如何选择解析几何题的算法

算的少方能算得好黄岩中学许志锋常常听同学们抱怨解析几何题的计算量大，一不小心就会出错，错了又不能及时察觉，时间一分一秒地白白流逝.更有甚者，一种开始觉得可行的思路进行到中途却会陷入死胡同.如果这种现象发生在高考中，后果就很严重.依我个人的体会，解析几何通过坐标系使几何问题代数化，伴随而来的，的确有许多式的变形、方程和不等式的求解、函数方法的运用，但这些运算多半只需要一些初中和高一的代数知识，并且用心体验就不难掌握；问题是，许多同学不重视几何直觉，忘记了解析几何的对象首先是几何，是几何就有图“可看”、有理“可推”；也不重视对解法的“预算”，“不该出手时就出手”，致使运算繁复，事倍功半.有感于此，我将结合几道题目的分析，给同学们几点建议.一、细致观察多看少算例1已知圆的方程为.08622yxyx设该圆过点21，的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为.解题方案Ⅰ：圆的方程即254322yx，点21，在其内部，最长弦AC就是直径，AC.10最短弦AC，BD因而可由AC的斜率知BD的斜率，写出其方程，代入圆的方程后，利用直线与曲线相交的弦长公式求出，BD最后求得四边形ABCD的面积.方案Ⅱ：对方案Ⅰ加以改进：求出BD的方程后，通过圆心到BD的距离d求出，BD下同.方案Ⅲ：AC.10AC，BD圆心到BD的距离d就是两点21，与43，之间的距离，.82d于是.1710211782521ACBD，SBD点评：相对于前两个方案，方案Ⅲ充分利用了圆的对称性（所谓垂径定理），回避了直线方程等计算,直达目标，一蹴而就.例2过直线xy上一点作圆21522yx的两条切线,,21ll当21,ll关于xy对称时，它们之间的夹角为度.解析：如果把问题完全代数化，先设过直线xy上一点为ttP,，所作切线21,ll的斜率为kk1,，建立直线方程，再利用相切的条件去解kt,，显然有些“小题大做”.让我们跳过过程从结果入手.要求夹角，由图可知，只需求PQ（Q是圆心,已知半径QH2）.两条切线本来是OyxDBCAHQPy=xl2l1Oyx关于直线PQ对称的，现在又关于xy对称，而两条直线的两条对称轴必互相垂直！可见，不用求点P,由点Q到直线xy的距离得，PQ22215所以.300QPH21,ll之间的夹角为.600除了直线和圆问题，圆锥曲线的涉及焦点的问题也应注意几何方法和向量方法的运用.例3)0,2(),0,2(NM是平面上的两点，动点P满足:.6PNPM（1）求点P的轨迹方程；（2）若,cos12MPNPNPM求点P的坐标.解析：（1）显然轨迹是椭圆，方程为.15922yx（2）设.,yxP将条件变形：.2cosMPNPNPMPNPM由于NM,是椭圆的焦点，左边第一项可用焦半径公式))((exaexa来表示；第二项恰好是向量的数量积PNPM，也可用坐标表示：.2223233232yxxxx其中，.95522xy代入后得,4272x满足条件的点P共有4个：2523325233，，，点评：上述解法由于观察细致、思路开阔而使运算量看起来不大.事实上，一部分计算被概念推理和现成公式替代了.二、慎选设法半推半算例4已知抛物线2xy和三个点)0,)(,(),,0(),,(020000000yxyyxNyPyxM，过点M的一条直线交抛物线于BA,两点，BPAP,的沿长线分别交抛物线于.,FE求证：FNE,,三点共线.分析：如果一开始设AB的斜率，直接按题目的说法，联立各直线与抛物线的方程去解交点A，FEB,,，再证明FNE,,三点共线，其运算量之大显而易见；如果反OyxFEPNMBA过来利用抛物线的方程设这四点的坐标而去表示三点共线，则第一，不用解那么多的字母系数的方程组；第二，当用斜率公式写出与BMA,,三点共线等价的坐标关系后，只需在这个关系式中，用P点的坐标代替M点的坐标、用E点的坐标代替B点的坐标，就可以得出EPA,,三点共线的条件，其它三点共线同样处理——证明：设A244233222211,,,,,,,xxFxxExxBxx.由BMA,,三点共线可知：02022122122xxyxxxxx即：0002121yxxxxx……①当EPA,,三点共线时，只需在①式中将0x用0代、将2x用3x代，BPF,,同样处理：0031yxx……②0042yxx……③现在，要证明FNE,,三点共线，只要由①②③得出0004343yxxxxx……④即可.由②、③得402301,xyxxyx，代入①即得④.故FNE,,三点共线点评：（1）“设点还是设线”是解析几何题经常面临的选择.设线可求交点，设点可表示共线，但不同的设法产生的解法却常常大相径庭.动手之前应先知算路，择优而行.（2）解析几何中经常会出现雷同的计算过程，这时，字母运算的优点就显现出来了，请同学们注意像上述证明那样进行代换和推理，做到事半功倍.三、预想算路机动灵活相比别的的题目，解析几何试题会更多地发挥考查运算能力的功能，这从08年各地试题（包括浙江卷）可以看出.面对一道解析几何试题，首先应全局在胸，将解题过程理成两三个明确的步骤，使得往下无论算路多“漫长”，均不至于迷失方向.同时，对每个计算环节，应注意灵活运用这门学科所贯用的运算技巧（如设而不解），既重视经验又相信自己的“眼睛”，发现可以“偷工减料”的机会绝不错过.例5如图，P是抛物线xy22上的动点，点CB,在y轴上，圆1)1(22yx内切于,PBC求PBC面积的最小值.（2008年全国数学联赛试题）分析：点P在抛物线上运动使PBC的面积S产生变化.若设ttP,22，S一定是t的函数.而22t等于BC边上的高，解题分两步：第一步，用t表示BC，建立)(tfS；第二步，根据函数解析式的特点，求)(tfS的最小值.yxOCBP解：设ttP,22及B，m0.首先注意，当点P的横坐标222t时，圆1)1(22yx不能内切于,PBC而是傍切.故.42t直线BP的方程为：0)(222mtytxmt因BP与1)1(22yx相切，圆心到直线的距离等于半径：.1)(22422tmtmtmt即.224222tmtmtmt…………①即.224222tmtmtmt用平方差公式可化简为：044222ttmmt…………②当42t时关于m方程②有两个不相等的实根.,21mm由于点C的坐标也同样满足②，所以21,mm就是B、C的纵坐标.由韦达定理.4,442221221ttmmttmm.424222122121ttmmmmmmBC42242212124222tttttxBCSp…………③变形得：8416421)4(24422222ttttS由均值不等式，.8S当且仅当)22,4(,82Pt时PBC取得最小面积8.点评：（1）不求B、C而求BC，这是典型的解析几何中技巧.类似地方法同学们一定看到过不少，关键在于活学活用；（2）对解析几何题而言，化简方程有时是不可避免的，例如本题从①到②.计算的效率和准确性要求解题时全身心地投入.多留心观察，计算也会变得有趣.而“不择手段”地盲目计算（例如为了求③的最小值而动用导数）会使解题费力费时.正如标题所说，算的少方能算得好.