(湖南大学-曾金平《数值计算方法》课后题答案)

1习题一1．设x0相对误差为2%，求x，4x的相对误差。解：由自变量的误差对函数值引起误差的公式：(())(())'()()()()fxxfxfxxfxfx得（1）()fxx时11()()'()()*2%1%22xxxxxx；（2）4()fxx时444()()'()4()4*2%8%xxxxxx2．设下面各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出他们各有几位有效数字。（1）12.1x；（2）12.10x；（3）12.100x。解：由教材9P关于1212.mnxaaabbb型数的有效数字的结论，易得上面三个数的有效数字位数分别为：3，4，53．用十进制四位浮点数计算（1）31.97+2.456+0.1352；（2）31.97+（2.456+0.1352）哪个较精确？解：（1）31.97+2.456+0.135221((0.3197100.245610)0.1352)flfl=2(0.3443100.1352)fl=0.3457210（2）31.97+（2.456+0.1352）21(0.319710(0.245610))flfl=21(0.3197100.259110)fl=0.3456210易见31.97+2.456+0.1352=0.345612210，故（2）的计算结果较精确。4．计算正方形面积时，若要求面积的允许相对误差为1%，测量边长所允许的相对误差限为多少？2解：设该正方形的边长为x，面积为2()fxx，由(())(())'()()()()fxxfxfxxfxfx解得(())()()'()fxfxxxfx=2(())(())22fxxfxxx=0.5%5．下面计算y的公式哪个算得准确些？为什么？（1）已知1x，（A）11121xyxx，（B）22(12)(1)xyxx；（2）已知1x，（A）211()yxxxxx，（B）11yxxxx；（3）已知1x，（A）22sinxyx，（B）1cos2xyx；（4）（A）980y，（B）1980y解：当两个同（异）号相近数相减（加）时，相对误差可能很大，会严重丧失有效数字；当两个数相乘（除）时，大因子（小除数）可能使积（商）的绝对值误差增大许多。故在设计算法时应尽量避免上述情况发生。（1）（A）中两个相近数相减，而（B）中避免了这种情况。故（B）算得准确些。（2）（B）中两个相近数相减，而（A）中避免了这种情况。故（A）算得准确些。（3）（A）中2sinx使得误差增大，而（B）中避免了这种情况发生。故（B）算得准确些。（4）（A）中两个相近数相减，而（B）中避免了这种情况。故（B）算得准确些。6．用消元法求解线性代数方程组1515121210102xxxx假定使用十进制三位浮点数计算，问结果是否可靠？解：使用十进制三位浮点数计算该方程则方程组变为1161612111120.100100.100100.10010(1)0.100100.100100.20010(2)xxxx（1）-（2）得161620.100100.10010x，即120.10010x，把2x的值代入（1）得10.000x；把2x的值代入（2）得110.10010x3解1110.1001020.00010xx不满足（2）式，解1110.1001020.10010xx不满足（1）式，故在十进制三位浮点数解该方程用消元法计算结果不可靠。7．计算函数32()331fxxxx和()((3)3)12.19gxxxxx在处的函数值（采用十进制三位浮点数计算）。哪个结果较正确？解：110657.010480.0310219.010480.0)19.2(1111f110657.010144.010105.0122=10.16710)19.2(g110219.0)310219.0)81.0((11110219.010123.011=10.16910即1()0.16710fx，1()0.16910gx而当2.19x时32331xxx的精确值为1.6852，故()gx的算法较正确。8．按照公式计算下面的和值（取十进制三位浮点数计算）：（1）6113ii；(2)1613ii。解：（1）623456111111113333333ii=0.3330.1110.0370.0120.0040.001489.0（2）165432611111113333333ii=0.0010.0040.0120.0370.1110.333489.09．已知三角形面积1sin2SabC，其中02C。证明：()()()()SabC。证明：由自变量的误差对函数值的影响公式：1212112(,,,)((,,,))()(,,,)ninniinixfxxxfxxxxfxxxx。得(,,)(,,)(,,)((,,))()()()(,,)(,,)(,,)aSabCbSabCCSabCSabCabCSabCaSabCbSabCC()sin()sin()cos()sinsinsinabCSbCaaCbabCCabCabCabC4=()()()CabCtgC()()()abC（当02C时，CtgC），命题得证。5习题二1．找出下列方程在0x附近的含根区间。