高中数学空间向量与立体几何经典题型与答案

空间向量与立体几何经典题型与答案1新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆已知四棱锥PABCD的底面为直角梯形，//ABDC，PADAB,90底面ABCD，且12PAADDC，1AB，M是PB的中点新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆（Ⅰ）证明：面PAD面PCD；（Ⅱ）求AC与PB所成的角；（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆证明：以A为坐标原点AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为1(0,0,0),(0,2,0),(1,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(0,1,)2ABCDPM新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆（Ⅰ）证明：因.,0),0,1,0(),1,0,0(DCAPDCAPDCAP所以故由题设知ADDC，且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线，由此得DC面PAD新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆（Ⅱ）解：因),1,2,0(),0,1,1(PBAC.510||||,cos,2,5||,2||PBACPBACPBACPBACPBAC所以故（Ⅲ）解：在MC上取一点(,,)Nxyz，则存在,R使,MCNC..21,1,1),21,0,1(),,1,1(zyxMCzyxNC要使14,00,.25ANMCANMCxz只需即解得0),52,1,51(),52,1,51(,.0),52,1,51(,54MCBNBNANMCANN有此时能使点坐标为时可知当ANBMCBNMCANMCBNMCAN所以得由.,0,0为所求二面角的平面角新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆30304||,||,.5552cos(,).3||||2arccos().3ANBNANBNANBNANBNANBN故所求的二面角为2新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆如图，在四棱锥VABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形,平面VAD底面ABCD新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆（Ⅰ）证明：AB平面VAD；（Ⅱ）求面VAD与面DB所成的二面角的大小新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆证明：以D为坐标原点，建立如图所示的坐标图系新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆（Ⅰ）证明：不防设作(1,0,0)A，则(1,1,0)B，)23,0,21(V，)23,0,21(),0,1,0(VAAB由,0VAAB得ABVA，又ABAD，因而AB与平面VAD内两条相交直线VA，AD都垂直新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆∴AB平面VAD新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆（Ⅱ）解：设E为DV中点，则)43,0,41(E，).23,0,21(),43,1,43(),43,0,43(DVEBEA由.,,0DVEADVEBDVEB又得因此，AEB是所求二面角的平面角，,721||||),cos(EBEAEBEAEBEA解得所求二面角的大小为.721arccos3新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PADCBAV底面ABCD，3AB，1BC，2PA，E为PD的中点新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆（Ⅰ）求直线AC与PB所成角的余弦值；（Ⅱ）在侧面PAB内找一点N，使NE面PAC，并求出点N到AB和AP的距离新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆解：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，则,,,,,ABCDPE的坐标为(0,0,0)A、(3,0,0)B、(3,1,0)C、(0,1,0)D、(0,0,2)P、1(0,,1)2E，从而).2,0,3(),0,1,3(PBAC设PBAC与的夹角为，则,1473723||||cosPBACPBAC∴AC与PB所成角的余弦值为1473新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆（Ⅱ）由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为(,0,)xz，则)1,21,(zxNE，由NE面PAC可得，.0213,01.0)0,1,3()1,21,(,0)2,0,0()1,21,(.0,0xzzxzxACNEAPNE化简得即∴163zx即N点的坐标为)1,0,63(，从而N点到AB和AP的距离分别为31,6新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆4新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面1AECF所截面而得到的，其中14,2,3,1ABBCCCBE新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆（Ⅰ）求BF的长；（Ⅱ）求点C到平面1AECF的距离新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆解：（I）建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)D，(2,4,0)B1(2,0,0),(0,4,0),(2,4,1),(0,4,3)ACEC设(0,0,)Fz新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆∵1AECF为平行四边形，.62,62||).2,4,2().2,0,0(.2),2,0,2(),0,2(,,11的长为即于是得由为平行四边形由BFBFEFFzzECAFFAEC（II）设1n为平面1AECF的法向量，)1,,(,11yxnADFn故可设不垂直于平面显然02020140,0,011yxyxAFnAEn得由.41,1,022,014yxxy即111),3,0,0(nCCCC与设又的夹角为，则.333341161133||||cos1111nCCnCC∴C到平面1AECF的距离为.11334333343cos||1CCd5新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆如图，在长方体1111ABCDABCD，中，11,2ADAAAB，点E在棱AD上移动新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆（1）证明：11DEAD；（2）当E为AB的中点时，求点E到面1ACD的距离；（3）AE等于何值时，二面角1DECD的大小为4新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆解：以D为坐标原点，直线1,,DADCDD分别为,,xyz轴，建立空间直角坐标系，设AEx，则11(1,0,1),(