数列知识点总结

第二章：数列知识要点一、数列的概念1、数列的概念：一般地，按一定次序排列成一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列的一般形式可以写成123,,,,,naaaa，简记为数列na，其中第一项1a也成为首项；na是数列的第n项，也叫做数列的通项.数列可看作是定义域为正整数集N（或它的子集）的函数，当自变量从小到大取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列.2、数列的分类：按数列中项的多数分为：（1）有穷数列：数列中的项为有限个，即项数有限；（2）无穷数列：数列中的项为无限个，即项数无限.3、通项公式：如果数列na的第n项na与项数n之间的函数关系可以用一个式子表示成nafn，那么这个式子就叫做这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式.4、数列的函数特征：一般地，一个数列na，如果从第二项起，每一项都大于它前面的一项，即1nnaa，那么这个数列叫做递增数列;如果从第二项起，每一项都小于它前面的一项，即1nnaa，那么这个数列叫做递减数列;如果数列na的各项都相等，那么这个数列叫做常数列.5、递推公式：某些数列相邻的两项（或几项）有关系，这个关系用一个公式来表示，叫做递推公式．二、等差数列1、等差数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是同一个常数，那么这个数列久叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差.即1nnaad（常数），这也是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据.2、等差数列的通项公式：设等差数列na的首项为1a，公差为d，则通项公式为：11,nmaandanmdnmN、.3、等差中项：（1）若aAb、、成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且=2abA;（2）若数列na为等差数列，则12,,nnnaaa成等差数列，即1na是na与2na的等差中项，且21=2nnnaaa；反之若数列na满足21=2nnnaaa，则数列na是等差数列.4、等差数列的性质：（1）等差数列na中，若,mnpqmnpqN、、、则mnpqaaaa，若2mnp，则2mnpaaa；（2）若数列na和nb均为等差数列，则数列nnab也为等差数列；（3）等差数列na的公差为d，则0nda为递增数列，0nda为递减数列，0nda为常数列.5、等差数列的前n项和nS：（1）数列na的前n项和nS=1231,nnaaaaanN；（2）数列na的通项与前n项和nS的关系：11,1.,2nnnSnaSSn（3）设等差数列na的首项为1,a公差为d，则前n项和111=.22nnnaannSnad6、等差数列前n和的性质：（1）等差数列na中，连续m项的和仍组成等差数列，即12122,,mmmmaaaaaa21223mmmaaa,仍为等差数列（即232,,,mmmmmSSSSS成等差数列），公差为m2d（2）等差数列na的前n项和2111==,222nnnddSnadnan当0d时，nS可看作关于n的二次函数，且不含常数项；（3）若等差数列na共有2n+1（奇数）项，则11==,nSnSSaSn奇奇偶偶中间项且若等差数列na共有2n（偶数）项，则1==.nnSaSSndSa偶奇偶奇且7、等差数列前n项和nS的最值问题：设等差数列na的首项为1,a公差为d，则（1）100ad且（即首正递减）时，nS有最大值且nS的最大值为所有非负数项之和；（2）100ad且（即首负递增）时，nS有最小值且nS的最小值为所有非正数项之和.（3）若nnab，是等差数列，且前n项和分别为nnST，，则2121mmmmaSbT8、两个技巧已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元．(1)若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，….(2)若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元．双基自测1．已知{an}为等差数列，a2＋a8＝12，则a5等于()．A．4B．5C．6D．72．设数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a6＝2且S5＝30，则S8等于()．A．31B．32C．33D．343．已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＋Sm＝Sn＋m，且a1＝1.那么a10＝()．A．1B．9C．10D．554．设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7等于()．A．13B．35C．49D．635．在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝_______三、等比数列1、等比数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的比是同一个不为零的常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（0q）.