（1）cos0xx；（2）3cos0xx；（3）sin()0xxe；（4）20xxe；解：（1）设()cosfxxx，则(0)1f，(1)-0.4597f，由()fx的连续性知在1,0x内，()fx=0有根。同题（1）的方法可得：（2），（3），（4）的零点附近的含根区间分别为0,1；0,2；0,12．用二分法求方程sin10xx在0,2内的根的近似值并分析误差。解：令()sin1fxxx，则有(0)10f，(2)0.81860f，'()sincos0fxxxx，0,2x所以函数()fx在0，2上严格单调增且有唯一实根x。本题中求根使得误差不超过410，则由误差估计式12||kkabx，所需迭代次数k满足4110202k，即取28.13k便可，因此取14k。用二分法计算结果列表如下：kkakbkx)(kxf0021-0.15851121.50.4962211.51.250.1862311.251.1250.015051411.1251.0625-0.071851.06251.1251.09375-0.0283561.093751.1251.109375-0.0066471.1093751.1251.11718750.00420881.1093751.11718751.11328125-0.00121691.113281251.11718751.1152343750.001496101.113281251.1152343751.11425781250.001398111.113281251.11425781251.11376953125-0.0005386121.113769531251.11425781251.114013671875-0.000199131.1140136718751.11425781251.1141357421875-0.0000297141.11413574218751.11425781251.114196777343750.000055由上表可知原方程的根7343751.1141967714x该问题得精确解为08711.11415714，故实际误差为0000396.03．判断用等价方程()xx建立的求解的非线性方程32()10fxxx在1.5附近的根的简单迭代法1()kkxx的收敛性，其中（A）2()11/xx；（B）32()1xx；（C）1()1xx解：取1.5附近区间1.3,1.6来考察。（A）21()1xx，显然当0x时，()x单调递减，而(1.3)1.59171596，(1.6)1.390625，因此，当1.3,1.6x时，()1.3,1.6x。又当1.3,1.6x时，3322'()0.9211.3xx，由迭代法收敛定理，对任意初值1.3,1.6x，迭代格式1211kkxx，(0,1,2,)k收敛。（B）132()(1)xx，则(1.3)1.390755416，(1.6)1.526921344，22312'()03(1)xxx(0)x，所以当1.3,1.6x时，()1.3,1.6x。又当1.3,1.6x时，222233221.6'()0.552133(1)(11.3)xxx，由迭代法收敛定理，对任意初值1.3,1.6x，迭代格式1231(1)kkxx，(0,1,2,)k收敛。（C）1()1xx，由于当1.3,1.6x时，有7332211'()1.07582870612(1)2(1.61)xx，所以对任意初值1.3,1.6x（原方程的根除外），迭代格式111kkxx(0,1,2,)k发散。4．确定()xx的简单迭代法1()kkxx的收敛区间,ab。如果收敛，试估计使精度达到410时所需的迭代次数并进行计算。（A）22()3xexx；（B）25()2xx；（C）sincos()2xxx解：（A）方程为0322xxex，设xxexfx32)(2，则01)0(f，0-0.8987)5.0(f，故有根区间为]5.0,0[，题中22()3xexx，3333.0|302||32||)('|0eexxx故迭代公式22()3xexx在含根区间]5.0,0[内收敛。（B）方程为05223xx，设52)(23xxxf，则0-1.875)5.2(f，04)3(f，故有根区间为]3,5.2[，题中25()2xx，10.64|5.210||10||)('|33xx故迭代公式25()2xx在含根区间]3,5.2[内收敛。（C）方程为02cossinxxx，设xxxxf2cossin)(，则01)0(f，0-0.6182)1(f，故有含根区间]1,0[，题中sincos()2xxx，15.0|20sin0cos||2sincos||)('|xxx7．建立利用方程30xc求3(0)cc的Newton迭代格式，并讨论算法的收敛性。8解：牛顿迭代格式为：23231323)(')(kkkkkkkkkxcxxcxxxfxfxx令cxxf3)(，因为当0x时，03)('2xxf，06)(''xxf，故对于任何满足0)(30cxxf，即30cx的初值0x，上述Newton迭代产生的迭代序列收敛于3c。8．建立利用方程20cxx求3(0)cc的Newton迭代格式，并讨论算法的收敛性。解：牛顿迭代格式为：cxcxxcxcxxxfxfxxkkkkkkk2321)(')(3321令2()cfxxx，因为当0x时，021)('3xcxf，06)(''4xcxf故对于