初中数学《函数》复习

管头中学刘拦挡函数是初中数学的重要内容，它集坐标系、方程（组）、不等式、应用题、几何知识于一身，是初中数学知识的集中体现，是整个初中数学的难点，也是中考的重点。许多学生认为函数难学，这个“难”缘自哪里？其实，函数本身并不难，往往难在没有学好其它知识，也可能是因为没有掌握解题的基本方法。今天我们从五个方面来复习一下函数，你将全面了解函数的系统知识，学会基本的解题方法，体会到解决问题的基本策略。今天复习的五个方面是：一、会用函数的基本性质二、会用函数图象解决问题三、会看函数图象四、会与其它知识联系五、会用函数解决实际问题“会用函数的基本性质”之一：一次函数的性质例1一次函数y=-2x+3的图象是经过的，，它与y轴交于，它不经过第象限，y随x的增大而。将它向平移个单位后图象过原点，这时就成为函数。直线(0,3)(1,1)(0,3)yxO3三减小下3正比例“会用函数的基本性质”之二：反比例函数的性质例2A是双曲线上一点，AB⊥x轴于B，O是坐标原点，那么当x0时，y随x的增大而，S△AOB=，此双曲线关于对称。增大3原点xy6yxOAB或二、四象限的角平分线或一、三象限的角平分线“会用函数的基本性质”之三：二次函数的性质二次函数解析式常见的有三种，即一般式、顶点式、交点式。不同的形式性质也不同。y=-3(x2-4x)-9=-3(x2-4x+4)-9+12=-3(x-2)2+3例3已知二次函数y=-3x2+12x-9，回答下列问题（1）化为顶点式是，化为交点式是。（2）图象的顶点坐标是，对称轴是，当x时y随x的增大而增大。当x=时y有最值是。若将抛物线向上平移2个单位，向左平移6个单位，得到的抛物线解析式为。（3）图象与y轴的交点坐标是，与x轴的交点坐标是。(2,3)直线x=22y=-3(x-2)2+3y=-3(x2-4x+3)=-3(x-3)(x-1)y=-3(x-3)(x-1)2大3y=-3(x+4)2+5(0,-9)(1,0)、(3,0)2向上平移几，顶点纵坐标就加几，向左平移几括号内的数就加几。例4已知抛物线y=ax2+bx+c，（1）若抛物线与x轴交于(-3,0)，(1,0)，则对称轴是。（2）当a+b+c=0时，抛物线一定过点，当a-b+c=0时，抛物线一定过点。（3）当b2-4ac0时，抛物线与x轴有两个交点。（4）当时，抛物线过原点；当时，抛物线的顶点在y轴上（或者说以y轴为对称轴）；当时，抛物线的顶点在x轴上。（5）若x取x1和x2时，y的值相等，则x取时，y的值等于。221xx直线x=-1(1,0)c=0(-1,0)b=0b2-4ac=04ac-b24a二次函数基本性质：1、抛物线是轴对称图形，对称轴是直线x=-b/2a；2、由顶点式可以解决顶点坐标，对称轴，最大（小）值，增减性，平移等问题。3、抛物线与x轴的两个交点(x1,0)、(x2,0)是关于对称轴对称的；4、b2-4ac的值决定了抛物线与x轴的交点个数；5、b=0时顶点在y轴上，Δ=0时顶点在x轴上，c=0时图象过原点；6、平移时“上加下减，左加右减”。许多函数问题利用其图象来解决，显得灵活、直观、简便。画图多多，好处多多。会用函数图象解决问题例5反比例函数和一次函数y=x+b的图象交于A、B两点，A点的横坐标是2，则B点的坐标是．xy2AB21-2-1(-1,-2)例6抛物线与x轴交于A、B两点，顶点为C，为使△ABC成为直角三角形，必须将抛物线向上平移几个单位（）A、7B、6C、5D、48212xyABCO设平移后的抛物线为y=0.5x2+c，则C的坐标为(0,c)，所以A的坐标为(-c,0）,代入得0.5c2+c=0，解出c=-2（舍零）,由-8到-2，应选B。B例7已知抛物线y=ax2-2ax-1+a(a0)与直线x＝2，直线x＝3，直线y＝1，直线y＝2围成的正方形有公共点，则a的取值范围是．（注：直线y＝1即为过（0,1）点平行于x轴的直线）．12312ABCD抛物线过C点是最低位置，此时C(3,1)代入得，9a-6a-1+a=1，a=1/2。