周角或圆周角为直角的圆的相关计算．例3[2012·湘潭]如图27－3，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC＝40°，则∠BOD＝()A.20°B.40°C.50°D.80°图27－3第27课时┃圆的有关性质D考点聚焦归类探究(1)圆周角定理为圆周角与圆心角的角度转换提供了根据；(2)在圆上，如果有直径，则直径所对的圆周角是直角；(3)圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半．方法点析第27课时┃圆的有关性质解析先根据弦AB∥CD得出∠ABC＝∠BCD＝40°，再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可得出∠BOD＝2∠BCD＝2×40°＝80°.考点聚焦归类探究探究四与圆有关的综合运用命题角度：圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及直角三角形的性质等知识综合．例4[2012·湘潭]如图27－4，在⊙O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，AC＝12AB，点P在半圆弧AB上运动(不与A，B两点重合)，过点C作直线PB的垂线CD交PB于D点．第27课时┃圆的有关性质考点聚焦归类探究(1)如图①，求证：△PCD∽△ABC；(2)当点P运动到什么位置时，△PCD≌△ABC？请在图②中画出△PCD，并说明理由；(3)如图③，当点P运动到CP⊥AB时，求∠BCD的度数．图27－4第27课时┃圆的有关性质考点聚焦归类探究第27课时┃圆的有关性质解析(1)由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可得∠ACB＝90°，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可得∠A＝∠P.(2)由△PCD∽△ABC，可知当PC＝AB时，△PCD≌△ABC，利用相似比等于1的相似三角形全等；(3)由∠ACB＝90°，AC＝12AB，可求得∠ABC的度数，利用同弧所对的圆周角相等得∠P＝∠A＝60°，通过证△PCB为等边三角形，由CD⊥PB，即可求出∠BCD的度数．考点聚焦归类探究第27课时┃圆的有关性质解：(1)证明：∵AB为直径，∴∠ACB＝∠D＝90°.又∵∠CAB＝∠DPC，∴△PCD∽△ABC.(2)如图，当点P运动到PC为直径时，△PCD≌△ABC.理由如下：∵PC为直径，∴∠PBC＝90°，则此时D与B重合，∴PC＝AB，CD＝BC，故△PCD≌△ABC.考点聚焦归类探究第27课时┃圆的有关性质(3)∵AC＝12AB，∠ACB＝90°，∴∠ABC＝30°，∠CAB＝60°.∴∠CPB＝∠CAB＝60°.∵PC⊥AB，∴∠PCB＝90°－∠ABC＝60°，∴△PBC为等边三角形．又CD⊥PB，∴∠BCD＝30°.考点聚焦归类探究