即1nnaqqa为非零常数，这也是证明或判断一个数列是否为等比数列的依据.2、等比数列的通项公式：设等比数列na的首项为1a，公比为q，则通项公式为：11,,nnmnmaaqaqnmnmN、.3、等比中项：（1）若aAb、、成等比数列，则A叫做a与b的等比中项，且2=Aab;（2）若数列na为等比数列，则12,,nnnaaa成等比数列，即1na是na与2na的等比中项，且212=nnnaaa；反之若数列na满足212=nnnaaa，则数列na是等比数列.4、等比数列的性质：（1）等比数列na中，若,mnpqmnpqN、、、则mnpqaaaa，若2mnp，则2mnpaaa；（2）若数列na和nb均为等比数列，则数列nnab也为等比数列；（3）等比数列na的首项为1a，公比为q，则1100101naaaqq或为递增数列，1100011naaaqq或为递减数列，1nqa为常数列.5、等比数列的前n项和：（1）数列na的前n项和nS=1231,nnaaaaanN；（2）数列na的通项与前n项和nS的关系：11,1.,2nnnSnaSSn（3）设等比数列na的首项为1a，公比为0qq，则11,1.1,11nnnaqSaqqq由等比数列的通项公式及前n项和公式可知，已知1,,,,nnaqnaS中任意三个，便可建立方程组求出另外两个.6、等比数列的前n项和性质：设等比数列na中，首项为1a，公比为0qq，则（1）连续m项的和仍组成等比数列，即12122,,mmmmaaaaaa21223mmmaaa,仍为等比数列（即232,,,mmmmmSSSSS成等差数列），其公比为qm（2）当1q时，11111111111111nnnnnaqaaaaaSqqqqqqqqq，设11atq，则nnStqt.双基自测1．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝14，则公比q等于()．A．－12B．－2C．2D.122．在等比数列{an}中，a4＝4，则a2·a6等于()．A．4B．8C．16D．323．设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则S5S2＝()．A．－11B．－8C．5D．114、等比数列{an}满足：a1＋a6＝11，a3·a4＝329，且公比q∈(0,1)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若该数列前n项和Sn＝21，求n的值．5、已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝an＋an＋12，n∈N*.(1)令bn＝an＋1－an，证明：{bn}是等比数列；(2)求{an}的通项公式．四、递推数列求通项的方法总结1、递推数列的概念：一般地，把数列的若干连续项之间的关系叫做递推关系，把表达递推关系的式子叫做递推公式，而把由递推公式和初始条件给出的数列叫做递推数列.2、两个恒等式：对于任意的数列na恒有：（1）12132431nnnaaaaaaaaaa（2）23411231,0,nnnnaaaaaaanNaaaa3、递推数列的类型以及求通项方法总结：类型一（公式法）：已知nS（即12()naaafn）求na，用作差法：11,(1),(2)nnnSnaSSn已知数列{an}的前n项和为Sn＝3n－1，则它的通项公式为an＝________.已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则其通项公式为________．已知数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋24n(n∈N*)．(1)求{an}的通项公式；(2)当n为何值时，Sn达到最大？最大值是多少？已知数列{an}的前n项和为Sn且满足an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2)，a1＝12.(1)求证：1Sn是等差数列；(2)求an的表达式．类型二（累加法）：已知：数列na的首项1a,且1,nnaafnnN，求na通项.给递推公式1,nnaafnnN中的n依次取1,2,3，……，n-1,可得到下面n-1个式子：21324311,2,3,,1.nnaafaafaafaafn利用公式12132431nnnaaaaaaaaaa可得：11231.naaffffn已知数列{an}满足an＋1＝an＋3n＋2，且a1＝2，求数列{an}的通项公式已知a1＝1，an＝an－1＋3n－1(n≥2)，求数列{an}的通项公式类型三（累乘法）：已知：数列na的首项1a,且1,nnafnnNa，求na通项.给递推公式1,nnafnnNa中的n一次取1,2,3，……，n-1,可得到下面n-1个式子：23412311,2,3,,1.nnaaaaffffnaaaa利用公式23411231,0,nnnnaaaaaaanNaaaa可得：11231.naaffffn已知a1＝1，an＝n－1nan－1(n≥2)，求数列{an}的通项公式类型四（构造法）：形如qpaann1、nnnqpaa1（qpbk,,,为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求na。①qpaann1解法：把原递推公式转化为：)(1taptann，其中pqt1，再利用换元法转化为等比数列求解。已知a1＝1，an＋1＝3an＋2，求数列{an}的通项公式②nnnqpaa1解法：该类型较要复杂一些。一般地，要先在原递推公式两边同除以1nq，得：qqaqpqannnn111引入辅助数列nb（其中nnnqab），得：qbqpbnn11再应用qpaann1的方法解决。类型五（倒数法）：已知：数列na的首项1a,且1,0,nnnpaarnNqar，求na通项.11111111nnnnnnnnnnpaqarrqrqaqarapaapapapap设1111,.nnnnbbaa则1nnrqbbpp，若,rp则11=nnnnqqbbbbpp，即数列nb是以qp为公差的等差数列.若,rp则1nnrqbbpp（转换成类型四①）.五、数列常用求和方法1.公式法直接应用