抛物线过A点是最高位置，此时A(2,2)代入得，4a-4a-1+a=2，a=3。½≤a≤3对已经给出的函数图象，要求我们能看懂图中的有用信息，达到解决问题的目的。这与函数性质的掌握有直接的关系。会看函数图象例8已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，OAOB，有下列5个结论：①abc0；②ba+c；③4a+2b+c0；④2a+b0；⑤ac+b+1=0，其中正确的结论有（）A.2个B.3个C.4个D.5个a0,b0,c0,①×∵x=-1时,y0,∴a-b+c0,即ba+c,∴②×∵x=2时,y0,∴4a+2b+c0,∴③√∵对称轴在x=1的左边,∴-b/2a1,∵a0,∴-b2a即2a+b0,∴④√∵OAOB,∴在OA之间有一点C使OC=OB。∵B(0,c),∴D(c,y),且y0将其代入得ac2+bc+c0,即ac+b+10,∴⑤×ACD例9在同一坐标系中一次函数y=ax+b和二次函数y=ax2+bx的图象可能为（）OxyOxyOxyOxyABCD方法1、看直线和抛物线中的a、b是否有矛盾方法2、看抛物线是否过原点A方法3、找直线和抛物线与x轴的交点一次函数y=kx+b与二次函数y=ax2+bx+c中字母的符号规律•一次函数中，k决定直线的方向，b决定直线与y轴的交点•二次函数中，a决定抛物线的开口，c决定抛物线与y轴的交点•二次函数中，对称轴在y轴左侧时，a、b同号，反之a、b异号（简称“左同右异”）例10看图写结论（1）已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为．22yxxm220xxm将(3,0)代入，得m=3,则-x2+2x+3=0,即x2-2x-3=0，x1=3,x2=-1x1=3,x2=-1（2）如图所示的抛物线是二次函数y=ax2-3x+a2-1的图象，那么a的值是．因为图象过(0,0)，故a2-1=0,a=1或a=-1,又开口向下，故a=-1。例10看图写结论yxa=-1（3）如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点，根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的的取值范围是。X-3或0x1例10看图写结论xmy-3会与其它知识联系前面已经提到，函数问题往往与许多其它数学知识相联系，尤其是与方程、不等式以及几何的联系更加密切。“会与其它知识联系”之一与方程的联系例11（1）直线y=2x-1与直线y=-x+5的交点坐标是。（2）方程的根的个数，与我们学过的哪两个函数图象的交点个数相同？通过画图，确定这个方程根的个数。xxx4652∵两条直线的交点坐标同时满足两个解析式∴可以解方程组来获得交点坐标512xyxy32yx(2,3)从第(1)题我们已经看到，方程组的解可以决定两个函数图象的交点，而(2)中的方程解的个数就是右面方程组解的个数xyxxy6542这个方程组的解又与二次函数y=x2+4x-5和反比例函数图象的交点有直接的联系，我们画出两个图象如右图：xy6从第(1)题我们已经看到，方程组的解可以决定两个函数图象的交点，而(2)中的方程解的个数就是右面方程组解的个数xyxxy6542例11（1）直线y=2x-1与直线y=-x+5的交点坐标是。（2）方程的根的个数，与我们学过的哪两个函数图象的交点个数相同？通过画图，确定这个方程根的个数。xxx4652(2,3)解：这个方程根的个数与二次函数y=x2+4x-5和反比例函数图象的交点个数相同。通过画图可知，共有3个根。例12（1）直线y=-3x+2上有一动点A(x,y)，设经过点(0,8)且平行于x轴的直线为m，经过点(0,-1)且平行于x轴的直线为n，当x取值范围是时，点A在直线m、n之间。（2）不等式x2-2x-30的解，相当于函数的图象在x轴方的x取值范围。