历年各地中考数学- 动态问题试题与答案

第44章动态问题一、选择题1.（2011安徽，10，4分）如图所示，P是菱形ABCD的对角线AC上一动点，过P垂直于AC的直线交菱形ABCD的边于M、N两点，设AC=2，BD=1，AP=x，△AMN的面积为y，则y关于x的函数图象的大致形状是（）A．B．C．D．【答案】C2.（2011山东威海，12，3分）如图，在正方形ABCD中，AB=3cm，动点M自A点出发沿AB方向以每秒1cm的速度运动，同时动点N自A点出发沿折线AD—DC—CB以每秒3cm的速度运动，到达B点时运动同时停止，设△AMN的面积为y（cm2），运动时间为x（秒），则下列图象中能大致反映y与x之间的函数关系的是（）【答案】B3.（2011甘肃兰州，14，4分）如图，正方形ABCD的边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH，设小正方形EFGH的面积为S，AE为x，则S关于x的函数图象大致是A．B．C．D．【答案】B二、填空题三、解答题1.（2011浙江省舟山，24，12分）已知直线3kxy（k＜0）分别交x轴、y轴于A、B两点，线段OA上有一动点P由原点O向点A运动，速度为每秒1个单位长度，过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，设运动时间为t秒．（1）当1k时，线段OA上另有一动点Q由点A向点O运动，它与点P以相同速度同时出发，当点P到达点A时两点同时停止运动（如图1）．①直接写出t＝1秒时C、Q两点的坐标；②若以Q、C、A为顶点的三角形与△AOB相似，求t的值．（2）当43k时，设以C为顶点的抛物线nmxy2)(与直线AB的另一交点为D（如图2），①求CD的长；②设△COD的OC边上的高为h，当t为何值时，h的值最大？【答案】（1）①C（1，2），Q（2，0）．②由题意得：P(t，0)，C(t，－ｔ＋3)，Q(3－t，0)，分两种情形讨论：ABCDEFGHxy-1O1xy1O1xyO1xy1O11BAOPCxy11D（第24题图2）（第24题图1）BAOPCQxy11情形一：当△AQC∽△AOB时，∠AQC=∠AOB＝90°，∴CQ⊥OA，∵CP⊥OA，∴点P与点Q重合，OQ=OP，即3－t=t，∴t=1.5．情形二：当△ACQ∽△AOB时，∠ACQ=∠AOB＝90°，∵OＡ=OＢ＝3，∴△AOB是等腰直角三角形，∴△ACQ是等腰直角三角形，∵CQ⊥OA，∴AQ=2CP，即t=2（－t＋3），∴t=2．∴满足条件的t的值是1.5秒或2秒．(2)①由题意得：C(t，－34t＋3)，∴以C为顶点的抛物线解析式是23()34yxtt，由233()3344xttx，解得x1=t，x2=t34；过点D作DE⊥CP于点E，则∠DEC=∠AOB＝90°，DE∥OA，∴∠EDC=∠OAB，∴△DEC∽△AOB，∴DECDAOBA，∵AO=4，AB=5，DE=t－（ｔ－34）=34．∴CD=35154416DEBAAO．②∵CD=1516，CD边上的高=341255．∴S△COD=11512921658．∴S△COD为定值；要使OC边上的高h的值最大，只要OC最短．因为当OC⊥AB时OC最短，此时OC的长为125，∠BCO＝90°，∵∠AOB＝90°，∴∠COP＝90°－∠BOC＝∠OBA，又∵CP⊥OA，∴Rt△PCO∽Rt△OAB，∴OPOCBOBA，OP=123365525OCBOBA，即t=3625，∴当t为3625秒时，h的值最大．2.（2011广东东莞，22，9分）如图，抛物线2517144yxx与y轴交于点A，过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（3，0）.（1）求直线AB的函数关系式；（2）动点P在线段OC上，从原点O出发以每钞一个单位的速度向C移动，过点P作⊥x轴，交直线AB于点M，抛物线于点N，设点P移动的时间为t秒，MN的长为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围；（3）设（2）的条件下（不考虑点P与点O，点G重合的情况），连接CM，BN，当t为何值时，四边形BCMN为平等四边形？问对于所求的t的值，平行四边形BCMN是否为菱形？说明理由.【解】（1）把x=0代入2517144yxx，得1y把x=3代入2517144yxx，得52y，∴A、B两点的坐标分别（0，1）、（3，52）设直线AB的解析式为ykxb，代入A、B的坐标，得1532bkb，解得112bk所以，112yx（2）把x=t分别代入到112yx和2517144yxx分别得到点M、N的纵坐标为112t和2517144tt∴MN=2517144tt-（112t）=251544tt即251544stt∵点P在线段OC上移动，∴0≤t≤3.(3)在四边形BCMN中，∵BC∥MN∴当BC=MN时，四边形BCMN即为平行四边形由25155442tt，得121,2tt即当12t或时，四边形BCMN为平行四边形当1t时，PC=2，PM=32，PN=4，由勾股定理求得CM=BN=52,此时BC=CM=MN=BN，平行四边形BCMN为菱形；当2t时，PC=1，PM=2，由勾股定理求得CM=5,此时BC≠CM，平行四边形BCMN不是菱形；所以，当1t时，平行四边形BCMN为菱形．3.（2011江苏扬州，28,12分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90º，ABAC，M是BC边的中点，MN⊥BC交AC于点N，动点P从点B出发沿射线BA以每秒3厘米的速度运动。同时，动点Q从点N出发沿射线NC运动，且始终保持MQ⊥MP。设运动时间为t秒（t0）（1）△PBM与△QNM相似吗？以图1为例说明理由；（2）若∠ABC=60º，AB=43厘米。