水杯体积和雪堆融化问题(数学建模)

榆林学院第四届大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。所属院系（请填写完整的全名）：数学与应用数学系我们所做的题号为（A、B）参赛队员：队员名系别学号联系电话是否队长闫涛数学系100421010215389120767是边高军数学系100421010315389126650否童倩芸数学系100421011818291247237否日期：2012年5月12日1A题倾斜纸杯的盛水问题一次性纸杯是生活中常见的容器之一，现有一个一次性纸杯如图，可量得纸杯的高度为95mm，杯底面直径为50mm，杯口直径为75mm，现假定纸杯材料厚度忽略不计1、若给纸杯注水，则纸杯内可盛水最大体积是多少升？2、此时将纸杯倾斜如下图所示，设倾斜角度为4，求此时杯中最多可盛水多少升？水平线23、若忽略水杯的杯口与杯底直径之差，即将水杯看成圆柱体，杯的高度为95mm，杯底面直径为50mm，忽略水杯材料厚度，将水杯倾斜，设倾斜角度4,试给出在水不溢出的情况下水面最高点与最低点的高度h与杯中水的体积v的函数关系式。B题雪堆融化问题假定一个底面半径为r，高度为h的圆锥形雪堆，其融化时体积的变化率正比于雪堆的锥面面积，比例常数为k0(k与环境的相对湿度、阳光、空气温度等因素有关)，且在融化时假定底面半径保持不变，已知一个小时内融化了其体积的四分之一。1、给出高度和时间的函数关系式；2、设圆锥雪堆的底面半径r为0.5m,高度h为1m时，还需多长时间雪堆可全部融化。3倾斜纸杯的水位问题问题分析1、对于计算纸杯可盛水的最大容积实际是计算纸杯的体积，通常可以利用公式进行运算，在这里则应用了由平行截面面积求体积的方法，较为合理的解决了问题。2、题设倾斜角度为4，求最多可盛多少水；遇到这样的问题，通常先是对相关信息进行仔细考量，提取关键点，于是得出，先假设纸杯中盛满了水，计算出空余部分的体积，进而计算出水的实际体积。本题中，同样也用到了积分的相关知识。3、此题准确的说应该是上一题的补充，在这里很好的融合了积分和逻辑推导的紧密关系,通过观察发现，当水面处于不同的位置时，则h和V有不同的关系式，即2295225),25)((2250,42{323hmmrrLrhhV符号说明h1、2题中表示纸杯的高度；3题中表示水面和水平线的垂直距离；L3题中代表最高点与最低点的距离；S上杯口的面积；S下杯底的面积；4V纸杯的体积；1r纸杯下底的半径；2r纸杯上底的半径.解题与结论1、利用公式)S(31下上下上SSShV也可找出一个平面图形),0(,||0121hxrxrrhy如图所示，令此平面绕x轴旋转一周，得到纸杯状柱体，则可得体积dxrxrrhVh21021)(可得函数方程])()(31[2121213221hrrrhhrhrrhV将题中的数据代入到上述函数中得V=0.33Ly52、建立如图所示的坐标系，已知点A、点B，根据题中相关数据，得出A、B两点的坐标，同时在建立坐标系时，规定面A-B平行于xoy轴则可以求得有关面A-B的面方程；又可以求得有关杯面的方程以及杯底的相关z方程，再根据重积分的相关知识得出所盛水的体积xABy03、线2h0线161图2如上图所示（1）为截面图；（2）为立体图。设最高点距离最低点h;已知等于4.1)当水面低于线1时：CoshL.......(1)则体积2)tan2(21LLV.......(2)联立方程（1）（2）的h与V的关系式：342hV......(3)2)当水面高于线1低于线2时：CoshL....同（1）则体积的大小)tan2()tan2(2122rLrrrV......(4)联立（1）（4），可得)(32rLrV(r=25mm)3)当水面等于线2时，为最高点；此时：mmL95综上所述：2295225),25)((2250,42{323hmmrrLrhhV7参考文献【1】华东师范大学数学系.数学分析，高等教育出版社，2009.5【2】王兵团.数学建模基础，清华、北京交通大学出版社，2004.11雪堆融化问题问题的分析1、在没有任何已知数据的条件，并告诉了某些比例关系的情况下，不难看出这是一道利用微分方程求通解的问题,故可以得到ksdtdV。这个过程里，必须清楚的认识到数据间的因果关系，并且要用微分方程解决相关问题，而所求函数关系式在一定的意义上就是此题的通解。2、此问题完全是上题的实际应用，当然，在解决这个问题时或者说在融化的过程中，必须假定环境的湿度、阳光、空气的温度等条件都是恒定不变的，因此说在整个过程中时存在误差的。由题知道雪堆的锥面弧长为r2，02)0(31hrV，0)1(43VV雪堆的锥面面积222222)(22rhrrhrhrs.符号说明t表示雪堆融化所需时间，单位(小时);0h表示雪堆的原始高度；h表示其融化过程中雪堆的高度，单位（m）;8K表示比例常数；r表示雪堆的底面半径，单位（m）V表示雪堆的体积;S表示雪堆的锥面面积。解题及结论1、设t小时后雪堆融化时体积的变化率kSdtdV…….（1）)(31)(2thrtV.........（2）在问题分析中知道222222)(22rhrrhrhrs.........（3）由（2）（3）得：2229,,rMNMVNkdtdV令33tanrV积分得：ktcr3|tansec|ln1...............（4）当t=0时，将（1）（2）代入（4）得：|1|ln221rhrhrc..因为又有02123)1(hrV，解出k值：|16144|ln31222222hrhrhrhhhk9又因为)(31)(2thrtV，故可得高度和时间的函数关系式：ktrrthrthr3|)()(|ln22...........（5）2、已知r=0.5m,h=1m又02123)1(hrV得n=4.3（小时）参考文献【1】东北师范大学微分方程教研室.常微分方程，高等教育出版社，2005.4