-2x1“会与其它知识联系”之二与不等式的联系先画出大致图象，我们从图中发现：-1y8,即-1-3x+28，-2x1.mn42-1Oyx-184Ay=x2-2x-3上例13如图，点A在抛物线上，过点A作与x轴平行的直线交抛物线于B，延长AO、BO分别与抛物线相交于点C、D，连接AD、BC，设点A的横坐标为m，且m0．（1）当m=1时，求点A、B、C、D的坐标；（2）当m为何值时，四边形ABCD的两条对角线互相垂直；（3）猜想线段AB与CD之间的数量关系，并证明你的结论．“会与其它知识联系”之三与几何的联系214yx218yxAxyBCOD（1）当m=1时，求点A、B、C、D的坐标；解：将x=1代入y=1/4·x2，得y=1/4，由AB∥CD得△AOB∽△COD，故DF=4FO,设D(4y,-y)，得-y=-1/8·(4y)2，y=1/2(舍零)，AxyBCODEF故A(1,1/4),B(-1,1/4),C(-2,-1/2),D(2,-1/2)（2）当m为何值时，四边形ABCD的两条对角线互相垂直；解：由A在抛物线上可知，AE=m，EO=1/4·m2，因AO⊥BO，AO=BO，故EO=AE，∴1/4·m2=m，m=4(舍零).AxyBCODEF（3）猜想线段AB与CD之间的数量关系，并证明你的结论．猜想：CD=2AB.DF=4/m·FO,设D(4y,-my)，得-my=-1/8·(4y)2，AxyBCODEF故y=m/2，DF=2m，DF=2AE，即CD=2AB.证明：由A在抛物线上可知，AE=m，EO=1/4·m2，由AB∥CD得△AOB∽△COD，许多实际问题有两个变量，往往就有函数关系存在。利用函数关系式可以解决实际问题中的数量关系和最值问题。会用函数解决实际问题会用函数解决实际问题例14陈琳从甲地匀速前往乙地，3h后距离乙地110km，5h后距离乙地50km。问几h后到达乙地？解：设x(h)后距离乙地y(km)，陈琳速度为v(km/h)，甲乙两地相距a(km)，由已知，得y=a-vx，将x=3,y=110和x=5,y=50代入，得vava5503110解得所以，y=200-30x20030av当y=0时陈琳到达乙地，即200-30x=0，326x答：陈琳行了h到达乙地。326会用函数解决实际问题例15一学生推铅球，在距地面m的A处推出铅球，铅球经过的路线呈抛物线状（如图建立平面直角坐标系），如果抛物线的最高点M离y轴距离4m，距地面高度为3m，求该学生推铅球的成绩。解：由已知，A(0,5/3)，顶点M(4,3)设抛物线的解析式为y=a(x-4)2+3将A点坐标代入上述解析式，得16a+3=5/3，a=-1/12，所以y=-1/12·(x-4)2+3，令y=0，则-1/12·(x-4)2+3=0,35解得x=10(舍负),答：该学生推铅球的成绩为10米。会用函数解决实际问题例16有一种螃蟹，放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去，假定放养期内蟹的个体重量基本不变。现有一经销商，按市场价收购了这种活蟹1000千克放养在塘内，此时市场价为每千克30元。据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元。但是，放养一天需各种费用支出400元，且平均每天还有10千克蟹死去。假定死蟹均于当天全部出售，售价都是每千克20元。(1)设x天后每千克活蟹的市场价为p元，写出p关于x的函数解析式；(2)如果放养x天后将活蟹一次性出售，并记1000千克蟹的销售总额为Q元，写出Q关于x的函数解析式；(3)该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获得最大利润（利润=销售总额-收购成本-费用）？最大利润是多少？(1)设x天后每千克活蟹的市场价为p元，写出p关于x的函数解析式；解：p=30+x(2)如果放养x天后将活蟹一次性出售，并记1000千克蟹的销售总额为Q元，写出Q关于x的函数解析式；解：Q=(1000-10x)(30+