①求动点Q的运动速度；②设Rt△APQ的面积为S（平方厘米），求S与t的函数关系式；（3）探求BP2、PQ2、CQ2三者之间的数量关系，以图1为例说明理由。【答案】解：（1）△PBM与△QNM相似；∵MN⊥BCMQ⊥MP∴∠NMB=∠PMQ=∠BAC=90º∴∠PMB=∠QMN,∠QNM=∠B=90º－∠C∴△PBM∽△QNM（2）①∵∠ABC=60º，∠BAC=90º,AB=43,BP=3t∴AB=BM=CM=43,MN=4∵△PBM∽△QNM∴MNBMNQBP即：3434NQBP∵P点的运动速度是每秒3厘米，∴Q点运动速度是每秒1厘米。②∵AC=12,CN=8∴AQ=12-8+t=4+t,AP=43－3t∴S=)334()4(21tt=)16(232t（3）BP2+CQ2=PQ2证明如下：∵BP=3t,∴BP2=3t2∵CQ=8-t∴CQ2=(8-t)2=64-16t+t2∵PQ2=(4+t)2+3(4-t)2=4t2-16t+64∴BP2+CQ2=PQ24.（2011山东德州23,12分）在直角坐标系xoy中，已知点P是反比例函数）＞0(32xxy图象上一个动点，以P为圆心的圆始终与y轴相切，设切点为A．（1）如图1，⊙P运动到与x轴相切，设切点为K，试判断四边形OKPA的形状，并说明理由．（2）如图2，⊙P运动到与x轴相交，设交点为B，C．当四边形ABCP是菱形时：①求出点A，B，C的坐标．②在过A，B，C三点的抛物线上是否存在点M，使△MBP的面积是菱形ABCP面积的21．若存在，试求出所有满足条件的M点的坐标，若不存在，试说明理由．【答案】解：（1）∵⊙P分别与两坐标轴相切，∴PA⊥OA，PK⊥OK．∴∠PAO=∠OKP=90°．又∵∠AOK=90°，∴∠PAO=∠OKP=∠AOK=90°．∴四边形OKPA是矩形．又∵OA=OK，∴四边形OKPA是正方形．……………………2分（2）①连接PB，设点P的横坐标为x，则其纵坐标为x32．过点P作PG⊥BC于G．∵四边形ABCP为菱形，∴BC=PA=PB=PC．∴△PBC为等边三角形．在Rt△PBG中，∠PBG=60°，PB=PA=x，AP23yxxyKO图1OAP23yxxyBC图2GMPG=x32．sin∠PBG=PBPG，即2332xx．解之得：x=±2（负值舍去）．∴PG=3，PA=BC=2．……………………4分易知四边形OGPA是矩形，PA=OG=2，BG=CG=1，∴OB=OG－BG=1，OC=OG+GC=3．∴A（0，3），B（1，0）C（3，0）．……………………6分设二次函数解析式为：y=ax2+bx+c．据题意得：09303abcabcc解之得：a=33，b=433，c=3．∴二次函数关系式为：2343333yxx．……………………9分②解法一：设直线BP的解析式为：y=ux+v，据题意得：023uvuv解之得：u=3，v=33．∴直线BP的解析式为：333yx．过点A作直线AM∥PB，则可得直线AM的解析式为：33yx．解方程组：233343333yxyxx得：1103xy；22783xy．过点C作直线CM∥PB，则可设直线CM的解析式为：3yxt．∴0=33t．∴33t．∴直线CM的解析式为：333yx．解方程组：2333343333yxyxx得：1130xy；2243xy．综上可知，满足条件的M的坐标有四个，分别为：（0，3），（3，0），（4，3），（7，83）．…………………12分解法二：∵12PABPBCPABCSSS，∴A（0，3），C（3，0）显然满足条件．延长AP交抛物线于点M，由抛物线与圆的轴对称性可知，PM=PA．又∵AM∥BC，∴12PBMPBAPABCSSS．∴点M的纵坐标为3．又点M的横坐标为AM=PA+PM=2+2=4．∴点M（4，3）符合要求．点（7，83）的求法同解法一．综上可知，满足条件的M的坐标有四个，分别为：（0，3），（3，0），（4，3），（7，83）．…………………12分解法三：延长AP交抛物线于点M，由抛物线与圆的轴对称性可知，PM=PA．又∵AM∥BC，∴12PBMPBAPABCSSS．∴点M的纵坐标为3．即23433333xx．解得：10x（舍），24x．∴点M的坐标为（4，3）．点（7，83）的求法同解法一．综上可知，满足条件的M的坐标有四个，分别为：（0，3），（3，0），（4，3），（7，83）．…………………12分5.（2011山东菏泽，21，9分）如图，抛物线y＝12x2＋bx－2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A(－1，0)．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；（3）点M(m，0)是x轴上的一个动点，当MC＋MD的值最小时，求m的值．解：（1）把点A(－1，0)的坐标代入抛物线的解析式y＝12x2＋bx－2，整理后解得32b，所以抛物线的解析式为213222yxx．顶点D325,28．（2）∵AB=5，AC2=OA2＋OC2=5，BC2=OC2＋OB2=20，∴AC2＋BC2=AB2．∴△ABC是直角三角形．ABCDxyO111（3）作出点C关于x轴的对称点C′，则C′(0，2)，OC′=2．连接C′D交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC＋MD的值最小．设抛物线的对称轴交x轴于点E．△C′OM∽△DEM．∴OMOCEMED．∴232528mm．∴m=2441．6.（2011山东济宁，23，10分）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧）.已知A点坐标为（0，3）.（1）求此抛物线的解析式；（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与